模糊数学理论与方法（第2版）课件 蒋长鸿 第3章 模糊关系与模糊关系方程

第三章

模糊关系及模糊关系方程3.1模糊关系基本概念普通关系普通关系都是二值的，换言之，对于任意两个元素，在它们之间或者存在关系，或者不存在关系，两者必居且仅居其一。这种关系适合于描述“清晰确定”的关系。模糊关系需要有描述关系程度的量来补充描述的关系。如：“远远大于”关系。模糊关系的定义定义3-1

集合X到集合Y的一个“二元模糊关系”R是给定论域X×Y中的模糊集合，并可记为：。模糊关系R的隶属函数R（x,y）是X×Y到实数区间[0,1]的一个映射。特别的，当Y=X时，称R为“论域X中的模糊关系”。隶属函数R(x，y)的实质对于任意x∈X，y∈Y，隶属函数R(x，y)事实上表示了x、y之间存在关系R的程度。例3－2

在医学上通常使用公式：体重（公斤）＝身高（厘米）－100来描述正常人的体重与身高间的关系。这个关系式实际上是一个普通的二元关系，它仅仅给出了正常人的标准身高与体重间的关系。事实上，对于一般的健康人，如果采用此关系式衡量身高与体重时常会有些误差，但这并不能说明他们不正常。所以，以此关系为基础产生出的模糊关系表（表3－1）将能更客观地反映身高与体重间的关系。

模糊关系的运算由于模糊关系R是笛卡儿乘积集合X×Y中的模糊集合，所以在第二章中讨论的模糊集合运算定义和性质也完全适用于模糊关系。定义3-2

设R、S均为集合X到Y的模糊关系，则对于任意（x，y）∈X×Y:

逆关系

三个特殊的模糊关系

模糊关系的性质3.2模糊矩阵与截矩阵当论域为有限集合时，对于普通二元关系的描述常常用关系矩阵的方法。与此类似，对于有限论域上的二元模糊关系，也常常采用模糊矩阵描述。3.2.1模糊矩阵及其运算

模糊矩阵的特点①它的元素值均在[0，1]之间。②它的运算与普通矩阵有所不同，而基本与模糊集合的运算相似。③

描述二元关系的布尔矩阵是模糊矩阵的特例。

三类特殊的模糊矩阵零矩阵全矩阵单位矩阵3.2.2模糊矩阵运算性质

模糊矩阵的并、交、补运算具有与2.5中给出的各种模糊集合性质相同的性质（交换律、结合律、分配律、幂等律、吸收律、对偶律等），还具有与3.1中给出的各种模糊关系性质相同的性质。补充性质

3.2.3模糊矩阵的截矩阵

截矩阵的特点

(1)截矩阵是布尔矩阵。

(2)依据截矩阵可以定义截关系。3.2.4模糊矩阵的转置转置矩阵的性质3.3模糊关系合成问题的提出现有模糊关系R=“X较Y年龄大”

S=“Y较Z年龄大”我们希望得到关系表示为较“X较Z年龄大”。模糊关系合成根据不同的需要，模糊关系有不同的合成，我们讨论最常用的一种合成，称为最大最小合成。

幂运算模糊关系与自身的合成运算又称“幂”运算，即：

模糊矩阵合成

例3–6设模糊矩阵

R=S=

显然，R·S无意义，然而有:S·R=

模糊数学的合成运算性质(1)结合律：R·(Q·S)=(R·Q)·S(2)对∪的分配律：R·(Q∪S)=(R·Q)∪(R·S)(Q∪S)·R=(Q·R)∪(S·R)(3)对∩的分配律：

R·(Q∩S)(R·Q)∩(R·S)

