湘教版数学2026-2027学年九年级上册期中核心考点专练卷

湘教版2026—2027学年九年级上册期中核心考点专练卷数学（时间：90分钟满分：100分）一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A．0 B．1 C．2 D．20202．如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(2，1)，D(3，A．(7，4) B．(7，3) C．3．如图，在平面直角坐标系中，以P0,−1为位似中心，在y轴右侧作△ABP放大2倍后的位似图形△DCP，若点B的坐标为−2,−4A．4,5 B．4,6 C．2,4 D．2,64．如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程为()A．(30+x)(20+x)=600 B．(30+2x)(20+2x)=600C．(30-2x)(20-2x)=1200 D．(30+2x)(20+2x)=12005．如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为62°，测得BC=10米，则树的高AB（单位：米）为（）A．10sin62° B．10tan62° C．6．小明发现一元二次方程ax2+bx+c=0的两根表示在数轴上关于点x=−b2aA．m=3n B．n=3m C．m=−3n D．n=−3m7．如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连结AG，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F.若CE=3，CG=4，则DE的长度为（）A．53 B．73 C．3 8．若菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程x2A．8 B．16 C．20 D．8或209．小明使用测角仪在甲楼底端A处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角45°已知AB＝4.5米，则熊猫C处距离地面ADA．13.6 B．18.1 C．17.3 D．16.810．如图，在矩形ABCD中，BC=3,DC=1，点O为对角线BD的中点，OE⊥BD，交BC于点E，点P是对角线BD上的动点，A．2 B．1321 C．13二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．已知x2+y2+112．九年级8班第一小组x名同学在庆祝2020年新年之际，互送新年贺卡，表达同学间的真诚祝福，全组共送出贺卡30张，则x的值是．13．方程x2+314．已知关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足x1x215．如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan∠ABG=12，正方形ABCD的边长为8，则BH的长为16．如图，在平行四边形ABCD中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列），AB⊥CH，AB=6，AD=5，CH=4，P是边AB上的一动点，点C绕点P按逆时针方向旋转90°得点C'，则BH=．若点C'落在射线CA上时，则BP=三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．解方程：（1）x+1（2）x18．（1）计算：∣−（2）先化简，再求3x−119．某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋．（1）求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率；（2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？20．在《黑神话·悟空》中，“天命人”需要跨越一座被妖雾笼罩的山峰，由于雾气被施法，无法飞行，只能缓缓爬山，路线示意图如图②，“天命人”从山脚A出发，沿AB走400米到B点，再沿BC到山顶C点，已知山高CF为384米，BE∥AF，BD⊥AF，CE⊥BE交AD的延长线于点F，∠1=30°，∠2=50°．（图中所有点均在同一平面内）（1）求BD的长；（2）求“天命人”从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）21．如图，AD是△ABC的边BC的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，BF交AC于G，连接CF.（1）若四边形ADCF是菱形，求证：△ABC是直角三角形：（2）若CG=6，求AG长.22．如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题．（1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．（2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由．23．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶．（1）每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元（用含x的代数式表示）；（2）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是；（3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？湘教版2026—2027学年九年级上册期中核心考点专练卷数学（时间：90分钟满分：100分）一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A．0 B．1 C．2 D．2020【答案】A【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2∴判别式△=又∵a=1，b=−1，c=m∴△=解得m<故答案为：A.【分析】由于关于x的一元二次方程x2−x+m=0有两个不相等的实数根，可得判别式2．如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(2，1)，D(3，A．(7，4) B．(7，3) C．【答案】D【解析】【解答】解：∵A（1，0），D（3，0），∴OA＝1，OD＝3，∵△ABC与△DEF位似，∴AB∥DE，∴ABDE＝OAOD＝∴△ABC与△DEF的位似比为1：3，∵点B的坐标为（2，1），∴E点的坐标为（2×3，1×3），即E点的坐标为（6，3），故答案为：D．

【分析】根据位似图形的概念得到AB//DE，求出ABDE＝OAOD＝3．如图，在平面直角坐标系中，以P0,−1为位似中心，在y轴右侧作△ABP放大2倍后的位似图形△DCP，若点B的坐标为−2,−4A．4,5 B．4,6 C．2,4 D．2,6【答案】A【解析】【解答】解：以点P为坐标原点，原ｙ轴为ｙ轴建立新的平面直角坐标系，

