第3课时　与线段的和差倍分有关的几何问题

第3课时与线段的和差倍分有关的几何问题1.（2025∙八中）已知△ABC是等边三角形，点D，E均为平面内的点.（1）如图1，点D在△ABC的AC边上，连接BD，DE，BE，BD=ED且∠BDE=90°，延长AC，BE相交于点F，若∠DBC=α，求∠F的度数（用含α的代数式表示）；（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°.在△BDE中，BD=ED，∠BDE=90°，∴∠DBE=45°.又∵∠DBC=α，∴∠CBE=45°－α.∵∠ACB为△BCF的外角，∴∠F=∠ACB－∠CBF=60°－（45°－α）=15°＋α.（2）如图2，点D在△ABC的内部，连接BD，CD，DE，BD=ED且∠BDE=120°，连接BE，AD，BE与AD相交于点P，若∠DCB=∠ABE，求证：AP=DP.

2.（2025∙外语校）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，点E在线段AB上，连接AD，CE交于点F.（1）如图1，AD⊥BC，∠DAC=30°，CE平分∠ACB.若AC=EC=6，求BE的长；

（2）如图2，△ACD是等边三角形，延长CE至点H，连接AH，连接DH交AB于点G.若∠AGH=∠HCD，AE=AF，猜想FC，HE，HD之间的数量关系并证明.（2）FC=HD＋HE，证明如下：∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD=∠DAC=∠ADC=60°，AD=AC=DC.设∠ACF=α，则∠AGH=∠HCD=60°－α.∵AE=AF，∴∠AFE=∠AEF=∠DAC＋∠ACF=60°＋α，∴∠AEH=180°－∠AEF=120°－α，∴∠GHE=∠AEH－∠AGH=120°－α－（60°－α）=60°.如图2，在FC上取点K，使得HK=HA，在HC上截取HR=HD，连接AK，DR.∴△HDR是等边三角形，∴HD=DR，∠HDR=∠HRD=60°，∴∠HDR=∠ADC=60°，∴∠HDA=∠RDC，∴△DHA≌△DRC（SAS），∴∠DHA=∠DRC=180°－60°=120°，∴∠AHK=∠DHA－∠DHC=60°.又∵HK=HA，∴△AHK为等边三角形，∴AH=AK，∠HAK=∠AHE=∠AKF=60°.∵∠AFE=∠AEF，∴∠AFK=∠AEH，∴△AHE≌△AKF（AAS），∴HE=FK.∵∠HAK=∠DAC=60°，∴∠HAD=∠KAC，∴△AHD≌△AKC（SAS），∴KC=HD，∴FC=FK＋KC=HE＋HD.

（2）如图2，点D在AC的延长线上，G为AC边上一点，连接BG，作GH⊥BG交BA的延长线于点H，作GI⊥BD于点I.若BC平分∠DBG，BG=AD，猜想线段BI与AH之间的数量关系，并证明你的猜想.（2）BI=2AH，证明如下：如图2，作AE⊥BD于点E，交BG于点F.∵BC平分∠DBG，∴设∠DBC=∠CBG=α.∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠HBG=∠ABC－∠CBG=45°－α，∠D=∠ACB－∠DBC=45°－α，∴∠HBG=∠D.

4.（2025∙南开）如图，△ABC为等边三角形，D为BC的中点，过点A作线段EF，连接DE交AB于点G，连接DF交AC于点H，且∠E=60°.（1）如图1，若DE=DF，BD=3，BG=4，求CH的长；

（2）证明：如图2，作DN⊥AC于点N，FK⊥AC于点K.∵△ABC为等边三角形，D为BC的中点，∴∠BAC=60°，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=30°.∵DM⊥AB，DN⊥