一轮复习学案27函数的图象

2.7函数的图象

必备知识预案自诊

知识梳理

1.利用描点法作函数图象的流程

4确定函数的定义域)

建)一k化简函数解析式)

丫讨论函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对楞丽

一、［除考虑点的一般性外,尤其要注意特殊点，如：

袤)一与坐标轴的交点、顶点、端点、最(极)值点、

〔对称点等

(M)―(画出直角坐标系，准确描出袭中后一)

(^)~(用光滑的曲线连接所描点)

2.函数图象间的变换

(1)平移变换

|月”|

上移种t>o)个单位长度

回幽之”。篙位长度冷Ugo落位长度"回国

下移欣t>0件单位氐度

对于平移,往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀:左加右减，上加下减.

(2)对称变换

关于渊对称|函蜘V(-x)的图系

函

数翻枭疮3曜

月⑺

的x轴及上方部分不变「J函物=|/(x)|的图幻

图X轴下方部分翻折到上方

象阚，轴左倒部分去掉、右侧不空

y轴右侧部分翻折到左'函物的x|)的图象

(3)伸缩变换

纵坐标不变

各点横坐标变为原来的4。>。)倍

)5©

横坐标不变।

产/U)各点纵坐标变为原来的A(A>0)倍')="%).

常用结论

L函数图象自身的轴对称

(1)/UK)=AX)Q函数y=/U)的图象关于y轴对称;

⑵函数y=7(x)的图象关于x=a对称内(。+*)=犬〃")0段)=火2击¥)0人区)寸24+工)；

(3)若函数正人目的定义域为R,且有人。+幻=如”幻,则函数产;(幻的图象关于宜线门等对称.

2.函数图象自身的中心对称

(1皿孑)=小灯o函数y=/x)的图象关于原点对称；

(2)函数＞寸》)的图象关于(a,0)对称针*a+x)=：/(a-x)母/㈤=：A2〃-x)eA-x)=，2a+x);

⑶函数y=危)的图象关于点3力)成中心对称气/(a+x)=2〃及J)=AX)=2/)-/(2^-x);

(4)若函数产/㈤的定义域为R,且满足条件/(a+x)+#〃-x)=c(a,〃,c为常数)，则函数'=危)的图象

关于点(等彳)对称.

3.两个函数图象之间的对称关系

⑴函数y=/(a+x)与丫=的㈤的图象关于直线x=等对称(由a+x=b-x得对称轴方程)；

(2)函数＞可5)与y=A2“㈤的图象关于直线尸。对称；

(3)函数y书x)与y=2b*x)的图象关于点(0,6)对称;

(4)函数产凡0与.v=20-/i2a-x)的图象关于点(”⑸对称.

考点自诊

1.判断下列结论是否正确，正确的画‘V”,错误的画“X”.

(1)将函数y=/U)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数

y=/(x+1)+1的图象.()

(2)当x『0,+8)时,函数产区刈与广川川)的图象相同.()

(3)函数)，可口)与)=/田的图象关于原点对称.()

(4)若函数y=/(x)满足火l+x)=y(l-x),则函数於)的图象关于直线x=l对称.()

⑸若函数产/⑴满足危・1)=/5+1),则函数人工)的图象关于直线41对称.()

2.(2020山东师大附中月考)函数)，=log2l*的图象大致是()

3.(2020天津,3)函数产磊的图象大致为()

AB

5.已知函数/U)=2X-I,则不等式以)>()的解集是()

A.(-IJ)B.(-x,-l)U(h+a))

C.(O.l)D.(c,O)U(l,+s)

关键能力学案突破

考作函数

Jfr的图象

【例1】作出下列函数的图象:

⑴产|lgx|;⑵)=2*

(3)y=『-2|x|-l;(4)y=詈.

X-1

解题心得作函数图象的一般方法

(1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函

数的特征直接作出.

(2)图象变换法.变换包括平移变换、伸缩变换、对秫变换、翻折变换.

(3)描点法.当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较

准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出.

