（2026年新版）人教版小学数学六年级上册第四单元圆《正方形和圆的关系》教学设计

第四单元圆《正方形和圆的关系》

一、教材分析《正方形和圆的关系》是人教版六年级上册第四单元第3节第3课时，属于第三学段“图形与几何”领域的内容，以“外方内圆”“外圆内方”两类组合图形为研究对象，学生在前面学习已经熟练掌握正方形、圆的面积计算公式，能够利用圆面积的计算公式求与圆相关的组合图形的面积，具备列表探究、图形割补变换的学习经验，为本课探究方与圆的面积关系打下知识与方法储备。本课按“传统纹样情境引出两类图形—假设半径列表计算—推导面积比值—叠图旋转验证—变式练习巩固”的结构编排，由直接给出半径的图形计算延伸到方、圆面积固定比例关系的探究。教材以古建筑窗花纹样为载体，明确“外方内圆”是正方形内画最大的圆、“外圆内方”是圆内画最大的正方形；通过假设半径、填表计算多组数据，归纳出固定比值：外方内圆中圆面积是正方形面积的π4，外圆内方中圆面积是正方形面积的π2；再叠放两图并旋转内部小正方形，直观验证大正方形面积是小正方形面积的2倍。习题部分重在引导学生突破必须已知半径才能算圆面积的思维定式，学会挖掘图形内在不变的数量关系，深化圆面积公式的灵活应用

二、教学目标1．经历运用圆的面积计算公式解决有关“外方内圆”和“外圆内方”的实际问题的过程，发展空间观念。2．通过尝试、探究、分析、反思等活动，发现“圆”和“方”之间的一般规律，培养分析问题和解决问题的能力。3．感受古建筑、工艺品中的方圆之美，体会数学与生活、传统文化的联系。

三、重、难点重点：会解决有关“外方内圆”和“外圆内方”的实际问题。难点：理解图形中正方形与圆的面积关系。

四、教学过程情境导入师：同学们，请欣赏一段古建筑视频。（课件播放古建筑视频欣赏）师：视频欣赏完了，大家有什么感受？生：……师：古人在建筑设计当中常常蕴含丰富的几何元素，当正方形和圆巧妙组合在一起。许多建筑和物品上都可以见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。师：在“外方内圆”和“外圆内方”的组合图形中蕴含着什么样的数学规律？设计意图：借助古建筑欣赏视频创设传统文化情境，感受传统建筑之美，顺势引出正方形与圆组合的研究主题，抛出方圆组合蕴含数学问题的核心疑问，唤醒学生已有的正方形与圆面积计算旧知，搭建新旧知识之间的桥梁，激发学生探究“外方内圆”和“外圆内方”组合图形中面积关系的兴趣，为本课新知开展做好情境铺垫。效果评价：古建筑视频有效调动学生课堂兴趣，学生能够感受古建筑当中的几何美感，主动产生探究方圆图形数学问题的欲望，顺利衔接旧知，为本节课外方内圆、外圆内方的学习做好准备。探究新知活动：探究“外方内圆”和“外圆内方”的实际问题课件出示外方内圆、外圆内方传统窗花纹样图：师：你能研究一下这两种设计中正方形和圆面积之间的关系吗？师：这里的“外方内圆”指的是什么？生1：“外方内圆”指的是正方形和它内部最大的圆。师：“外圆内方”指的是什么？生2：“外圆内方”指的是圆和它内部最大的正方形。师：说得非常好，那如果圆的半径和正方形的边长都不知道，我们该怎么研究这两种图形里正方形和圆面积之间的关系呢？大家小组交流，想一想可行的探究方法。（学生小组交流，猜想探究方案）师：谁来说一说你的探究思路？生1：观察图发现在外方内圆中，正方形的边长与圆的直径长度相等。生2：我们可以假设圆的半径分别是1cm、2cm、3cm……acm，列表来研究圆和正方形的面积。在外方内圆当中，正方形的边长，也就是2a，正方形面积就可以写成S正方形=(2a)2=4a2。师：这个思路非常巧妙，用假设法开展研究。接下来我们就按照这个思路，填写表格，算一算、看一看外方内圆“外方内圆”中圆面积是正方形面积的几分之几。圆的半径/cm……圆的面积/cm2……正方形的面积/cm2……圆面积是正方形面积的几分之几(用π表示)……（学生独立计算，完成表格填写）师：观察表格，大家有什么发现？圆的半径/cm123……a圆的面积/cm2π4π9π……πa2正方形的面积/cm241636……4a2圆面积是正方形面积的几分之几(用π表示)πππ……π生：外方内圆中，无论半径取多少，圆面积都是正方形面积的π4师：很棒！我们已经完成外方内圆的探究，接下来让我们研究一下“外圆内方”，我们还是不知道正方形的边长和圆的半径，怎么研究呢？谁有想法？生1：我们可以把正方形看作两个三角形，它们的底是圆的直径，高是圆的半径。正方形面积＝三角形面积×2＝直径×半径÷2×2＝直径×半径。生2：还可以继续假设圆的半径分别是1cm、2cm、3cm……acm，列表计算。师：说得条理清晰，请大家继续完成表格，寻找规律。圆的半径/cm123……a圆的面积/cm2……正方形的面积/cm2……圆面积是正方形面积的几分之几(用π表示)……（学生计算填表）师：观察这一组数据，你又得到什么结论？圆的半径/cm123……a圆的面积/cm2π4π9π……πa2正方形的面积/cm22818……2a2圆面积是正方形面积的几分之几(用π表示)πππ……π生：外圆内方中，圆面积是正方形面积的π2师：很好！对比两组表格的数据，大家能不能总结一条共同规律？生：我发现“外方内圆”和“外圆内方”中，无论图形有多大，正方形和圆的面积之间倍数关系是一定的。师：总结到位！接下来我们尝试把这两个图形叠放在一起，大家又能发现什么？生：根据“外方内圆”和“外圆内方”所列的表格发现：大正方形的面积是小正方形的2倍。师：很好，那如果将最里面的小正方形旋转一下，再来观察，你发现了什么？生：大正方形的面积是小正方形的2倍。师：没错，借助图形旋转，我们就能很清晰验证大小正方形之间的倍数关系。我们一起来梳理今天探究得到的知识点，谁来试一试？生：“外方内圆”是正方形内有最大的圆，圆面积是正方形面积的π4；“外圆内方”是圆内有最大的正方形，圆面积是正方形面积的π师：非常好，大家已经完整掌握两类方圆组合图形的特征与面积规律。设计意图：以古建筑传统窗花纹样作为探究起点，组织小组讨论，引导学生自主辨析外方内圆、外圆内方的图形定义；抛出未知正方形边长、圆的半径的探究难题，启发学生采用假设取值、列表计算的研究策略，依次推导两类图形固定的面积倍数关系；再通过叠图、旋转小正方形的直观操作，验证大、小正方形之间的2倍面积关系，完整落实“识别图形—假设探究—计算归纳—变换验证”的活动流程，感受传统纹样蕴含的数学之美，积累方圆组合图形探究的数学活动经验。效果评价：学生能够准确区分外方内圆与外圆内方，熟练运用假设列表的方法开展探究，可以自主推导出两类图形固定的面积比值，能够借助图形旋转发现大小正方形的倍数关系，顺利突破必须已知圆的半径才能计算圆面积的思维定式，推理意识与几何直观得到有效发展，充分体会数学与传统工艺、古建筑之间的联系。巩固练习师：我们一起来检验一下学习效果吧!1.已知图中正方形的面积是20cm2，圆的面积是多少平方厘米？涂色部分的面积是多少？预设：20×π4=15.7(cm220−15.7=4.3(cm2)答：圆的面积是15.7平方厘米。涂色部分的面积是4.3平方厘米。2.求下面图形中圆的面积。正方形面积是100cm²正方形面积是50cm²预设：左图：100×

