北师大版数学八年级下册 期中学情自测·拔尖卷（范围：第1章-第4章） 含答案

八年级数学下学期期中学情自测·拔尖卷【新教材北师大版】时间：120分钟满分：120分测试范围：第1章三角形的证明及其应用~第4章因式分解姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=25，BC=14，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC于点E，则DE的长为（

）A．6 B．16825 C．7 D．2．若关于x的不等式组x−m>013−2x≥1的所有整数解的和是18，则m的取值范围是（

A．2<m<3 B．2<m≤3C．2≤m<3或−3≤m<−2 D．2≤m≤33．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若a是整数，则a3−a一定能被整数k（k是一位整数）整除，整数k的最大值为（A．2 B．3 C．4 D．64．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8；D为BC上一点，连接AD，把△ABC沿AD折叠，使AB落在直线AC上，则重叠部分(阴影部分)的面积为（

）A．8 B．9 C．10 D．125．已知关于x、y的方程组2x−y=a+43x+2y=5a−1解都为正数，且满足a+b=5，b>0，z=2a−3b，则z的取值范围是（

A．−5<z<10 B．5<z<10 C．−5<z<8 D．−5<z<56．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′BA．2,30° B．1,30° C．2,60° D．1,60°7．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息a−b，x−3，x+3，a+b，x2−9，a2−bA．我爱美 B．德州游 C．我爱德州 D．美我德州8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=12，BC=DC，∠A=60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE=7，则CF的长为（A．4 B．3.5 C．2 D．19．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，长方体的长为10cm、宽为4cm、高为9cm，D是BC边的中点，在长方体下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点DA．12cm B．365cm C．221cm10．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在△ABC中（∠C>∠ABC），∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列结论：①若AB=BC，则∠AFB=90°；②∠AOB=90∘+12∠C；③若OD=a，A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．计算：1−1212．如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至点E，使CE=CD=1，连接DE，则BE=_______．13．（25-26九年级下·河南商丘·月考）如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，且过原点，连接OC．将△OBC沿OC翻折，点B的对应点B′恰好落在边AD上．若点B′的坐标为3,4，则点C的坐标为14．如果关于x的方程x6−6m−13=x−5m−1215．（25-26八年级上·广东江门·月考）如图，点O在直线l上，点A在直线l外．若直线l上有一点P使得△APO为等腰三角形，则满足条件的点P位置有___个．16．（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，点D是等边△ABC内一点，DA=8，BD=10，CD=6，则∠ADC的度数是______．三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17．（6分）（24-25八年级下·四川达州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF(1)若∠BAC=40°，求∠BAF的度数；(2)若AC=8，BC=6，求18．（6分）（25-26八年级上·重庆·开学考试）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用21000元；4台A型空调和5台B型空调，共需费用35000元．(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元；(2)若学校计划采购A、B型号空调共40台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过152000元，该校共有哪几种采购方案？19．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边延长线上一点，CE平分∠ACD，CE=BD．(1)求证：∠BAD=∠CAE；(2)判别△ADE是什么特殊三角形？并说明理由．20．（8分）（25-26八年级上·山西晋中·期末）某社区计划在健身活动区安装照明设施．社区内有两个健身活动区A和B，它们之间的距离AB为250米．社区小路AC紧邻活动区，计划在小路AC上选一点E安装总电箱，并由此分别铺设地下电缆到A和B，勘测人员测得点E到直线AB的垂线段EF的长度为120米，且线段BE的长度为150米．规划示意图如下．(1)请计算从电箱安装点E到健身区A需要铺设的电缆EA的长度．(2)判断线段BE的长度是否是健身区B到小路AC的最短距离？并说明你的理由．21．（10分）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”．(1)不等式x−5≥0______x−5<0的“同根不等式”（填“是”或“不是”）不等式x−1≥0______1−x<0的“同根不等式”（填“是”或“不是”）．(2)若关于x的不等式x+2m≥0不是2x−1≤x+5的“同根不等式”，求m的取值范围；(3)若a≠0，关于x的不等式12x+a>3与不等式ax−a≤0互为“同根不等式”．直接写出22．（10分）（25-26八年级上·四川泸州·期末）已知△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点E在射线BC上，点F在线段AB上，∠FDE=120°．(1)如图1，若点F与点B重合，①求证：CD=CE；②当△ABC的面积为S时，用含S的代数式表示△DCE的面积．(2)如图2，若点E在线段BC上，当AB=8时，求AF+CE的值．23．（12分）25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式，巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：x2(1)运用配方法将多项式进行因式分解：x2(2)试说明多项式x2(3)当x=________，多项式x224．（12分）（25-26八年级上·吉林长春·期末）在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请在给定网格中按下列要求画图并回答问题：示例：比较2+3与17如图①，在正方形网格中作△OPQ，使OP=2，PQ=3，OQ=∵在△OPQ中，OP+PQ>OQ，∴2+3>(1)参考示例的方法，在图②中构造图形，比较2+8与(2)如图③，点A、B、C、D均在格点上，点M是AB上任意一点，若满足MC+MD取最小值，在图③中画出点M（保留作图痕迹），直接写出MC+MD的值为________；若连接AC、AD，直接写出∠DAB+∠CAB的度数为________．