对点训练1作出下列函数的图象：

(l)y=10|lgA,;

(2)y=|x-2|.(x+l)；

x+2

⑶

考函数图象的识辨(多

点考向探究)

考向1知式判图

【例2】(2020山东;潍坊一模,5)函数./U)=黑^在［-兀兀］上的图象大致为()

考向2知图判式

［例3］(2020河北沧州一模，理5)己知函数人r)的图象如图所示，则/U)可以为()

A7U)W-;

ex-e'x

2

CJ(x)=--x

D2?el*l

考向3知图判图

【例4】己知定义在区间［0,2］上的函数.y=/(x)的图象如图所示，则产次2-幻的图象为()

解题心得函数图象的辨识可从以下方面入手：

⑴从函数的定义域判断图象“左右”的位置;从函数的值域判断图象的“上下”位置.

(2)从函数的单调性判断图象的变化趋势.

(3)从函数的奇偶性判断图象的对称性.

(4)从函数的周期性判断图象的循环往复.

(5)必要时可求导研究函数性质，从函数的特征点，排除不合要求的图象.

利用上述方法，可排除、筛选错误与正确的选项.

对点训练2(1)(2019全国I,理5)函数人.()=怒篝在［-兀汨的图象大致为()

y

（2）（2020山东青岛5月模拟,4）下列函数的解析式（其中e=2.7l828…为自然对数的底数）

与所给图象最符合的是（）

A.j=sin（ev+ev）B.y=sin（ev-er）

C.y=tan（ex-e'A）D.>,=cos（e'+e'A）

⑶已知函数产Rv）和函数），=g（2的图象，则函数产/3长。）的部分图象可能是（）

|函数图象的应用（多

]点|考向探究）

考向1与函数零点有关的参数范围

【例5】（2018全国1,理9）已知函数段）=｛；U°j

四）二⑥）+/公若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）

A.[-l,0）B40,+8）

C.f-l,+oo）DJ1,4-OD）

解题心得将函数的零点转化为方程的根,构造方程两边的函数，通过函数图象的交点个数

满足已知函数零点个数，求出参数的取值范围.

对点训练3已知凡Y）=I"/-1，若关于X的方程a=/U）恰有两个不同实数根，则

-X2+4x-2,x>1,

实数。的取值范围是（）

A.(-oo,1)U[l,2)B.(0,i)U[l,2)

C.(l,2)D.[l,2)

考向2已知函数不等式求参数的范围

[例6](2020湖南永州二模，理9)已知函数./(X)是定义在R上的奇函数，当x<0

时府)=2卡+2|.若对任意的x£[-l,2]府+〃)>/3)成立,则实数〃的取值范围是()

A.(0,2)

B.(0.2)U(-8,-6)

C.(-2,0)

D.(-2,0)U(6,+oo)

解题心得有关函数不等式的问题，常常转化为两函数图象的上、下关系来解.

对点训练4(2019全国2,理12)设函数启)的定义域为R，满足於+1)=4U),且当

时1/U)=X(X-1).若对任意(-8,/〃],都有/(x)2-5则的取值范围是()

A(9

A.\-8q」

D.J垓一

考函数图象对称性

点的应用

【例7】已知定义域在R上的函数«r)满足/(x+l)+川㈤=2.当x>l时力幻=37.则关于x

A-1

的方程人丫)+2。=0没有负实数根时，实数。的取值范围是()

A.(-8,-l]U.-1,+CC)

B.(OJ)

c/-l,-puCl+oo)

D.(-2,JUC1.0)

解题心得由1-x)=7U)=y=Ki)的图象关于原点对称贝卡尸十幻句^孑户:/^+幻,当把0换

成。时，则有fia-x)=-fia+x\<=>函数丁守U)的图象关于点(〃,0)对称，推广可得fia+x)=2b-fia-x)<^

函数y=Jix)的图象关于点(a,〃)对称.

对点训练5(2020北京海淀一模,7)已知函数人丫尸卜加|与函数g(x)的图象关于y轴对称.

若g(x)在区间(1,2)内单调递减，则，n的取值范围为()

AJ-1,+8)

C.[-2,+oo)

D.(-8,-2]

要点归纳小结

L作图的方法有：

(1)直接法，利用卷本初等函数作图：

(2)图象变换法,如平移变换、对称变换、伸缩变换等；

(3)描点法.为使图象准确，可通过研究函数的性质如定义域,、值域、奇偶性、周期性、单调性等了解图象的

大体形状.

2.识图题与用国题的解决方田：

(1)识图:对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变化魅势、对称性等方面研究函数的定义

域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.