π4右图：50×

π23.如图所示，求下面图形中涂色的面积。预设：圆的半径：6÷2=3(cm)3.14×

32-(6×6÷2)=10.26(

cm2)4.如图所示，正方形的边长是10cm，求涂色部分的面积。预设：[10×10−3.14×(10÷2)2]×2=43(cm2)10×10−43=57(cm2)答：涂色部分的面积是57

cm2。拓展演练1．图中涂色部分的面积是多少？预设：4×(4÷2)÷2=4(cm2)答：图中涂色部分的面积是4cm2。2．右图是由两个相同的半圆叠拼而成的。已知三角形ABC是一个等腰直角三角形，AB=BC=10dm。图中涂色部分的面积是多少平方分米？预设：10÷2=5(dm)3.14×52−(12×10×5)×2=28.5(dm2答：图中涂色部分的面积是28.5dm2。设计意图：由基础巩固到拓展提升设置梯度习题，基础题直接应用外方内圆的固定面积倍数，强化新知，打破必须已知圆的半径才能求圆面积的固有思维；拓展题引入割、补等转化策略，引导学生灵活迁移知识，在分析复杂组合图形的过程中，进一步发展几何直观，提升图形分析与运算能力，落实分层训练的理念。效果评价：学生能够熟练运用外方内圆的面积规律快速完成基础习题，面对拓展题目可以主动尝试割补、重叠等转化思路分析图形，准确列式计算，灵活应用所学方圆知识解决变式问题，运算能力与空间想象能力得到进一步提升。课堂小结师：今天的学习你有什么收获？师：什么是外方内圆、外圆内方？在外方内圆、外圆内方中，正方形的边长和圆的直径有什么关系？生：外方内圆就是正方形里面有一个最大的圆，正方形的边长等于圆的直径；外圆内方是圆里面有一个最大的正方形，正方形可以看作两个三角形，它们的底是圆的直径，高是圆的半径。师：外方内圆和外圆内方中，圆的面积与正方形的面积分别存在怎样的倍数关系？生：外方内圆中，圆的面积是正方形面积的π4；外圆内方中，圆面积是正方形的面积的π师：图中大正方形和小正方形的面积有什么关系？生：大正方形面积是小正方形面积的2倍。师：今天你的表现怎样呢？你的好朋友表现怎样呢？我们来回顾一下。（学生自由发言），再完成评价表。设计意图：以层层递进的三个问题组织课堂小结，引导学生自主梳理外方内圆、外圆内方的图形特征、边长与直径的对应关系、面积倍数规律以及大小正方形之间的面积联系，搭建完整的知识框架，锻炼学生归纳表达能力，深化对方圆组合模型的理解。效果评价：学生可以清晰说出外方内圆、外圆内方的图形特点，准确表述对应的面积倍数关系，顺利答出同圆下大小正方形的面积倍数，能够自主复盘本课核心知识点，知识体系得到巩固。课后实践动手测量：在