北师大版数学八年级下册 第4章 因式分解能力提升测 试卷 含答案

第4章因式分解能力提升测试卷（考试时间：90分钟试卷满分：100分）单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．如果是的一个因式，则的值是（

）A． B． C．0 D．12．当，时，的值为（

）A．1 B． C． D．43．已知的三边，，满足，则的形状为（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形4．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（

）A． B．C． D．5．若，，则的值为（）A．4 B．6 C．9 D．186．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（

）A．268 B．330 C．512 D．5887．著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合而成，如图，在中，，若，则的值为（

）A．16 B．24 C．32 D．608．边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（

）A．28 B．39 C．61 D．689．对任意整数，都（）A．能被2整除，不能被4整除 B．能被3整除C．既能被2整除，又能被4整除 D．能被5整除10．对于二次三项式（为常数），以下结论：①当，且，则；②当时，则；③当的值恒为正数时，则；④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能．其中正确的是（

）A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）11．分解因式：．12．已知，，则．13．如图，这三种规格的卡片共有张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长、宽分别为，的长方形卡片张现要用这张卡片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为．14．因式分解：．15．已知，且，则的值为．16．如果一个正整数M的个位数字不为0，且能分解为，满足A，B都是两位数，且它们的十位数字相同，个位数字之和为6，则称M是“如意数”，并把分解成的过程称为“快乐分解”（这种分解是唯一的）．例如，，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，因而528是“如意数”．现在设M是一个“如意数”，是相应的“快乐分解”，记，，若能被7整除，则．三．解答题（本题共6小题，第17-20题每题8分，第21-22每题10分，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．分解因式：(1)(2)18．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将分解因式．【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法：原式【类比】（1）请用分组分解法将分解因式．【挑战】（2）请用分组分解法将分解因式．19．已知：，．分别求下列代数式的值：(1)；(2)．20．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法．例如，②十字相乘法：教科书的“阅读与思考”栏目中有介绍．(1)根据以上方法，按照要求分解因式：①运用分组分解法_____；②运用十字相乘法_____；_____；_____；_____；(2)已知a，b，c为三边长，，求的周长．21．如图1，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张，小王用1张A纸片，2张B纸片，3张C纸片拼出了如图2所示的一个大长方形．在拼图过程中他发现，图2所示大长方形的面积可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示，也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得出，由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法．(1)结合图1、图2试着分解因式：；(2)类比上述用纸片拼图分解因式的方法：①请你利用图1中A，B，C三种纸片拼出面积为的一个长方形，在图3的方框中画出拼好后的图形；②你的拼图共用了张A纸片，张B纸片，张C纸片；③结合你的拼图过程，分解因式．22．【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组．例如：像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．【学以致用】：因式分解（1）；（2）．【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试．（1）已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积；（2）如图，长方形，已知，其中，且，求长方形的边的长度．（，用含的式子表示）

第4章因式分解能力提升测试卷（考试时间：90分钟试卷满分：100分）单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．如果是的一个因式，则的值是（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】本题考查因式分解，根据题意可知是方程的一个根，然后代入解题即可．【详解】解：∵是的一个因式，∴当时，，解得：，故选：B．2．当，时，的值为（

）A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】本题考查了整式的化简求值，因式分解，实数的运算，涵盖二次根式的加减乘除、平方差公式应用．解题关键是通过因式分解简化表达式，再利用实数运算法则（尤其二次根式运算）逐步求值，体现了实数运算中“先化简再计算”的策略．先对因式分解，提取公因式得，再用平方差公式进一步分解为．接着代入，分别计算的值，最后相乘得出结果．【详解】解：，，当，时，，原式=，故选；．3．已知的三边，，满足，则的形状为（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解．先证明，进而得出，即可判断的形状．【详解】解：∵的三边，，，∴，∵，∴，，a、b、c是的三边，，，的形状为等腰三角形，故选：C．4．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查因式分解，先根据图和图，分别用两种方法表示出阴影部分面积，然后列出等式即可；掌握数形结合思想成为解题的关键．【详解】解：图1中的阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为，∴，故答案为∶D．5．若，，则的值为（）A．4 B．6 C．9 D．18【答案】C【分析】此题考查了运用因式分解求代数式值的能力，关键是能准确理解并运用完全平方公式进行因式分解．通过运用完全平方公式法进行因式分解进行求解．【详解】解：∵，∴，故选：C．6．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（

）A．268 B．330 C．512 D．588【答案】C【分析】本题考查因式分解的应用，平方差公式的运用，涉及新定义，根据一个数等于两个连续奇数的平方差，用字母表示“幸福数”，可知“幸福数”是8的倍数，即可得到答案．【详解】解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”，∴设“幸福数”为（n为整数），，∴“幸福数”是8的倍数，观察各选项，是8的倍数的只有512，故选：C．7．著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合而成，如图，在中，，若，则的值为（

）A．16 B．24 C．32 D．60【答案】D【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平方差公式的应用，先证明，，，再结合平方差公式可得答案；【详解】解：∵，∴，，，∴∵，∴；故选D8．边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（

）A．28 B．39 C．61 D．68【答案】B【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，先根据用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入，计算即可．【详解】解：由图可知：，正方形边长为a，正方形边长为b，，，，，，将，代入得：，故选：B．9．对任意整数，都（）A．能被2整除，不能被4整除 B．能被3整除C．既能被2整除，又能被4整除 D．能被5整除【答案】C【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式因式分解得出，和都是的一个因数，即可得出答案，能利用平方差公式进行因式分解是解此题的关键．【详解】解：∵，∴对任意整数，既能被2整除，又能被4整除，故选：C．10．对于二次三项式（为常数），以下结论：①当，且，则；②当时，则；③当的值恒为正数时，则；④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能．其中正确的是（