∴点B在新坐标系中的坐标为−2，−3，

∵△ABP放大2倍后的位似图形△DCP，

∴点C在新坐标系中的坐标为4，6，

∴点C在原坐标系中的坐标为4，5，故答案为：A．

【分析】以点P为坐标原点，原ｙ轴为ｙ轴建立新的平面直角坐标系，则点B在新坐标系中的坐标为−2，−3，然后根据相似比得到点C新坐标系中的坐标，进而即可求解.4．如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程为()A．(30+x)(20+x)=600 B．(30+2x)(20+2x)=600C．(30-2x)(20-2x)=1200 D．(30+2x)(20+2x)=1200【答案】D【解析】【解答】解：原画面积：30×20=600cm2

整体（原画+彩纸）总面积=600+600=1200cm2．

∴整体长：30+2x，整体宽：20+2x，

列方程：(30+2x)(20+2x)=1200．

故答案为：D．

【分析】先根据长方形面积公式算出原图面积为600cm2，再结合“彩纸面积=原画面积”，算出外围整体总面积为1200cm2；再根据四周都加宽xcm，得到新长方形长为30+2x，宽为20+2x；最后利用长方形面积=长×宽列出对应方程(30+2x)(20+2x)=1200．5．如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为62°，测得BC=10米，则树的高AB（单位：米）为（）A．10sin62° B．10tan62° C．【答案】C【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=∴AB=BC·tan故答案为：C【分析】在Rt△ABC中，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.6．小明发现一元二次方程ax2+bx+c=0的两根表示在数轴上关于点x=−b2aA．m=3n B．n=3m C．m=−3n D．n=−3m【答案】B【解析】【解答】解：∵mx2+2mx=n，

∴mx2+2mx-n=0，

设方程的两根为x1，x2，

∴x1+x2=-2，x1·x2=−nm，

∵两根在数轴上对应的点的距离为4，

∴x1−x2=4，

∴（x1+x2）2-4x1x2=16，

∴（-2）2-4·（−nm）=16，

∴n=3m.

故答案为：B.

【分析】设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系可得x1+x2=-2，x1·x2=−nm，由题意得x17．如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连结AG，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F.若CE=3，CG=4，则DE的长度为（）A．53 B．73 C．3 【答案】B【解析】【解答】解：矩形ABCD中，GC=4，CE=3，∠C=90°，

∴GE=CG∴BG=GF=GC=4，∠AFG+∠EFG=180°，∴BC=AD=8，点A，点F，点E三点共线，∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180°，∴∠AGE=90°，∴Rt△EGF∽Rt△EAG，∴即5∴EA=∴DE=故答案为：B.【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE=5，BC=AD=8，证得Rt△EGF∽Rt△EAG，求AE的长，再利用勾股定理得到DE的长.8．若菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程x2A．8 B．16 C．20 D．8或20【答案】C【解析】【解答】解：解方程x2−7x+10=0，得x1=2，x2=5，

当AB=2时，对角线6构成的三角形三边为2,2,6，满足2+2<6，不能构成三角形，故不符合；

当AB=5时，5+5=10>5，能构成三角形，此时菱形的周长为5×4=20.

故答案为：C.

9．小明使用测角仪在甲楼底端A处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角45°已知AB＝4.5米，则熊猫C处距离地面ADA．13.6 B．18.1 C．17.3 D．16.8【答案】B【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，由题意可知：∵∠CBE=45°，∠CAD=53°，AB=4.5米，∵∠ABE=∠BED=∠ADE=90°，∴四边形ABED是矩形，∴BE=AD，DE=AB=4.5米，设CE=x米，则CD=BC+BD=（x+4.5）米，在Rt△CEB中，BE=CEtan45°=在Rt△ADC中，CD=AD•tan53°，即x+4.5=x•tan53°，∴x≈13.64，∴CE=13.64（米），∴CD=CE+DE=13.64+4.5=18.14≈18.1（米）．答：熊猫C处距离地面AD的高度为18.1米．故答案为：B．【分析】过点B作BE⊥CD于点E，根据已知条件求出BE=AD，设CE=x，则，CD=BC+BD=x+4.5，根据锐角三角函数求出x的值，即可得出CD的值。10．如图，在矩形ABCD中，BC=3,DC=1，点O为对角线BD的中点，OE⊥BD，交BC于点E，点P是对角线BD上的动点，A．2 B．1321 C．13【答案】B【解析】【解答】解：延长EO交AD于点F，如图，在RtBCD中，∠BCD=90°，BC=3∴BD=∵点O为对角线BD的中点，∴BO=DO=1∵OE⊥BD，∴∠DOF=∠BOE=90°，又AD∥BC∴∠ODF=∠OBE

在△BOE和△DOF中∠BOE=∠DOF∴△BOE≌△DOF（ASA），∴DF=BE,OF=OE,即点F在AD上，连接FC，交BD于点P，连接PE，∴当点F,P,C三点共线时，PE+PC的值最小，为CF的长，∵∠OBE=∠CBD,∠BOE=∠BCD=90°∴△BOE∽△BCD，∴BE∴BE=BO⋅BD∴DF=在Rt△CDF中，

CF=C∴PE+PC的最小值为13故答案为：B.

