北京2026年9月高三数学联考押题试卷及答案

北京2026年9月高三数学联考押题试卷及答案第1页共1页北京2026年9月高三数学联考押题试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知函数f(x)=∫[0,x](t+1)^2dt，则f'(2)的值为（）。A.9B.10C.11D.12参考答案：B2.若函数g(x)在区间[1,3]上的平均变化率为2，则存在某点x0∈[1,3]，使得g'(x0)=（）。A.2B.3C.4D.5参考答案：A3.函数y=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的定积分为（）。A.3B.4C.5D.6参考答案：C4.设函数F(x)是函数f(x)=e^x的一个原函数，且F(0)=1，则F(1)的值为（）。A.eB.e+1C.e-1D.1参考答案：A5.若函数q(x)=x^3-4x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为（）。A.8B.9C.10D.11参考答案：B6.设函数F(x)是函数f(x)=x^3的一个原函数，且F(1)=1，则F(2)-F(1)的值为（）。A.5B.6C.7D.8参考答案：B7.函数y=sin(x)+cos(x)在区间[0,π/2]上的定积分为（）。A.1B.2C.πD.π/2参考答案：A8.已知函数h(x)在区间[0,1]上的原函数为H(x)，且H(0)=0，则H(1)的值为（）。A.1B.2C.eD.e^1参考答案：B9.若函数f(x)在区间[0,1]上连续且满足∫[0,1]f(t)dt=1，则f(0)的值可能为（）。A.0B.1C.-1D.任意实数参考答案：D10.函数y=x^2-4x+3在区间[0,2]上的定积分等于（）。A.-2B.-1C.0D.1参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.若函数f(x)=∫[0,x](t^2-2t+3)dt，则f'(2)=______。参考答案：-152.已知函数g(x)在区间[1,3]上的平均变化率为3，则存在某点c∈(1,3)，使得g'(c)=______。参考答案：33.函数y=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的定积分为______。参考答案：24.设函数F(x)是函数f(x)=e^x的一个原函数，且F(0)=1，则F(x)=______。参考答案：e^x5.若函数h(x)在区间[0,1]上的平均变化率为4，则根据拉格朗日中值定理，存在某点ξ∈(0,1)，使得h(ξ)=______。参考答案：46.已知函数q(x)=x^3-4x+1在区间[-2,2]上的最大值为______，最小值为______。参考答案：5，-37.函数y=sin(x)+cos(x)在区间[0,π/2]上的最大值为______。参考答案：√28.已知函数h(x)在区间[0,1]上的原函数为H(x)，且H(0)=0，H(1)=2，则∫[0,1]h(x)dx=______。参考答案：29.若函数f(x)在区间[0,1]上连续且满足∫[0,1]f(x)dx=1，则f(0)=______（提示：考虑函数的对称性）。参考答案：110.函数y=x^2-4x+3在区间[0,2]上的定积分为______。参考答案：3三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.若函数f(x)在区间[0,1]上的平均变化率为3，则存在某点x_0∈(0,1)，使得f'(x_0)=3。参考答案：√2.函数y=∫[0,x]t^2dt在x=1时的导数值等于1。参考答案：√3.若函数g(x)在区间[1,2]上的原函数为G(x)，则G'(x)=g(x)在区间[1,2]上恒成立。参考答案：√4.定积分∫[a,b]f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x)与直线x=a，x=b及x轴所围成的图形的面积。参考答案：×5.若函数h(x)在区间[0,1]上连续，则∫[0,1]h(x)dx的值一定大于0。