常微分方程 课件 5.2常系数线性微分方程组、6.2线性微分方程组

第五章线性微分方程组LinearOrdinaryDifferentialSystems§5.1.1线性微分方程组解的存在唯一性定理/Constant-coefficientLinearODEs/

§5.1.2线性微分方程组的一般理论§5.2常系数线性微分方程组

*§5.3Laplace变换§5.1线性微分方程组的一般理论

本章目录/Contents/1、常系数齐线性微分方程组的基解矩阵的结构，这里A是常数矩阵。2、通过代数的方法，寻求(1)的一个基解矩阵。(1)本节主要内容/MainContents/：一、矩阵指数expA的定义和性质1、无穷矩阵级数的定义如果每个收敛，则收敛。判断无穷矩阵级数收敛的法则：,而级数收敛，则收敛。同理，可给出在区间I上的一致收敛的定义，和函数等类似的结果。定义1

矩阵指数

其中E为n阶单位矩阵,是矩阵A的m次幂。，expA是一个确定的矩阵。证：对于一切正整数k，由于，而收敛，则收敛。(2)2、矩阵指数的定义注：由矩阵指数的定义知注：注：对于一切正整数k，当(c是某一正常数)时，有而数值级数是收敛的，(3)在

t

的任何有限区间上是一致收敛的。定义2

矩阵指数函数因而(5.2.3)在

t

的任何3、矩阵指数函数的定义有限区间上是一致收敛的。4、的性质性质1如果矩阵A，B是可交换的，即AB=BA，则.证：由于级数绝对收敛，故由绝对收敛级数的乘法定理，得另一方面，由二项式定理及AB=BA

，故。性质2

对于任何矩阵A，存在，且.事实上性质3

如果T是非奇异矩阵，则证

A与-A是可交换的，故在中,令B=-A

得定理9证明：由于故是方程组(5.33)的解矩阵，又因为因此,是方程组(5.33)的标准基解矩阵。证毕!(4)矩阵指数函数是方程组(1)：的标准基解矩阵。5、常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵(其中未写出的元素均为零)例1

如果A是一个对角矩阵，试求出

的基解矩阵。解：方程组即为据定理9，该方程组的基解矩阵为例2

试求的基解矩阵。解：由于，易验证后面的两个矩阵是可交换的，故有因此，基解矩阵就是但是，故其中常数和非零向量c是待定的。因为，故(6)二、

基解矩阵的计算公式(1)(5)猜想：假设常系数线性微分方程组(1)有形如的解，反过来，和向量c

满足代数方程组(6)，则.逢解必代：将(5)代入(1),得和非零向量c

满足代数方程组(6)：矩阵A的特征方程：是A

的特征值，c

是A

的属于的特征向量。结论：是常系数齐次线性微分方程组(1)的非零解下面分情况来求方程组(1)的基解矩阵.例3

求解方程组.【解】先求系数矩阵A的特征值.，故.再求每个特征值对应的特征向量.最后写通解.是常系数线性微分方程组

的一个基解矩阵。定理10如果矩阵

A具有n个线性无关的特征向量CaseI矩阵A有n个线性无关的特征向量特征值分别为(不必各不相同)，它们对应的那么是线性无关的,故【证明】由前面的分析知每一个向量函数都是方程组(1)所以是基解矩阵。的一个解,又【注1】它们对应的特征向量分别为那么是常系数线性微分方程组

的一个基解矩阵。推论（特殊情形）：如果矩阵

A具有n个互不相同的特征值，利用标准基解阵的表示标准基解阵一定为实矩阵。【注2】，可以将复的基解矩阵化为实的基解矩阵，因为【注3】若实系数线性方程组(1)：有复值解，则其实部与虚部都是（1）的解.例4

试求解方程组【解】S1求A

的特征值和对应的特征向量S2求基解矩阵S3写通解【解】例5

试求解S1求A

的特征值和特征向量从而对于任意常数,类似地，可以求出对应于的特征向量为，其中是对应于的特征向量，S2求实基解矩阵从而方程组有两个线性无关的解就是一个基解矩阵，于是进而S3写通解S1:计算特征值，特征向量；求实基解矩阵的步骤(利用定理10):S2:求解基解矩阵/求标准基解矩阵（实）；S3:写出方程的通解。例6

