数学-河北NT20名校联合体2026-2027高二上学期11月期中考

11月高二期中考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。A.1B.√22.已知直线l经过点A(1,2),且与直线2x-y+3=0垂直，则直线l的一个方向向量是A.(1,2)B.(2,—1)C.(2,1)3.已知椭圆C:的左、右焦点分别为F₁,F₂的圆与椭圆C在第一象限交于点P,且,则椭圆C的离心率为4.在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，从顶点A出发的三条棱AB,AD,AA₁的长度分别为1,2,3,且它们两两夹角均为,则体对角线AC₁的长度为5.光线从点A(—2,1)出发，经x轴反射后与圆C:(x—3)²+y²=1相切，则入射光线与x轴交点的横坐标为6.已知点P(1,1),则点P关于直线x+y-3=0的对称点Q的坐标为A.(1,2)B.(3,0)C.(2,1)7.已知直线l:axsinθ+ycosθ+1=0(θ∈R),圆C:x²+y²=4,l与C相交于A(x₁,y₁),B(x₂,y2)两点，则x|₁一yi+2|+|x2—y2+2|的最大值为A.4+2√3B.3+2√28.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，,空间中点P满足PA=2PC,则平面B₁CD₁截动点P轨迹的面积为高二数学第1页共4页高二数学第2页共4页二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知空间向量a=(1,2,—1),b=(2,-1,1),若c=a+λb,且cLa,则下列结论正确的是A.b在a上的投影向量为D.c与b的夹角为锐角10.已知直线l:(m+2)x+(m-1)y+4—m=0(4y-10=0,则下列结论正确的是A.直线l与圆C相交B.当m=0时，圆C上有四个点到直线l的距离等于2C.当直线I与圆C相交于A,B两点时，|AB|的最小值为6D.直线l与x轴垂直时，直线l与圆C的交点中位置较上的交点为E,则过点E且与圆C相切的直线方程是x—y+6=0圆M相切，椭圆C:空间向量u=(m,n,1),v=(1,0,-1),则下列说法正确的是A.若m=0,n=2,则直线l的斜率为B.若ulv,则圆M的圆心不在直线x—y=0上C.若直线I与椭圆C相交于E,F两点，点P为EF中点，则l的方程是x+D.若圆M与椭圆C有且仅有两个公共点，则m²+n²∈(0,9)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.直线x+√3y+6=0的倾斜角为·13.在正四面体A—BCD中，AB=2,M是BC的中点，N是线段AD(含端点)上一动点，则NA·NM的取值范围是高二数学第3页共4页14.已知椭圆C:O为坐标原点，直线x=my+1与椭圆C交于A,B两点，且,则t²与m²满足的关系式为,△OAB面积的取值范围为·15.(本小题满分13分)已知椭圆C:直线l经过点P(0,2)且与椭圆C交于A,B两点.(1)若直线l的斜率为1,求弦AB的长；(2)若OA·OB=0(O为坐标原点),求直线l的方程.16.(本小题满分15分)以AD所在直线为轴，将梯形ABCD旋转一周得到一个旋转体(记为Ω),点P为旋转体上底面圆周上的动点，如图2.(1)求旋转体Ω的体积与表面积；(2)当直线PC与旋转体的轴AD所成角为时，求平面PBC与旋转体底面所成角的余弦值.高二数学第4页共4页17.(本小题满分15分)2x+2y-2=0,直线l:y=kx+b.(1)求圆C₁与圆C₂的公共弦所在直线的方程及公共弦长；(2)直线l与圆C₁相交于A,B两点，与圆C₂相交于C,D两点，且|AB|=CD|,若直线l不经过点,求k的值及对应的b的取值范围.18.(本小题满分17分)如图，在高为1的四棱锥P—ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB=√2,底面ABCD是面积为4√2的矩形.(1)证明：平面PCB⊥平面PAB;(2)若点E在线段PC上，直线DE与平面PAD所成角的余弦值是,指出点(3)求以AD为直径的球被侧面PAD截得的不规则图形的面积.(参考数据：cos53°≈0.6)19.(本小题满分17分)已知椭圆(a>b>0)的离心率为,N(2,0)是椭圆的右顶点，M是椭圆的上顶点，过点M且斜率为k₁,k₂的直线l₁,l₂分别交椭圆于A,B两点，满足k₁+k₂=1,y轴右侧且垂直于x轴的动直线l₃分别交l₁,l₂于C,D两点，H为线段CD的中点.(1)求椭圆的方程；(2)证明：过A,B两点的动直线恒过定点；(3)证明：动点H在一条定直线上.11月高二期中考试数学参考答案所以椭圆的焦距2c=√2.故选B.2.B【解析】直线2x-y+3=0的一个方向向量为(1,2),因为直线l与该直线垂直，所以直线4.A【解析】设AB=a,AD=b,AA₁=c,由题意可知|a|=1,b|=2,|c|=3,两夹角均体对角线AC₁=a+b+c,则AC|²=(a+b+c)²=因此体对角线AC的长度为5.故选A.5.C【解析】设点A(-2,1)关于x轴的对称点为A'(-2,-1),则光线经x轴反射后所在的直线经过点A'.易知反射直线的斜率存在，设直线的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.因为该直线与圆C:(x-3)²+y²=1相切，所以圆心(3,0)到该直线的距离等于半径1,即高二数学第1页共14页高二数学第2页共14页去，此时直线为y=-1,与x轴无交点)或此时直线方程为5x-12y-2=0,令6.D【解析】设点P(1,1)关于直线x+y-3=0的对称点为Q(x₀,y。),则线段PQ的中点在已即x₀+y₀=4.又直线PQ的斜率为直线x+y-3=0的斜率为-1,由垂直关系可即y₀-1=x₀-1,从而x₀=y%.