参考答案：×6.函数y=x^3在区间[-1,1]上的定积分值为0。参考答案：×7.若函数F(x)是函数f(x)=sin(x)的一个原函数，则F(x)可以表示为F(x)=cos(x)+C，其中C为常数。参考答案：×8.函数y=ln(x)在区间[1,2]上的定积分值大于0。参考答案：√9.若函数p(x)在区间[0,1]上的平均变化率为5，则存在某点x_1∈(0,1)，使得p'(x_1)=5。参考答案：√10.定积分∫[0,π/2]cos(x)dx的值等于1。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.简述定积分的定义及其几何意义。参考答案：定积分的定义是：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分是指函数f(x)在区间[a,b]上的黎曼和的极限，即∫[a,b]f(x)dx=lim(n→∞)∑[i=1ton]f(ξi)Δxi，其中ξi为小区间[a,b]上的任意一点，Δxi为小区间的长度。几何意义是：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分表示由曲线y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。2.说明定积分计算的基本步骤。参考答案：定积分计算的基本步骤包括：①将被积函数转化为可积函数；②选择合适的积分方法（如换元积分法、分部积分法等）；③计算不定积分；④代入积分上下限进行计算；⑤得出定积分的值。3.列举定积分在物理、几何中的应用实例。参考答案：定积分在物理中的应用实例包括：计算变力做功、计算液体的静压力、计算物体的质心等。定积分在几何中的应用实例包括：计算平面图形的面积、计算旋转体的体积、计算曲线的长度等。4.解释定积分与不定积分的区别与联系。参考答案：定积分与不定积分的区别在于：定积分是一个数值，表示函数在区间上的积分值；而不定积分是一个函数，表示函数的原函数族。定积分与不定积分的联系在于：定积分可以通过不定积分来计算，即定积分的计算可以通过找到被积函数的原函数，然后代入积分上下限进行计算得到。5.简述定积分中值定理的内容。参考答案：定积分中值定理的内容是：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得∫[a,b]f(x)dx=f(ξ)(b-a)。6.说明定积分的线性性质及其应用。参考答案：定积分的线性性质包括：①∫[a,b](cf(x))dx=c∫[a,b]f(x)dx（c为常数）；②∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]g(x)dx。定积分的线性性质可以简化定积分的计算。7.列举定积分计算中常用的换元积分法。参考答案：定积分计算中常用的换元积分法包括：①三角换元法；②根式换元法；③倒代换法；④分部积分法等。8.简述定积分的应用题解题步骤。参考答案：定积分的应用题解题步骤包括：①理解题意，确定积分变量和积分区间；②根据题意列出定积分表达式；③计算定积分；④根据题意解释结果的实际意义。五、解答题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.已知函数f(x)=∫[0,x](t^2-2t+3)dt，求函数f(x)在x=2时的导数值。A.3B.4C.5D.6参考答案：B2.若函数g(x)在区间[0,1]上的原函数为G(x)，且G(0)=1，求定积分∫[0,1]g(x)dx的值。A.1B.2C.3D.4参考答案：A3.函数y=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的定积分值为多少？A.3B.4C.5D.6参考答案：C4.设函数F(x)是函数f(x)=e^x的一个原函数，且F(0)=0，求定积分∫[0,1]f(x)dx的值。A.e-1B.e+1C.e^2-1D.e^2+1参考答案：A5.若函数h(x)在区间[-1,1]上连续，且满足∫[-1,1]h(x)dx=2，求函数h(x)在区间[-1,1]上的平均值。A.1B.2C.3D.4参考答案：B6.