(Q·R)∩(S·R)(Q∩S)·R

注：证明时用到不等式（a1∧b1）∨（a2∧b2）≤（a1∨a2）∧（b1∨b2）

(4)若RQ,且S·R和S·Q均有意义时，则S·RS·Q(5)若RQ,且R·S和Q·S有意义时，则R·SQ·S3.4几种重要的模糊关系

模糊关系具有三大性质自反性自反模糊矩阵的特点自反模糊矩阵是主对角线元素均为1的方阵。

自反闭包

自反闭包的本质自反闭包r(R)是包含R的最小自反模糊关系。

自反闭包的性质

例3—7对于例3—6的模糊矩阵是，其自反闭包为

r(S)=S∪I=∪=

对称性

对称模糊矩阵的特点在有限论域中，对称模糊矩阵表示一个对称模糊关系。不难推断，对称模糊矩阵必定是个对称方阵。对称闭包对称闭包的本质事实上，对称闭包S(R)是包含R的最小对称模糊关系。

对称闭包的性质

例3—8对于3—6中的模糊矩阵S，其对称闭包为

S(S)==∪=

这是个对称的方阵，并且由于它的任意元素均大于或等于S的对应元素，可知它包含S。

传递性例3—10设

R=

因为R=R

由定理3—2知R是一个传递模糊关系。定义3-20设R为模糊矩阵，如R满足RR·R，则称R为“传递模糊矩阵”。

传递性的特点在有限论域中，传递模糊矩阵表示一个传递模糊关系。传递模糊矩阵必定是个方阵。

传递闭包

传递闭包的本质传递闭包t(R)是包含R的最小传递模糊关系。

传递闭包的性质

对于任意模糊关系R，传递闭包具有如下性质：定理3-7设n阶模糊矩阵R是自反的，则对于任意整数m≥n，有。

3.4.2特殊的模糊关系

模糊相似矩阵定义3-22设R为论域X上的模糊关系，若R具有自反性和对称性，则称R为X上的“模糊相似关系”。并且当X有限时，与R对应的模糊矩阵称为“模糊相似矩阵”。模糊等价矩阵

定义3-23设R为论域X上的模糊关系，若R具有自反性、对称性和传递性，则称R为X上的“模糊等价关系”。并且当X有限时，与R对应的模糊矩阵称为“模糊等价矩阵”。

模糊亚序关系定义：设R是X上的模糊关系，如果它具有自反性和传递性，则称R为关于X的模糊亚序关系。模糊有序关系定义：设R是X上的模糊关系，如果它具有自反性、反对称性和传递性，则称R为关于X的模糊有序关系。如果存在有

R(x,y)=R(y,x)=0,则称R为关于X的模糊半序关系，否则称R为关于X的模糊全序关系。

定理3-8若R为论域X上的模糊相似关系，则R的传递闭包t(R)必为Ｘ上的模糊等价关系。例3-13

设Ｘ＝｛a,b,c,d,e｝,在Ｘ中有模糊关系等价矩阵Ｒ=①时得故得五个等价类：{a};{b},{c},{d},{e}②时得故得四个等价类：{a,c}；{b}；{d}；{e}③时得

故得三个等价分类：{a,b,c}，{d}，{e}④时得故得两个等价分类：｛a,b,c,d｝,{e}⑤0≤≤0.40时得R=E=(1),故得的等价类仅有一个：｛a,b,c,d,e｝第三章

（续）模糊关系及模糊关系方程3.4几种重要的模糊关系3.4.1模糊关系三大性质自反性定义3-13

设R为论域X上的模糊关系，若对于X中的任意元素x恒有R(x,x)=1，则R具有自反性，并称R为S上的“自反模糊关系”；若对于X中的任意元素x恒有R(x,x)=0，则R具有反自反性，并称R为S上的“反自反模糊关系”。定义3-124

设R为模糊矩阵，若R满足RI则称R为“自反模糊矩阵”。在有限论域，模糊矩阵表示一个自反模糊关系。自反模糊矩阵的特点自反模糊矩阵是主对角线元素均为1的方阵。

自反闭包定义3-15

设R为任意模糊关系，S为某一自反模糊关系。若对于任意包含R的自反模糊关系Q有SQ，且有RS，则称S为R的“自反闭包”，记为r(R).