）A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④【答案】A【分析】本题考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，因式分解等知识点，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则以及乘法公式是解本题的关键．根据完全平方公式、因式分解以及多项式乘以多项式的运算法则进而判断得出答案即可．【详解】解：①当，，则，则，故①正确，符合题意；②当，则，∴，∴，故②正确，符合题意；③，∵则当的值恒为正数时，即可，∴，故③正确，符合题意；④当，且，则，∴，，∵p、q为整数，∴p、q的值可为或或或或或∴或或8或或7或，故④正确，∴正确的有①②③④，故选：A．二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）11．分解因式：．【答案】【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得．【详解】解：原式，故答案为：．12．已知，，则．【答案】57【分析】本题利用完全平方公式进行计算、因式分解的应用、求代数式的值，将变形为，整体代入进行计算即可得解．【详解】解：∵，，∴，故答案为：57．13．如图，这三种规格的卡片共有张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长、宽分别为，的长方形卡片张现要用这张卡片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为．【答案】/【分析】本题考查因式分解的应用，根据题意，得到大正方形的面积为，因式分解得到，即可得出结果．【详解】解：这三种规格的卡片共有张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长、宽分别为的长方形卡片张．现要用这张卡片拼成一个大正方形，这个大正方形的面积是，∵，∴这个大正方形的边长为：故答案为：．14．因式分解：．【答案】【分析】本题考查因式分解，将原式化为，然后分组，再根据平方差公式和提公因式法进一步分解即可．掌握公式法和提公因式法分解因式是解题的关键．【详解】解：．故答案为：．15．已知，且，则的值为．【答案】5【分析】本题考查完全平方公式的应用，整式减法运算，因式分解等．根据题意利用完全平方公式得到，继而得到，再将提公因式，继而得到本题答案．【详解】解：∵，∴，∴，即：，∵，∴，整理得：，∴，故答案为：5．16．如果一个正整数M的个位数字不为0，且能分解为，满足A，B都是两位数，且它们的十位数字相同，个位数字之和为6，则称M是“如意数”，并把分解成的过程称为“快乐分解”（这种分解是唯一的）．例如，，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，因而528是“如意数”．现在设M是一个“如意数”，是相应的“快乐分解”，记，，若能被7整除，则．【答案】【分析】本题考查了因式分解的应用、整式运算的应用等知识点，正确理解“如意数”的定义是解题关键．设两位数和的十位数字均为，的个位数字为，则的个位数字为，且m为1至9的自然数，从而可得，，再求出，根据，自然数M的个位数字不为0，以及，可得为5或者4，然后根据能被7整除分别求出、的值，由此即可得．【详解】解：由题意，设两位数和的十位数字均为，的个位数字为，则的个位数字为，且m为1至9的自然数，，，，，∵，自然数M的个位数字不为0，∴为5、4或者3，∵，∴为5或者4，，即的分子时奇数，当时，，分子是奇数，分母时偶数，则该数不是整数，不符合题意，舍去；当时，，能被7整除，且m为1至9的自然数，满足条件的整数只有6，，，即，故答案为：．三．解答题（本题共6小题，第17-20题每题8分，第21-22每题10分，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．分解因式：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．（1）根据平方差公式进行因式分解即可；（2）根据完全平方公式进行因式分解即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．18．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将分解因式．【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法：原式【类比】（1）请用分组分解法将分解因式．【挑战】（2）请用分组分解法将分解因式．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式；（1）把原式化为，再进一步分解因式即可；（2）把原式化为，再进一步分解因式即可；【详解】解：（1）；（2）；19．已知：，．分别求下列代数式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次根式的混合运算、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．（1）先求出、的值，再将所求式子变形为，代入计算即可得解；（2）将所求式子变形为，代入计算即可得解．【详解】（1）解：∵，，∴，，∴；（2）解：．20．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法．例如，②十字相乘法：教科书的“阅读与思考”栏目中有介绍．(1)根据以上方法，按照要求分解因式：①运用分组分解法_____；②运用十字相乘法_____；_____；_____；_____；(2)已知a，b，c为三边长，，求的周长．【答案】(1)①；②；；；(2)7【分析】本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键．（1）①将原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式利用十字相乘法分解即可；（2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案．【详解】（1）解：①，故答案为：；②，找两数乘积为，和为7，即9和，分解为：；，将拆分为和，满足乘积为’，和为，分解为：；，令，转化为，分解为：；，令，转化为，分解为：；故答案为：；；；；（2）解：，，，，，，，的周长为7．21．如图1，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张，小王用1张A纸片，2张B纸片，3张C纸片拼出了如图2所示的一个大长方形．在拼图过程中他发现，图2所示大长方形的面积可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示，也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得出，由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法．(1)结合图1、图2试着分解因式：；(2)类比上述用纸片拼图分解因式的方法：①请你利用图1中A，B，C三种纸片拼出面积为的一个长方形，在图3的方框中画出拼好后的图形；②你的拼图共用了张A纸片，张B纸片，张C纸片；③结合你的拼图过程，分解因式．【答案】(1)(2)①见解析；②3，1，4；③【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．（1）按长方形面积公式长×宽”计算得出；