函数y=sin(x)+cos(x)在区间[0,π/2]上的定积分值为多少？A.1B.√2C.πD.2π参考答案：B7.已知函数q(x)=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的定积分为0，求函数q(x)在区间[-2,2]上的平均变化率。A.0B.1C.-1D.2参考答案：A8.设函数p(x)在区间[0,1]上的原函数为H(x)，且H(1)=1，求定积分∫[0,1]p(x)dx的值。A.1B.0C.-1D.2参考答案：B标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：本题考查定积分的导数公式。由定积分的导数公式可得f'(x)=(x+1)^2，因此f'(2)=(2+1)^2=9。选项A正确。2.参考答案：A解析：本题考查平均变化率与导数的关系。由平均变化率定义可得∫[1,3]g'(t)dt=2(3-1)=4，由积分中值定理可得g'(x0)=4/(3-1)=2。选项B错误。3.参考答案：C解析：本题考查定积分的计算。由定积分的定义可得∫[0,3](x^3-3x^2+2)dx=(x^4/4-x^3+2x)[0,3]=(81/4-27+6)-(0-0+0)=9/4。选项C正确。4.参考答案：A解析：本题考查原函数的概念。由原函数定义可得F'(x)=e^x，因此F(1)=F(0)+∫[0,1]e^xdx=1+e-1=e。选项B错误。5.参考答案：B解析：本题考查函数最值问题。由导数可得q'(x)=3x^2-4，令q'(x)=0可得x=±2/√3。比较q(-2)、q(-2/√3)、q(2/√3)、q(2)的值，最大值为q(2)=8-16+1=-7，最小值为q(-2/√3)=(-8/3√3)^3-4(-8/3√3)+1=-106/27√3。差值为9。选项B正确。6.参考答案：B解析：本题考查原函数的概念。由原函数定义可得F'(x)=x^2，因此F(2)-F(1)=∫[1,2]x^2dx=(x^3/3)[1,2]=8/3-1/3=7/3。选项C错误。7.参考答案：A解析：本题考查定积分的计算。由定积分的定义可得∫[0,π/2](sin(x)+cos(x))dx=(-cos(x)+sin(x))[0,π/2]=(1+0)-(0-1)=2。选项C错误。8.参考答案：B解析：本题考查原函数的概念。由原函数定义可得H'(x)=h(x)，因此H(1)=H(0)+∫[0,1]h(t)dt=0+5=5。选项C错误。9.参考答案：D解析：本题考查定积分的性质。由定积分的性质可得∫[0,1]f(t)dt=f(ξ)(1-0)=f(ξ)，其中ξ∈[0,1]。因此f(ξ)=1，f(0)的值可以为任意实数。选项D正确。10.参考答案：A解析：本题考查定积分的计算。由定积分的定义可得∫[0,2](x^2-4x+3)dx=(x^3/3-2x^2+3x)[0,2]=(8/3-8+6)-(0-0+0)=2/3。选项C错误。二、填空题1.参考答案：-15解析：本题考查定积分的导数。首先求出函数f(x)的表达式：f(x)=∫[0,x](t^2-2t+3)dt=(1/3)t^3-t^2+3tevaluatedfrom0tox=(1/3)x^3-x^2+3x。然后求导数f'(x)=x^2-2x+3。将x=2代入得f'(2)=2^2-22+3=-15。2.参考答案：3解析：本题考查拉格朗日中值定理。根据拉格朗日中值定理，存在c∈(1,3)，使得g'(c)=(g(3)-g(1))/(3-1)=(f(3)-f(1))/2=3。3.参考答案：2解析：本题考查定积分的计算。首先求出函数y=x^3-3x^2+2的导数y'=3x^2-6x。然后求出函数的极值点：令y'=0得3x(x-2)=0，解得x=0和x=2。计算函数在端点和极值点的值：f(0)=2，f(2)=0，f(3)=2。因此，定积分为(2+0+2)/2=2。4.参考答案：e^x解析：本题考查原函数的概念。根据原函数的定义，F'(x)=f(x)=e^x。因此，F(x)=∫e^xdx=e^x+C。由F(0)=1得e^0+C=1，即1+C=1，解得C=0。因此，F(x)=e^x。5.参考答案：4解析：本题考查拉格朗日中值定理。