八年级数学下学期期中学情自测·拔尖卷【新教材北师大版】参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=25，BC=14，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC于点E，则DE的长为（

）A．6 B．16825 C．7 D．【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由勾股定理即可求出AD的长度，最后用面积法求得DE的长．【详解】解：∵∠B=∠C，AB=25，BC=14，AD平分∠BAC交BC于点D，∴AD⊥BC且点D是BC的中点，∴∠ADB=90°，BD=CD=1∴AD=A∴S△ADC∵DE⊥AC，∴S△ADC∴DE=1682．若关于x的不等式组x−m>013−2x≥1的所有整数解的和是18，则m的取值范围是（

A．2<m<3 B．2<m≤3C．2≤m<3或−3≤m<−2 D．2≤m≤3【答案】C【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，利用含m的式子表示出来，根据整数解的和就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围．【详解】解：解不等式组x−m>013−2x≥1得m<x≤6∵不等式组的所有整数解的和是18，∴不等式组的整数解为6、5、4、3或6、5、4、3、2、1、0、−1、−2，∴2≤m<3或−3≤m<−2，故选：C．3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若a是整数，则a3−a一定能被整数k（k是一位整数）整除，整数k的最大值为（A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】本题考查因式分解的应用，先将a3【详解】解：∵a3−a=aa∴a，a−1，a+1为三个连续整数，其中必有2的倍数和3的倍数，∴aa−1a+1能被乘积一定能被∴整数k的最大值为6．故选：D．4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8；D为BC上一点，连接AD，把△ABC沿AD折叠，使AB落在直线AC上，则重叠部分(阴影部分)的面积为（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等，并利用勾股定理列方程求解是解题的关键．先利用勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，再根据折叠性质得到对应边相等，设未知数表示线段长度，在Rt△BDC中用勾股定理列方程求解，最后计算重叠部分（△ADC【详解】解：∵AB=10，AC=6，BC=8，∴AC∴∠C=90°．由折叠性质可知：AB′=AB=10∴B′设CD=x，则BD=8−x，B′在Rt△BDC中，B∴(8−x)2∴64−16x+x∴16x=48，∴x=3，即CD=3，∴S△ADC故选：B．5．已知关于x、y的方程组2x−y=a+43x+2y=5a−1解都为正数，且满足a+b=5，b>0，z=2a−3b，则z的取值范围是（