自反闭包的本质自反闭包r(R)是包含R的最小自反模糊关系。

自反闭包的性质对于任意模糊关系R,自反闭包具有性质：

r(R)=R∪I证明：①R∪I具有自反性②设r（R）≠R∪I，根据定义R∪Ir（R），所以必存在某个x、y∈X，x≠y，使得：

例3—7对于例3—6的模糊矩阵是，其自反闭包为

r(S)=S∪I=∪=

对称性定义3-16

设R为论域X上的模糊关系，若对于X中的任意元素x、y，恒有R(x,y)＝R(y,x)，则称R具有对称性，并称R为X上的“对称模糊关系”；若对于X中的任意元素x、y，且x≠y，都有R(x,y)≠R(y,x)或R(x,y)＝R(y,x)＝0，则称R具有反对称性；如果对于X中的任意元素x、y且x≠y，R(x,y)＞0，都有R(y,x)＝0，则称R具有完全反对称性。定义3-17设R为模糊矩阵，若R满足，则称R为“对称模糊矩阵”。

对称模糊矩阵的特点在有限论域中，对称模糊矩阵表示一个对称模糊关系。不难推断，对称模糊矩阵必定是个对称方阵。对称闭包定义3-18

设R为任意模糊关系，T为某一对称模糊关系。若对于任意包含R的对称模糊关系Q有TQ，且有RT，则称T为R的“对称闭包”，记为S(R)。对称闭包的本质事实上，对称闭包S(R)是包含R的最小对称模糊关系。

对称闭包的性质对于任意模糊关系，对称闭包具有如下性质：

证明：①具有对称性

②均引起矛盾，

例3—8对于3—6中的模糊矩阵S，其对称闭包为

S(S)==∪=

这是个对称的方阵，并且由于它的任意元素均大于或等于S的对应元素，可知它包含S。

传递性定义3-19设R为论域X上的模糊关系，对于X中的任意元素x、y、z，以及区间[0，1]中的任意实数λ,R(x,y)≥λ及R(y,z)≥λ，如有R（x,z）≥λ，则称R具有传递性，并称R为X上的“传递模糊关系”。

定义3-19’

设R为模糊矩阵，如R满足RR·R，则称R为“传递模糊矩阵”。传递性的特点在有限论域中，传递模糊矩阵表示一个传递模糊关系。传递模糊矩阵必定是个方阵。

传递闭包定义3-20

设R为任意模糊关系，S为某一传递模糊关系。若对于任意包含R的传递模糊关系Q有SQ，且有RS，则称S为R的“传递闭包”，记为t(R)。传递闭包的本质传递闭包t(R)是包含R的最小传递模糊关系。

传递闭包的性质

对于任意模糊关系R，传递闭包具有如下性质：

定理3-13设R为论域X上的模糊关系，则R为传递关系的充要条件为：对于任意X中的元素x、y、z，以下关系成立：证明：先证必要性。设R为论域X中的传递模糊关系，任取，令：现证明充分性。设对于任意x、y、zX，有关系式：由定义3–17知R是传递的。

定理3-3模糊关系R具有传递性的充要条件为。证明：(1)必要性：设R为论域X上的传递模糊关系，则

(2)充分性：例3—10设

R=

因为R=R

由定理3—2知R是一个传递模糊关系。定理3-6

对于任意n阶模糊矩阵R必有

定理3-7设n阶模糊矩阵R是自反的，则对于任意整数m≥n，有。

3.4.2特殊的模糊关系

模糊相似矩阵定义3-22设R为论域X上的模糊关系，若R具有自反性和对称性，则称R为X上的“模糊相似关系”。并且当X有限时，与R对应的模糊矩阵称为“模糊相似矩阵”。模糊等价矩阵

定义3-23设R为论域X上的模糊关系，若R具有自反性、对称性和传递性，则称R为X上的“模糊等价关系”。并且当X有限时，与