根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0,1)，使得h'(ξ)=(h(1)-h(0))/(1-0)=4。因此，h(ξ)=h(0)+4ξ=4ξ。6.参考答案：5，-3解析：本题考查函数的最大值和最小值。首先求出函数q(x)=x^3-4x+1的导数q'(x)=3x^2-4。然后求出函数的极值点：令q'(x)=0得3x^2-4=0，解得x=±2√3/3。计算函数在端点和极值点的值：q(-2√3/3)=5，q(2√3/3)=-3，q(-2)=9，q(2)=-3。因此，最大值为5，最小值为-3。7.参考答案：√2解析：本题考查函数的最大值。首先将函数y=sin(x)+cos(x)转化为y=√2sin(x+π/4)。因为sin函数的最大值为1，所以y的最大值为√2。8.参考答案：2解析：本题考查定积分的计算。根据原函数的定义，∫[0,1]h(x)dx=H(1)-H(0)=2-0=2。9.参考答案：1解析：本题考查定积分的性质。根据定积分的对称性，如果函数f(x)在区间[-a,a]上连续，且∫[-a,a]f(x)dx=0，则f(x)关于原点对称。在本题中，f(x)在区间[0,1]上连续，且∫[0,1]f(x)dx=1。因此，f(x)在区间[-1,0]上的积分为-1。由于f(x)关于原点对称，所以f(0)=1。10.参考答案：3解析：本题考查定积分的计算。首先求出函数y=x^2-4x+3的导数y'=2x-4。然后求出函数的极值点：令y'=0得2x-4=0，解得x=2。计算函数在端点和极值点的值：f(0)=3，f(2)=-1，f(4)=3。因此，定积分为(3-1+3)/2=3。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查定积分中值定理。根据定积分中值定理，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则存在ξ∈(a,b)，使得∫[a,b]f(x)dx=f(ξ)(b-a)。在本题中，函数f(x)在区间[0,1]上连续，且其平均变化率为3，即f(1)-f(0)/1=3，所以f(1)=f(0)+3。根据中值定理，存在x_0∈(0,1)，使得f(x_0)=f(0)+3。因此，存在某点x_0∈(0,1)，使得f'(x_0)=3。2.参考答案：√解析：本题考查原函数与导数的关系。函数y=∫[0,x]t^2dt是函数f(t)=t^2在区间[0,x]上的原函数，根据微积分基本定理，其导数等于被积函数，即y'=f(x)=x^2。因此，在x=1时，导数值为1^2=1。3.参考答案：√解析：本题考查原函数与导数的关系。根据微积分基本定理，若函数G(x)是函数g(x)在区间[a,b]上的原函数，则G'(x)=g(x)在区间[a,b]上恒成立。在本题中，G(x)是g(x)在区间[1,2]上的原函数，所以G'(x)=g(x)在区间[1,2]上恒成立。4.参考答案：×解析：本题考查定积分的几何意义。定积分∫[a,b]f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x)与直线x=a，x=b及x轴所围成的图形的面积的代数和，而不是简单的面积值。如果f(x)在区间[a,b]上有部分在x轴上方，部分在x轴下方，那么定积分的值是上方面积减去下方面积。5.参考答案：×解析：本题考查定积分的值。若函数h(x)在区间[0,1]上连续，则∫[0,1]h(x)dx的值不一定大于0。例如，若h(x)=-1在区间[0,1]上连续，则∫[0,1]h(x)dx=-1，小于0。6.参考答案：×解析：本题考查定积分的计算。函数y=x^3在区间[-1,1]上的定积分为∫[-1,1]x^3dx。由于x^3是奇函数，而[-1,1]关于原点对称，根据奇函数在对称区间上的定积分为0的性质，有∫[-1,1]x^3dx=0。7.参考答案：×解析：本题考查原函数与导数的关系。函数F(x)是函数f(x)=sin(x)的一个原函数，根据微积分基本定理，其导数等于被积函数，即F'(x)=f(x)=sin(x)。而cos(x)是sin(x)的一个原函数，其导数为sin(x)。因此，F(x)可以表示为F(x)=cos(x)+C，其中C为常数。8.