(2)用图:要用函数的思想指导解题.即方程、不等式的问题用函数图象来解.

&错3混警示

1.确定函数的图象，一定要从函数的定义域及性质出发.

2.识图问题常常结合函数的某一性质或特殊点进行排除.

3.要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别.

2.7函数的图象

必备知识预案自诊

知识梳理

2.(\)y=J(x)-k(2)函数产次㈤的图象

考点自诊

1.⑴x(2)x(3)V(4)/(5)x

2.C函数y=log2|x|为偶函数，作出x>0时y=log2X的图象，图象关于y轴对称，故选C.

3.A..•函数产主7为奇函数，,排除选项CD.再把工=1代入得)=J=2>(),排除选项B.故

选A.

4.A因为J[-x)=(-x)cos(-x)+sin(-x)=-(xcos.r+sinx)V[-词，所以函数人处是奇函数,

故排除C,D,当工£(01)时/cosx+siiu>0,所以排除B.故选A.

5.D因为凡i)=2'.-l,所乂儿1)>0等价于2,什1,

在同一直角坐标系中作出产2•'和)=x+l的图象.如图，

两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),不等式2'X+l的解为x<0或X>1.所以不等式

氏x)>0的解集为(-8,0)0(1,+8).故选D.

关键能力•学案突破

髭02<1的图象如图「

例1解⑴尸

(2)产2/2的图象是将产2、的图象向左平移2个单位长度.其图象如图2.

言M2的图象如图3・

(3)产

⑷因为产1十三冼作出产。的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1

X-1X

个单位长度，

即得产詈的图象，如图4.

对点训练1解(1)当“21时Jgx20j=10喇=10®=司当0<x<l

时，丘(0,y-10厕T0*T0星=i.

x,x>1,

故尸1n/Y/1

一,U<X<1.

5

图1

这是分段函数，每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出，如图1.

2

⑵当x22,即x-2^0时,y=(x-2)(x+l)=d*2=H)-%

当x<2,即x-2<0Bd-,j=-(JV-2)-(x+l)=-jr+jr+2=-(x-+*

MA上”

所以),二八2/4

1(E)+MN

这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数的图象作出，如图2.

(3))=室=1-与，该函数图象可由函数的图象向左平移3个单位长度，再向二平

'Jx+3x+3/x

移1个单位长度得到，如图3所示.

.4"^74-°-x-

图3

例2A当工£(0,兀)时,x>sint,此时抬产含襄>0,只有选项A符合题意，故选A.

例3A首先对4个选项进行奇偶性判断,可知凡t)=子为偶函数，不符合题意，排除选项

B;其次对其在(0,+8)上的零点个数进行判断在0+8)上无零点，不符合题意，排除

选项D;然后进行单调性判断应r)W-x在(0,+8)上单调递减，不符合题意，排除选项C.故选

A.

mi,、作关于y轴对称的图象4、向右平移2个单位、作关于工轴对称的图象

例4By=J(x)----------------------^y=J(-x)------------------y=J(2-x)-

y=：*2-X).故选B.

对点训练2(1)D(2)D(3)A⑴由/Gx)=7U)及区间［几兀］关于原点对称，得yw是奇函数,

其图象关于原点对称，排除选项A.又尼)=堪=等>1加=五枭>0,排除选项BC故

(2)口口

选D.

(2)当x=0时，产sin(e)+e")=sin2>0,故排除选项A;)=sin(c°-e°)=0,故排除选项

B;产tan(e°-e°)=0,故排除选项C;产cos(e°+e°)=cos2<0,符合题意.故选D.

(3)由已知图象可知，函数;W是偶函数,g(x)是奇函数，所以函数y=/W-g(x)是奇函数,

故排除选项B;当(次,今)时JU)・g(x)<0,当(-*0)时«x)・g(x)>0,同时旷习㈤以文)在

x=0处无定义，故选A.

例5C要使得方程g（x）=J（x'）+x+a有两个零点，等价于方程/（x）=-x-a有两个不同的实根,

即函数），=/*）的图象与直线y=-x-a的图象有两个交点，从图象可知，必须使得直线y=-x-a

位于直线）=j+1的下方，所以即。2-1.故选C.

对点训练3B关于x的方程，可㈤恰有两个不同的实根，等价于产"=m）的图象有两个

不同的交点，画出）=aJ弓"）的图