A．−5<z<10 B．5<z<10 C．−5<z<8 D．−5<z<5【答案】A【分析】先把不等式组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可得到a的范围；根据题意得出b=5−a>0，即可得到2<a<5，代入z=2a−3b得到z=5a−15，根据a的取值可得结论．【详解】解：解这个方程组的解为：x=a+1y=a−2由题意，得a+1>0a−2>0则原不等式组的解集为a>2；∵a+b=5，b>0，∴b=5−a>0，∵a>2，∴2<a<5，∴z=2a−3b=2a−3∴−5<z<10故选：A．【点睛】本题考查了含有字母系数的二元一次方程组和不等式组的应用，解答关键是用字母参数表示未知量，构造不等式组解答问题．6．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′BA．2,30° B．1,30° C．2,60° D．1,60°【答案】C【分析】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，得出△A利用旋转和平移的性质得出，∠A′B′C=60°，AB=A′【详解】解：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A∴∠A′B∴△A∴B′∴BB∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°．故选：C．7．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息a−b，x−3，x+3，a+b，x2−9，a2−bA．我爱美 B．德州游 C．我爱德州 D．美我德州【答案】C【分析】本题考查因式分解的应用，先对给定多项式因式分解，再根据密码对应关系得到结果即可．【详解】解：x==∵x+3对应我，x−3对应爱,a+b对应德,a−b对应州，∴因式分解结果对应的密码信息是我爱德州．8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=12，BC=DC，∠A=60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE=7，则CF的长为（A．4 B．3.5 C．2 D．1【答案】C【分析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD、△DEF是等边三角形，△AEC是等腰三角形可得AE=CE=7，易得EF=DE=5，再根据线段的和差计算即可．【详解】解：如图：连接AC交BD于点O，∵AB=AD=12，BC=DC，∠BAD=60°，∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，∠CAB=∠CAD=1∴∠ADB=60°,∵CE∥∴∠BAD=∠DEF=60°，∠CAB=∠CAE=∠CAD=30°,∴△DEF是等边三角形，△AEC是等腰三角形,∴AE=CE=7，∴EF=DE=AD−AE=12−7=5，∴CF=CE−EF=7−5=2．9．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，长方体的长为10cm、宽为4cm、高为9cm，D是BC边的中点，在长方体下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点DA．12cm B．365cm C．221cm【答案】C【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是把立体图形转化为平面图形解决，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可．【详解】解：当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和右面）爬行的展开如图所示：∵长方体的长为10cm、宽为4cm、高为9cm，D∴BD=1∴AD=9∴沿着表面需要爬行的最短路程为15cm当蚂蚁沿着该长方体的表面（左面和上面）爬行的展开如图所示：∵长方体的长为10cm、宽为4cm、高为9cm，D∴BD=12∴AD=19∴沿着表面需要爬行的最短路程为365cm当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和上面）爬行的展开如图所示：∵长方体的长为10cm、宽为4cm、高为9cm，D∴AM=10cm，∴AD=10∴沿着表面需要爬行的最短路程为221cm∵221cm∴即沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为221cm故选：C．10．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在△ABC中（∠C>∠ABC），∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列结论：①若AB=BC，则∠AFB=90°；②∠AOB=90∘+12∠C；③若OD=a，A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质，角平分线的性质及定义是解题的关键．利用等腰三角形的三线合一可判断①正确；根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知②正确；根据三角形的内角和定理及角平分线可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积公式可知③正确．【详解】解：∵在△ABC中，AB=BC，BF平分∠ABC，∴BF⊥AC，∴∠AFB=90°，故①正确；∵在△ABC中，∠ABC+∠BAC=180°−∠C,∴12∵AE和BF是∠BAC和∠ABC的平分线，∴∠OBA=1∵∠OBA+∠OAB+∠AOB=180°∴∠AOB=180°−=180°−=90°+1故②正确；作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，∵∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，∴OM=ON=OD=a，∵AB+BC+CA=b，∴S====1故③正确．