参考答案：√解析：本题考查定积分的计算。函数y=ln(x)在区间[1,2]上的定积分为∫[1,2]ln(x)dx。根据分部积分法，令u=ln(x)，dv=dx，则du=1/xdx，v=x。因此，∫ln(x)dx=xln(x)-x+C。所以，∫[1,2]ln(x)dx=(2ln(2)-2)-(1ln(1)-1)=2ln(2)-10。9.参考答案：√解析：本题考查定积分中值定理。根据定积分中值定理，若函数p(x)在闭区间[0,1]上连续，则存在ξ∈(0,1)，使得∫[0,1]p(x)dx=p(ξ)(1-0)=p(ξ)。在本题中，函数p(x)在区间[0,1]上的平均变化率为5，即p(1)-p(0)/1=5，所以p(1)=p(0)+5。根据中值定理，存在x_1∈(0,1)，使得p(x_1)=p(0)+5。因此，存在某点x_1∈(0,1)，使得p'(x_1)=5。10.参考答案：√解析：本题考查定积分的计算。定积分∫[0,π/2]cos(x)dx的值为sin(x)在区间[0,π/2]上的增量，即sin(π/2)-sin(0)=1-0=1。四、简答题1.参考答案：定积分的定义是：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分是指函数f(x)在区间[a,b]上的黎曼和的极限，即∫[a,b]f(x)dx=lim(n→∞)∑[i=1ton]f(ξi)Δxi，其中ξi为小区间[a,b]上的任意一点，Δxi为小区间的长度。几何意义是：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分表示由曲线y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。解析：本题考查定积分的定义与几何意义。定积分的定义是函数在区间上的黎曼和的极限，这是定积分的数学定义。几何意义是曲边梯形的面积，这是定积分最直观的应用。答案中包含了定积分的定义和几何意义两个方面的内容，符合题意。2.参考答案：定积分计算的基本步骤包括：①将被积函数转化为可积函数；②选择合适的积分方法（如换元积分法、分部积分法等）；③计算不定积分；④代入积分上下限进行计算；⑤得出定积分的值。解析：本题考查定积分计算的基本步骤。定积分计算需要经过多个步骤，包括转化为可积函数、选择积分方法、计算不定积分、代入上下限、得出结果。答案中列出了定积分计算的基本步骤，符合题意。3.参考答案：定积分在物理中的应用实例包括：计算变力做功、计算液体的静压力、计算物体的质心等。定积分在几何中的应用实例包括：计算平面图形的面积、计算旋转体的体积、计算曲线的长度等。解析：本题考查定积分的应用实例。定积分在物理和几何中都有广泛的应用，例如计算变力做功、计算液体的静压力、计算物体的质心、计算平面图形的面积、计算旋转体的体积、计算曲线的长度等。答案中列举了定积分在物理和几何中的应用实例，符合题意。4.参考答案：定积分与不定积分的区别在于：定积分是一个数值，表示函数在区间上的积分值；而不定积分是一个函数，表示函数的原函数族。定积分与不定积分的联系在于：定积分可以通过不定积分来计算，即定积分的计算可以通过找到被积函数的原函数，然后代入积分上下限进行计算得到。解析：本题考查定积分与不定积分的区别与联系。定积分与不定积分是积分学的两个重要概念，它们之间既有区别又有联系。区别在于定积分是一个数值，而不定积分是一个函数。联系在于定积分可以通过不定积分来计算。答案中阐述了定积分与不定积分的区别与联系，符合题意。5.参考答案：定积分中值定理的内容是：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得∫[a,b]f(x)dx=f(ξ)(b-a)。解析：本题考查定积分中值定理的内容。定积分中值定理是积分学中的一个重要定理，它表明了定积分与被积函数在某一点的值之间的关系。答案中给出了定积分中值定理的内容，符合题意。6.参考答案：定积分的线性性质包括：①∫[a,b](cf(x))dx=c∫[a,b]f(x)dx（c为常数）；②∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]g(x)dx。定积分的线性性质可以简化定积分的计算。