联立方解得x₀=2,yo=2,故点Q的坐标为(2,2).故选D.7.C【解析】由题意知，圆C:x²+y²=线1:xsinθ+ycosθ+1=0的距离故当直线AB与直线x-y+2=0平行时，圆心C(0,0)到直线AB的距离最大，如图所示.设线段AB的中点为M,因为OM⊥AB,所以|OM|=d=1,,所以点M的轨迹为以点C(0,0)为圆心，1为半径的圆，故点M的轨迹方程为x²+y²=1.高二数学第3页共14页的方程为x-y+b=0,则,解得b=±√2,易知当b=√2时，交点A,B到直线x-y+2=0的距离和最大，所以√2(d₁+d₂)的最大值为8.D【解析】以D为原点，DA,DC,DD₁所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设则A(a,0,0),C(0,a,0),B(a,a,a),D,整理得动点P的轨迹方程为,其为以为球心，半径的球面.平面B₁CD₁的一个法向量为n=(1,-1,-1),球心M到平面B₁CD₁的距离,截面圆半将9.ABD【解析】b在a上的投影向量,计算得以c·a=0,即(1+22)+2(2-λ)+(-1)(-1+λ)=0,解得λ=6,故B正确；因为b=(2,-1,1),c·b=35>0,故选ABD.对于A,因为PC|=√(-1-2)²+(2-2)²对于B,当m=0时，直线1:2x-y+4=0,圆心C(2,2)到直线l的距离(与圆无交点)和(与圆有2个交点),故圆C上有2个点到直线I的距离等于2,故B错误；高二数学第4页共14页高二数学第5页共14页对于D,当直线l与x轴垂直时，其方程为x=-1,代入圆的方程得(-1-2)²+(y-2)²=18,解得y=5或y=-1,故E(-1,5),因为所以切线斜率为k=1,切线方程为y-5=1×(x+1),即x-y+6=0,故D正确.故选ACD.11.ABC【解析】由题意知，圆M:(x-m)对于A,若m=0,n=2,则圆M:x²+(y-2)²=1.易知直线I的斜率存在，设直线l的斜率为高二数学第6页共14页对于B,因为u⊥v,所以u·v=m×1+n×0+1×(-1)=m-1=0,解得m=1,故圆心为M(1,n),不在直线x-y=0上，故B正确；对于C,设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂),I两式相减对于D,当m²+n²=0时，m=n=0,圆M:x²+y²=1,圆心为M(0,0),半径R=1,此时点在圆M内，所以直线l与圆M相交，不符合题意，故D错误.故选ABC.13.【解析】设向量的基底为AB,AC,AD,AN=λAD(λe[0,1]),所以NA=-λAD,,所以NA-NM=(-λ.AD),λ∈[0,1],当时，取最小值当λ=1时，取最大值2,故NA·NM的取值范围14.5t²-4m²=4((第一空2分，第二空3分)高二数学第7页共14页A(x,y₁),B(x₂,y₂),由韦达定理.因为,所以 OA·OB=x₁x₂+yY₁V₂=0.(m²+1)y₁y₂+mt(y₁+y₂)+t²=0,代入韦达定理 得最小值,故△OAB面积的取值范围15.解：(1)若直线l的斜率为1,且经过点P(0,2),则直线l的方程为y=x+2.联立直线与椭圆方程，代入消元得，设A(x,y),B(x₂,y₂),由韦达定理得，由弦长公式可得， (2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0,代入椭圆方程得y=±1,不妨令(1+4k²)x²+16kx+12=0.设A(x₁,y),B(x₂,y₂),则因为OA·OB=0,所以xx₂+yy₂=0.又yy₂=(kx₁+2)(kx₂+2)=k²x₁x₂+2k(x₁+x₂)+4,化简得-4k²+16=0,解得k²=4,即k=±2(满足△>0),16.解：(1)由题可知，旋转体Ω为圆台，设其上底面半径为r,下底面半径为r,则体积………2分高二数学第8页共14页高二数学第9页共14页动点P在上底面圆周上，其坐标可设为P(cosθ,sinθ,2),则CP=(cosθ,sinθ-3,2).由直线PC与轴AD所成角化简得，cos²θ+sin²θ-6sinθ+9+4=16,所以点P的坐标…解得………10分旋转体底面所在平面的一个法向量为m=(0,0,1),设平面PBC与旋转体底面所成角为β,则高二数学第10页共14页圆C₂:(x-1)²+(y+1)²=4,圆心C₂(1,-1),半径r₂=2.将两圆方程相减，得-2x-6y+6=0,即公共弦所在直线的方程为x+3y-3=0.…2分所以公共弦长为…………………7分(2)直线1:kx-y+b=0,设圆心C₁(2,2)和C₂(1,-1)到直线l的距离分别为d₁,d₂.两边平方得，(2k-2+b)²=(k+1+b)²,即(2k-2+b当k=3时，直线1:3x-y+b=0.因为直线l与圆C₁和圆C₂相交，所当直线l经过时，解得b=-4,舍去，18.(1)证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB.又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,且BCc平面ABCD,所以BCI平面PAB.2分又因为BCc平面PCB,所以平面PCBI平面PAB.4分(2)解：如图，取AB的中点O,连接PO.又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PO⊥平面ABCD.在Rt△POA中，PO=1,得AO=√PA²-PO²=1,故AB=25分因为矩形ABCD的面积为4√2,所以BC=AD=2√2.以O为坐标原点，直线OB为x轴，过点O且平行于AD的直线为y轴，直线OP为z轴，建设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),由AD=(0,2√2,0),PA=(-1,0,-1)即高二数学第12页共14页设直线DE与平面