【分析】延长EO交AD于点F，由平行线的性质；“两直线平行，内错角相等”可得∠OBE=∠ODF，结合已知，用角边角可证△BOE≌△DOF，由全等三角形的对应边相等可得OE=OF，连接FC，交BD于点P，连接PE，当点F,P,C三点共线时，PE+PC的值最小，为CF的长，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△BOE∽△BCD，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式BEBD=BOBC求出二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．已知x2+y2+1【答案】1【解析】【解答】解：∵x2+y2+12−4=0，

∴x2+y2+12=4，

∴x2+y2+1=±2，

∴x2+12．九年级8班第一小组x名同学在庆祝2020年新年之际，互送新年贺卡，表达同学间的真诚祝福，全组共送出贺卡30张，则x的值是．【答案】6【解析】【解答】根据题意可得以下方程x(x−1)=30解得x1故答案为：6．【分析】根据题意列出方程，求方程的解即可．13．方程x2+3【答案】x【解析】【解答】x2+3x=0，

xx+3=0，

x=0，或x+3=0，14．已知关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足x1x2【答案】0【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1，x2，

∴x1+x2=-2k+1，x1x2=k2-1，

∵x1x2+x1+x2=0，

∴k2-1-2k+1=0，

解得k=0或k=2；

∵原方程有两个实数根，

∴Δ=(2k-1)2-4(k2-1)≥0

解得k≤54，

故答案为：0.【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=-2k+1，x1x2=k2-1，则可得到k2-1-2k+1=0，解方程求出k的值，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案.15．如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan∠ABG=12，正方形ABCD的边长为8，则BH的长为【答案】10【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=∠C=90°，∴∠ABG+∠AGB=90°，tan∠ABG=AGAB=12，∵AB=8，∴AG=4，∴GD=4，又∵四边形GBEF是正方形，∴∠BGF=90°，∴∠AGB+∠DGH=90°，∴∠DGH=∠ABG，∴tan∠DGH=故第1空答案为：10.

【分析】在直角三角形ABG中，根据正切的定义，可求得AG=4，又根据同角的余角相等，得出∠DGH=∠ABG，在直角三角形DHG中，根据正切的定义，求得DH=2，从而得出CH=6，然后在直角三角形BCH中，根据勾股定理求得BH的长即可。16．如图，在平行四边形ABCD中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列），AB⊥CH，AB=6，AD=5，CH=4，P是边AB上的一动点，点C绕点P按逆时针方向旋转90°得点C'，则BH=．若点C'落在射线CA上时，则BP=【答案】3；17【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD，AB=6，AD=5，∴AB=CD=6，AD=BC=5，∵AB⊥CH，CH=4，∴在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH=如图，过C'作C'Q⊥BA交BA​则∠CHP=∠PQC∴∠C∵∠C∴∠PC由旋转的性质得：PC∴△PQC∴PQ=CH=4，设BP=x,则PA=6−x,C∵C'∴C'∴△AQC∴C'即3−x4解得：x=17∴BP=17即BP的长为177故答案为：3，177．

【分析】由平行四边形的对边相等BC=AD=5，然后根据勾股定理求出BH；过C'作C'Q⊥BA交BA延长线于点Q，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等得∠PC'Q=∠CPH，由旋转性质得PC'=PC，由“AAS”判断出△PQC'≌△CHP，由全等三角形的对应边相等得PQ=CH=4，设BP=x,三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．解方程：（1）x+1（2）x【答案】（1）解：x+1=±2所以x（2）b2−4ac=49−8=41∴x1=【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；

（2）先计算b2-4ac的值，然后代入求根公式解方程即可.18．（1）计算：∣−（2）先化简，再求3x−1【答案】（1）原式===（2）原式===−解2x-1<5得x<3，不等式的非负整数解为0、1、2，x-1≠0且x-2≠0，∴x≠1且x≠2，∴x=0则原式=−【解析】【分析】（1）先计算觉渎职，负整数次幂，零次幂，代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再和并同类二次根式即可；

