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文档简介

第1课时与中点有关的几何问题1.（2025∙南开）在▱ABCD中，AD=BD.（1）如图1，若AD=8，AB=6，求▱ABCD的面积；

2.（2025∙巴蜀）如图，△ABC为等边三角形，直线BD与AC边交于点D，∠ABD=α，E为直线BD上一动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转120°得AF，连接EF.（1）如图1，若α=30°，EF与AC交于点G，且EF∥AB，AB=6，求GF的长度；

∵EF∥AB，∴∠FED=∠ABD=30°.由旋转的性质可知AE=AF，∠EAF=120°，∴∠AEF=∠F=30°，∴∠AED=60°，∴∠AEG=∠GAE=30°，∴AG=EG，∴AG=EG=2GD，∠GAF=∠EAF－∠EAG=90°.∵AD=AG＋GD=3，∴GD=1，AG=2，∴GF=2AG=4.（2）如图2，若EF与AC交于点G，且G为AC的中点，猜想线段BE，EG，GF之间存在的数量关系，并证明你的猜想.（2）BE＋EG=GF，证明如下：如答案图，延长FG至点H，使HG=FG，连接BH，CH.∵点G为AC的中点，∴AG=CG.又∵∠AGF=∠CGH，∴△AGF≌△CGH（SAS），∴AF=CH，∠GAF=∠GCH.由旋转的性质可知AE=AF，∠EAF=120°，∴AE=CH.∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC，设∠BAE=x，∴∠EAC=∠BAC－∠BAE=60°－x，∴∠GAF=∠GCH=∠EAF－∠EAC=120°－（60°－x）=60°＋x，∴∠BCH=∠GCH－∠ACB=60°＋x－60°=x，∴∠BAE=∠BCH，∴△ABE≌△CBH（SAS），∴BE=BH，∠ABE=∠CBH.∵∠ABE＋∠CBE=60°，∴∠CBH＋∠CBE=60°，即∠EBH=60°，∴△EBH为等边三角形，∴BE=BH=EH.∵HG=GF，HG=EH＋EG，∴GF=BE＋EG.3.（2025∙一中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为AC上一点，连接BD.（1）如图1，过点C作CE⊥BD于点E，交BA的延长线于点F.若AB=AC，∠BDA=75°，CF=4，求BC的长度；（1）解：如图1，过点D作DK⊥BC于点K.∵CE⊥BD，∠BAC=90°，∴∠CEB=∠BAC=∠CAF=90°.∵∠CDE=∠BDA，∴∠ACF=∠ABD.又∵AB=AC，∴△BAD≌△CAF（ASA），

4.（2025∙巴蜀）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，将线段AB绕点A逆时针旋转120°得线段AE，连接BE，点G是BE的中点.（1）如图1，若∠ABC=90°，点D正好在BE上，连接AG，BD=5，求AG的长度；

（2）证明：如图2，延长BD至点M，使MD=BD，连接EM，AM，∴BM=2BD.∵G是BE的中点，∴EM=2DG.∵AE=AB，∠EAB=120°，∴∠ABE=30°.

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