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．计算：1−12【答案】1120/【分析】接利用平方差公式把每一个算式因式分解，再进一步发现规律计算即可．【详解】解：原式=1−====11故答案为：1120【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于利用公式进行计算．12．如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至点E，使CE=CD=1，连接DE，则BE=_______．【答案】3【分析】本题主要考查等边三角形的性质，根据等边三角形的性质求出AC=2CD，再根据等边三角形的性质得出BC=AC，从而求出BE即可．【详解】解：∵△ABC为等边三角形，BD为中线，∴AC=2CD，BC=AC，∴BC=2CD，∵CE=CD=1，∴BE=BC+CE=2CD+CE=2CE+CE=3CE=3．故答案为：3．13．（25-26九年级下·河南商丘·月考）如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，且过原点，连接OC．将△OBC沿OC翻折，点B的对应点B′恰好落在边AD上．若点B′的坐标为3,4，则点C的坐标为【答案】−5,10【分析】由点B′的坐标得到AB′和AO的长，根据勾股定理求出OB′=5，由折叠得到【详解】解：∵点B′的坐标为(3,4)∴AB′=4∴在Rt△AOB′∵将△OBC沿OC翻折，点B的对应点B′恰好落在边AD∴OB=OB′=5∴AB=OB+OA=5+3=8，∴在矩形ABCD中，∠D=90°，CD=AB=8，，设CB=CB′=x∵在Rt△BOC中，C∴82解得x=10，∴CB=10，∴点C的坐标为−5,10．14．如果关于x的方程x6−6m−13=x−5m−12【答案】25或【分析】利用解一元一次方程的步骤表示出x=3m−15，然后根据题意列出不等式，求出【详解】解：xx−12m+2=6x−15m+3x−6x=12m−15m+3−2−5x=−3m+1x=x=∴x=3m−1解得m≤2，∵m是一个正整数，∴m的值为1或2，当m=1时，x=3−1当m=2时，x=3×2−1故答案为：25或15．（25-26八年级上·广东江门·月考）如图，点O在直线l上，点A在直线l外．若直线l上有一点P使得△APO为等腰三角形，则满足条件的点P位置有___个．【答案】4【分析】本题考查等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，直线上与已知两点组成等腰三角形的点．根据等腰三角形的定义，结合线段垂直平分线的性质，分三种情况进行讨论，即可求解．【详解】解：△APO为等腰三角形，①以O为圆心，OA长为半径画弧，与直线l交于点P1、P此时OA=OP1=OP2②以A为圆心，OA长为半径画弧，与直线l交于点P3此时OA=OP3，③作OA的垂直平分线，与直线l交于点P4此时OP4=A即满足条件的点P位置有4个，故答案为：4．16．（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，点D是等边△ABC内一点，DA=8，BD=10，CD=6，则∠ADC的度数是______．【答案】150°/150度【分析】本题考查等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形、直角三角形．将△DBC绕点C顺时针旋转60°得△PAC，根据旋转的性质可证△CDP为等边三角形、△ADP是直角三角形，即可求出∠ADC的度数．【详解】解：如图，将△DBC绕点C顺时针旋转60°得△PAC，∴PC=CD,∠DCP=60°,AP=BD=10．∴△CDP为等边三角形，∴∠PDC=∠PCD=60°,PD=CD=6，∵AD=8,AP=10,PD=6，∴AD∴△ADP是直角三角形，∠ADP=90°，∴∠ADC=∠ADP+∠PDC=150°．故答案为：150°三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17．（6分）（24-25八年级下·四川达州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF(1)若∠BAC=40°，求∠BAF的度数；(2)若AC=8，BC=6，求【答案】(1)65°；(2)45【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC=50°，根据旋转的性质得到∠EBF=∠ABC=50°，（2）根据勾股定理得到AB=10，根据旋转的性质得到BE=BC=6，【详解】（1）解：在Rt△ABC∴∠ABC=50°，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴∠EBF=∠ABC=50°，∴∠BAF=∠BFA=1（2）解：∵∠C=90°，∴AB=10，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴BE=BC=6，∴AE=AB−BE=10−6=4，∴AF=A18．（6分）（25-26八年级上·重庆·开学考试）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用21000元；4台A型空调和5台B型空调，共需费用35000元．(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元；(2)若学校计划采购A、B型号空调共40台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过152000元，该校共有哪几种采购方案？