第2课时　与角平分线有关的几何问题

第2课时与角平分线有关的几何问题1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC边上的一个动点，连接AD并延长，过点B作BF⊥AD交AD的延长线于点F.（1）如图1，若AD平分∠BAC，AD=6，求BF的长；

（2）如图2，M是FB延长线上一点，连接AM，当AD平分∠MAC时，试探究AC，CD，AM之间的数量关系并说明理由.（2）AC＋CD=AM，理由如下：如答案图2，分别延长MF，AC交于点E.同（1）可证得，△ADC≌△BEC，∴CD=CE.∵BF⊥AD，∴∠AFM=∠AFE=90°.∵AD平分∠MAC，∴∠MAF=∠EAF.又∵AF=AF，∴△AMF≌△AEF（ASA），∴AM=AE.∵AE=AC＋CE=AC＋CD，∴AC＋CD=AM.2.如图，在▱ABCD中，BE⊥BC交AD于点E，且BE=BC，CF平分∠BCD交AB于点F，交BE于点G，连接EF.（1）如图1，若∠A=60°，CG=4，求AF的长；（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD=∠A=60°，AD∥BC，AB∥CD.∴∠ABC=180°－∠A=120°，∠AEB=∠EBC.∵BE⊥BC，∴∠CBG=∠AEB=90°.∵CF平分∠BCD，∴∠BCG=∠DCG=30°.

（2）证明：如答案图，连接EM并延长交AB于点N.∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BFC=∠DCF，∴∠BFC=∠BCF，∴BF=BC.又∵BC=BE，∴BE=BF.

3.如图，在Rt△AEB中，∠AEB=90°，点C在线段BE的延长线上，过点C作CD∥AB，连接AD，再过点A作AF⊥CD于点F.（1）如图1，连接EF，若∠BAE=30°，∠D=45°，DF=6，AE=4，求线段EF的长；（1）解：过点E作EM⊥AF于点M，如答案图1，

（2）如图2，在线段CE上取一点H，连接AH，DH，当AH平分∠BHD，∠ABH=∠DAH时，求证：DH=HC＋2HE.（2）证明：连接AC，过点A作AW⊥HD于点W，如答案图2，

∴Rt△AHE≌Rt△AHW（HL），∴HE=HW.∵CD∥AB，∴∠ABH＋∠BCD=180°.∵∠ABH=∠DAH，∴∠DAH＋∠BCD=180°，∴A，H，C，D四点共圆，∴∠ACH=∠ADW.又∵AE=AW，∠AEC=∠AWD=90°，∴△AEC≌△AWD（AAS），∴EC=WD，∴DH=HW＋WD=HE＋EC=HE＋HE＋HC，即DH=HC＋2HE.4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.（1）如图1，将△ABC绕点C逆时针旋转至△DEC，点D在AB上，过点C作CF∥AB交DE于点F.求证：点F是DE的中点；（1）证明：由旋转可知，∠A=∠CDE，AC=CD，∴∠A=∠CDA.∵CF∥AB，∴∠DCF=∠CDA，∴∠DCF=∠CDE，∴CF=DF.∵∠FCE=90°－∠DCF，∠E=90°－∠CDF，∴∠E=∠FCE，∴CF=EF，∴EF=DF，即点F是DE的中点.（2）如图2，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，连接EC，BD，延长EC交BD于点G，连接DC.若BD=2CD，求证：EC=GC；（2）证明：∵AE=AC，∴∠AEC=∠ACE.∵∠DEC=90°－∠AEC，∠BCG=90°－∠ACE，∴∠DEC=∠BCG.如答案图1，过点D作D