求方程组的通解.三个互异的特征根S1:计算特征值，特征向量；S2:求解基解矩阵/求标准基解矩阵（实）；S3:写出方程的通解。例7

求方程组的通解.有重特征值：重数=特征向量的个数即：特征子空间的维数=重数例8

求方程组的通解.有重特征值：重数≠特征向量的个数需要对特征子空间进行直和分解CaseII(一般情形)基解矩阵的计算公式：利用空间的直和分解假设A是一个矩阵，且有k个不同特征值，定理11它们的重数分别为，其中.则方程组(1):满足初始条件从而方程组的(标准)基解矩阵其中而其中而且是n维空间U的直和分解，即.(7)的解可表示为：这时对于任何u

都有(5.53)从而当A只有一个n重的特征根时，无需将特征向量进行分解.推论：【解】S1

求A

的特征值S2

代入公式，求初值问题的解例9

试求解，其中，.S3

求A

的标准基解矩阵【解】S1

求A

的特征值例10试求方程组的解，并求expAt.满足初始条件为了确定三维线性空间的子空间，我们需分别解方程组：S2

确定的分解子空间子空间解之得由此将分解为：，其中.S3

求满足初始条件的解为S4

求出expAt依次令为,得到三个线性无关的解.S5

求通解:x(t)=(expAt)c以这三个解作为列，得公式(5.52)的应用：定理11给定常系数齐次线性微分方程组(1)有：1）若A的特征值的实部都是负的，则(1)的任一解当时都趋于0；2）若A的特征值的实部都是非正的，且实部为0的特征值都是简单特征值，则(1)的任一解当时都保持有界；3）若A的特征值至少有一个具有正实部，则(1)至少有一个解当

时趋于无穷.

三、利用Hamilton-Cayley定理计算基解矩阵设A为n阶矩阵，其特征方程为(递推法)若为A的特征值，则Hamilton-Cayley定理：设是n阶矩阵A的特征多项式，则即：基解矩阵的计算：其中而是下列方程组(递推法)定理12设为A的特征值（不必各不相同），则方程组的标准基解矩阵满足初始条件的解.【证明】记，下证是方程组的解矩阵.事实上，由H-C定理知故又因故是方程组的标准基解矩阵.证毕！从而例11

求的标准基本解矩阵expAt，其中【解】S1

求A

的特征值S2

解方程组S3

确定从而例12

求的标准基本解矩阵expAt，其中【解】S1

求A

的特征值S2

解方程组S3

确定矩阵从而四、常系数非齐次线性方程组的解【方法1】常数变易公式一阶n维常系数非齐次线性微分方程组通解的结构：方程组(8)的通解=对应的齐次方程组(1)的通解+本身的一个特解其中A为n阶常矩阵，

为连续的向量函数。1、方程组(8)的通解为或不必求2、方程组(8)满足初始条件的解为或例13

试求初值问题【解】例14

试求解方程组【方法2】比较系数法适合的类型：指数函数与多项式函数之积例15

求解方程组例16

试求方程组的通解.

第六章线性微分方程组Non-LinearOrdinaryDifferentialSystems本章目录/Contents/§6.1Lyapunov稳定性及相关概念/Lyapunovstability/

§6.2非线性系统的稳定性的判别方法/Methodsofstabilityfornonlinearsystems/

§6.3平面线性系统的奇点及类型

/Singularitiesandtypesofplanarlinearsystems/本节主要内容/MainContents/：1、线性近似稳定性方法2、Lyapunov第二方法/V函数法1、线性系统的稳定性判别定理11给定常系数齐次线性微分方程组(1)有：1）若A的特征值的实部都是负的，则(1)的任一解当时都趋于0；2）若A的特征值的实部都是非正的，且实部为0的特征值都是简单特征值，则(1)的任一解当时都保持有界；3）若A的特征值至少有一个具有正实部，则(5.33)至少有一个解当时趋于