解析：本题考查定积分的线性性质。定积分的线性性质包括对常数和函数的线性运算的保持。答案中给出了定积分的线性性质，并说明了其应用，符合题意。7.参考答案：定积分计算中常用的换元积分法包括：①三角换元法；②根式换元法；③倒代换法；④分部积分法等。解析：本题考查定积分计算中常用的换元积分法。定积分计算中常用的换元积分法有多种，包括三角换元法、根式换元法、倒代换法、分部积分法等。答案中列举了定积分计算中常用的换元积分法，符合题意。8.参考答案：定积分的应用题解题步骤包括：①理解题意，确定积分变量和积分区间；②根据题意列出定积分表达式；③计算定积分；④根据题意解释结果的实际意义。解析：本题考查定积分的应用题解题步骤。定积分的应用题解题需要经过多个步骤，包括理解题意、列出定积分表达式、计算定积分、解释结果的实际意义。答案中列出了定积分的应用题解题步骤，符合题意。五、解答题1.参考答案：B解析：本题考查定积分的导数公式。根据定积分的导数公式，f'(x)=g(x)。当x=2时，f'(2)=g(2)。由于g(x)=x^2-2x+3，所以g(2)=2^2-22+3=-15-4+3=-16。因此，f(x)在x=2时的导数值为3。选项B正确。2.参考答案：A解析：本题考查原函数与定积分的关系。由于G(x)是g(x)的原函数，根据牛顿-莱布尼茨公式，∫[a,b]g(x)dx=G(b)-G(a)。在本题中，a=0，b=1，G(0)=1，G(1)未知。由于G(x)是g(x)的原函数，G(1)-G(0)=∫[0,1]g(x)dx。因此，∫[0,1]g(x)dx=G(1)-G(0)=G(1)-1。由于G(1)未知，无法确定∫[0,1]g(x)dx的具体值。选项A、B、C、D都无法确定，但根据题目要求，必须选择一个选项。由于题目没有提供更多信息，无法确定正确答案。3.参考答案：C解析：本题考查定积分的计算。首先，求出函数f(x)=x^3-3x^2+2x的导数f'(x)=3x^2-6x+2。然后，求出f'(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。f'(x)是一个二次函数，其图像是一个开口向上的抛物线。对称轴为x=-b/2a=6/(23)=0。因此，f'(x)在x=1时取得最小值，f'(1)=31^2-61+2=902。f'(x)在x=0和x=3时取得最大值，f'(0)=30^2-60+2=842，f'(3)=33^2-63+2=1028。因此，f'(x)在区间[0,3]上的最大值为2，最小值为1。根据定积分的性质，∫[a,b]f'(x)dx=f(b)-f(a)。在本题中，a=0，b=3，f(0)=0^3-30^2+20=-880，f(3)=3^3-33^2+23=-1039-27+6=-1060。因此，∫[0,3]f'(x)dx=f(3)-f(0)=-12-0=-12。由于题目要求计算定积分的值，而不是导数值，因此需要将f'(x)积分一次。∫[0,3](3x^2-6x+2)dx=x^3-3x^2+2x|[0,3]=3^3-33^2+23-(0^3-30^2+20)=-159-27+6-0=-180。因此，函数y=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的定积分值为6。选项C正确。4.参考答案：A解析：本题考查原函数与定积分的关系。由于F(x)是f(x)=e^x的一个原函数，根据牛顿-莱布尼茨公式，∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)。在本题中，a=0，b=1，F(0)=0，F(1)未知。由于F(x)是f(x)的原函数，F(1)-F(0)=∫[0,1]f(x)dx。因此，∫[0,1]f(x)dx=F(1)-F(0)=F(1)-0=F(1)。由于F(x)是f(x)=e^x的一个原函数，F(x)=e^x+C。因此，F(1)=e^1+C=e+C。由于题目没有提供C的值，无法确定F(1)的具体值。选项A、B、C、D都无法确定，但根据题目要求，必须选择一个选项。由于题目没有提供更多信息，无法确定正确答案。5.参考答案：B解析：本题考查定积分的应用。根据定积分的定义，函数f(x)在区间[a,b]上的平