（2）先把括号内分式通分，然后把除法化为乘法，然后约分化简，解不等式求出非负整数解，再根据分式有意义的条件得到x的值，代入求出分式的值即可.19．某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋．（1）求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率；（2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？【答案】（1）解：设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为x，根据题意可得：2561+x解得x1=25%答：这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为25%（2）解：设当农产品每袋降价m元时，这种农产品在十月份可获利4250元，根据题意得：40−25−m400+5m解得m=5或m=−70（不合题意，舍去），答：当农产品每袋降价5元时，这种农产品在十月份可获利4250元．【解析】【分析】（1）设这批农产品八月、九月这两个月销售量的月平均增长率为x，根据增长规律得到等量关系：七月份的销售量乘以1+x2（2）先设农产品每袋降价m元时，该农产品十月份可获利4250元，再根据总利润的计算等量关系：每袋的利润乘以总销量等于总利润列出方程，求解方程后就能得到结果.（1）解：设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为x，根据题意可得：2561+x解得x1=25%答：这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为25%（2）解：设当农产品每袋降价m元时，这种农产品在十月份可获利4250元，根据题意得：40−25−m400+5m解得m=5或m=−70（不合题意，舍去），答：当农产品每袋降价5元时，这种农产品在十月份可获利4250元．20．在《黑神话·悟空》中，“天命人”需要跨越一座被妖雾笼罩的山峰，由于雾气被施法，无法飞行，只能缓缓爬山，路线示意图如图②，“天命人”从山脚A出发，沿AB走400米到B点，再沿BC到山顶C点，已知山高CF为384米，BE∥AF，BD⊥AF，CE⊥BE交AD的延长线于点F，∠1=30°，∠2=50°．（图中所有点均在同一平面内）（1）求BD的长；（2）求“天命人”从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【答案】（1）解：∵BD⊥AF，

∴∠ADB=90°，

∵∠1=30°，AB=400米，

∴BD=12AB=200米，

即BD（2）解：∵CE⊥BE，BD⊥AF，

∴∠CEB=∠BEF=∠BDF=90°，

∵BE∥AF，

∴∠AFE=∠CEB=90°，

∴四边形BDFE为矩形，

∴BD=EF=200米，

∵CF=384米，

∴CE=CF−EF=184米，

在Rt△CBE中，∠2=50°，

∴BC=CEsin50°≈1840.77≈239.0米，

∴AB+BC=639米，

∴【解析】【分析】（1）根据∠1=30°，然后再根据直角三角形的性质：BD=1（2）根据CE⊥BE，BD⊥AF，易证四边形BDFE为矩形，进而得出BD=EF的值，然后再根据CE=CF−EF，代入数据求出CE的值，在Rt△CBE中，根据正弦函数的定义：sin50（1）解：∵BD⊥AF，∴∠ADB=90°，∵∠1=30°，AB=400米，∴BD=1即BD的长为200米；（2）解：∵CE⊥BE，BD⊥AF，∴∠CEB=∠BEF=∠BDF=90°，∵BE∥AF，∴∠AFE=∠CEB=90°，∴四边形BDFE为矩形，∴BD=EF=200米，∵CF=384米，∴CE=CF−EF=184米，在Rt△CBE中，∠2=50°，∴BC=CE∴AB+BC=639米，∴“天命人”从山脚A点到达山顶C点共走了639米．21．如图，AD是△ABC的边BC的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，BF交AC于G，连接CF.（1）若四边形ADCF是菱形，求证：△ABC是直角三角形：（2）若CG=6，求AG长.【答案】（1）证明：∵四边形ADCF是菱形，AD是△ABC的中线，∴AD=DC，BD=CD，∴AD=BD=CD，∴∠DBA=∠DAB,∠DAC=∠DCA,∵∠DBA+∠DAC+∠DBA+∠DCA=18∴∠BAD+∠CAD=9即∠BAC=9∴△ABC是直角三角形（2）解：取BG中点M，连结MD，如图所示：∵AD是△ABCABC的边BC的中线，则D是BC的中点，∴DM是△BCG的中位线，∴DM=∴∠EAG=∠EDM,∵E是AD的中点，∴AE=DE,在△AGE和△DME中，∠EAG=∠EDM∴△AGE≌△DME(ASA)，∴AG=MD=3.【解析】【分析】(1)由菱形性质得AD=DC，结合中线BD=DC推出AD=BD=CD，利用等边对等角拆分内角，再结合三角形内角和证出∠BAC=90°，从而判定△ABC为直角三角形；

(2)取BC中点M，利用三角形中位线定理得到DM平行且等于1222．如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题．（1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．（2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小