无穷。一、线性近似稳定性方法公式(7)的一个应用结论(线性系统的稳定性判别):

常系数线性微分方程组取决于系数矩阵A的特征值的实部的符号.i)若矩阵A的特征值均具有负实部，则方程组的零解是渐近稳定的;ii)若矩阵A有正实部的特征值，则方程组的零解是不稳定的;iii)若矩阵A没有正实部但有零特征值或零实部的特征值，则方程组

的零解可能稳定，也可能不稳定。临界情形具体地，有如下三种情形：2、非线性系统的稳定性判别法：线性近似决定稳定性考虑n维一阶非线性驻定方程组(6.2)其中，满足，且在原点的邻域内具有一阶连续偏导数.由Taylor定理，在处一阶Taylor展开，得其中故在原点的邻域内有其中(6.3)总结：非线性方程组(6.2)零解的稳定性非线性方程组(6.3)零解的稳定性线性近似方程组：定义2若非线性方程组(6.3)中的向量函数R(x)满足则称常系数线性方程组为非线性方程组(6.3)的线性近似方程组.(6.4)常系数线性方程组(6.4)零解的稳定性转化？定理1设非线性方程组(6.3)中的向量函数R(x)满足若线性近似方程组(6.4)的系数矩阵A没有零特征值或零实部的特征值，则非线性方程组(6.3)的零解的稳定性与其线性近似方程组(6.4)的零解的稳定性一致。具体地，i)若矩阵A的特征值均具有负实部，则方程组(6.3)的零解是渐近稳定的;ii)若矩阵A有一个正实部的特征值，则方程组(6.3)的零解是不稳定的。线性近似决定稳定性方法：注1定理1的证明需要用到后面的Lyapunov第二方法；注2对于临界情形，不能用线性近似稳定性方法判别(6.3)的零解的稳定性；注3如何判别方程的根的实部是否为负呢？——赫尔维茨判别法3、实例分析实例1考查生态学中的强肉弱食模型的零解的稳定性.（6.5）【解】令，易见系统的非线性项满足从而在原点的某邻域内，系统的线性近似方程组为或（6.6）易见（6.6）有两个互异的实特征值，且从而，由线性近似稳定性方法知，系统(6.5)的零解是不稳定的.【反映的事实】随着时间的不断变化，这两个种群景点数量不会趋于0，即它们不会濒临灭绝.符合自然规律，处于一种生态平衡状态.实例2考查数学摆振动的模型【解】（6.7）的零解的稳定性，其中为阻尼系数.令，则方程组(6.7)化为如下方程组或（6.8）易见系统(6.8)的非线性项满足从而在原点的某邻域内，系统（6.8）的线性近似方程组为（6.9）计算(6.9)的特征值得故i）当时，ii）当时，从而数学摆的零解是渐近稳定的；属于临界情形！不能按线性近似稳定性方法决定其稳定性。二、V函数法/Lyapnuov第二方法实例【无阻尼的数学摆】对于无阻尼数学摆的振动模型其线性近似系统的特征根为纯虚根:，属于临界情形.【另辟蹊径】直接对方程组进行处理.构造函数该函数满足：i),而当时，ii)沿着解

的全导数对上式两边从到积分，得——通解！(表示面上的一条曲线）由和的性质知，当C足够小时，是围绕原点的一族闭曲线.因此，无阻尼的数学摆振动系统的零解是稳定的，但不是渐近稳定.借助构造一个具体特殊性质的函数（称为Lyapunov函数，或函数)，利用该函数及其通过方程组的全导数的性质来确定方程组解的稳定性的方法.函数法/Lyapunov第二方法1、常号函数与定号函数【定义1】设函数是域上的一个是连续函数，i)若在上，，则称为常正函数(或常负函数)；

常正、常负函数统称为常号函数.

ii)若在上，，则称为定正函数(或定负函数)；定正、定负函数统称为定号函数.

iii)若在原点的任一领域内既可取正值又可取负值，则称

为变号函数.

【例】在全平面上是常正函数；

是全平面是的一个定正函数；

在域上是定正的，在全平面是变号的.2、全导数【定义2】设函数