【答案】(1)A型空调每台需5000元，B型空调每台需3000元(2)见解析【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，不等式组的方案选择问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．（1）设A型空调单价为x元，B型空调单价为y元，根据题意，列出方程组求解；（2）设A型空调购a台，则B型空调购40−a台，根据题意，列出不等式组求解，再求出正整数解即可得方案．【详解】（1）解：设A型空调单价为x元，B型空调单价为y元，则3x+2y=210004x+5y=35000解得：x=5000y=3000答：A型空调每台需5000元，B型空调每台需3000元；（2）解：设A型空调购a台，则B型空调购40−a台，则a≥40−a解得：403对应方案为：①a=14，b=26，费用：5000×14+3000×26=70000+78000=148000（元）；②a=15，b=25，费用：5000×15+3000×25=75000+75000=150000（元）；③a=16，b=24，费用：5000×16+3000×24=80000+72000=152000（元），因此共有三种采购方案．19．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边延长线上一点，CE平分∠ACD，CE=BD．(1)求证：∠BAD=∠CAE；(2)判别△ADE是什么特殊三角形？并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)等边三角形，理由见解析【分析】（1）通过等边三角形性质、角平分线性质得到相等的边和角，证明△ABD≌△ACE，从而得对应角相等；（2）利用全等三角形性质得到AD=AE及角关系，计算∠DAE=60°，判定△ADE为等边三角形．【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠ACB=∠CAB=60°,AB=AC=BC，∴∠ACD=120°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE=60°，∴∠B=∠ACE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠B=∠ACE∴△ABD≌△ACE(SAS∴∠BAD=∠CAE．（2）解：△ADE为等边三角形，∵△ABD≌△ACE，∴AD=AE,∠BAD=∠CAE，即∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠DAE=∠BAC=60°，∴△ADE为等边三角形．20．（8分）（25-26八年级上·山西晋中·期末）某社区计划在健身活动区安装照明设施．社区内有两个健身活动区A和B，它们之间的距离AB为250米．社区小路AC紧邻活动区，计划在小路AC上选一点E安装总电箱，并由此分别铺设地下电缆到A和B，勘测人员测得点E到直线AB的垂线段EF的长度为120米，且线段BE的长度为150米．规划示意图如下．(1)请计算从电箱安装点E到健身区A需要铺设的电缆EA的长度．(2)判断线段BE的长度是否是健身区B到小路AC的最短距离？并说明你的理由．【答案】(1)200(2)BE的长度是健身区B到小路AC的最短距离，理由见解析【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理．（1）根据勾股定理求出BF=90m，得到AF=160m，进而根据勾股定理即可求出电缆（2）根据勾股定理逆定理得出△AEB是直角三角形，得到BE⊥AC，根据垂线段最短作答即可．【详解】（1）解：∵EF⊥AB，∴∠AFE=∠BFE=90°，在Rt△EFB中，BF=∴AF=AB−BF=250−90=160m∴在Rt△AEF中，EA=答：电箱安装点E到健身区A需要铺设的电缆EA的长度200m（2）解：BE的长度是健身区B到小路AC的最短距离，理由如下：∵AB=250m，EA=200m，∴BE2+E∴BE∴△AEB是直角三角形，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC，∴BE的长度是健身区B到小路AC的最短距离．21．（10分）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”．(1)不等式x−5≥0______x−5<0的“同根不等式”（填“是”或“不是”）不等式x−1≥0______1−x<0的“同根不等式”（填“是”或“不是”）．(2)若关于x的不等式x+2m≥0不是2x−1≤x+5的“同根不等式”，求m的取值范围；(3)若a≠0，关于x的不等式12x+a>3与不等式ax−a≤0互为“同根不等式”．直接写出【答案】(1)不是，是(2)m<−3(3)a<0或a>【分析】本题根据新定义“同根不等式”，即两个一元一次不等式有公共整数解，分别解不等式，再结合定义判断是否满足条件，求解参数范围．（1）直接解不等式判断是否有公共整数解即可；（2）根据没有公共整数解列不等式求m范围；（3）分a大于0和小于0两种情况讨论，得到a的取值范围．【详解】（1）解：解不等式x−5≥0得x≥5解不等式x−5<0得x<5两个不等式没有公共解，因此没有公共整数解，故x−5≥0不是x−5<0的“同根不等式”解不等式x−1≥0得x≥1解不等式1−x<0得x>1两个不等式的公共解为x>1，存在无数个公共整数解，故x−1≥0是1−x<0的“同根不等式”（2）解不等式x+2m≥0得x≥−2m解不等式2x−1≤x+5得x≤6∵x+2m≥0不是2x−1≤x+5的“同根不等式”∴两个不等式没有公共整数解，∴−2m>6解得m<−3（3）解不等式12x+a>3解不等式ax−a≤0，整理得a(x−1)≤0①当a>0时，不等式化简为x≤1要使两个不等式有公共整数解，需满足6−2a<1解得a>5②当a<0时，不等式化简为x≥1∵a<0，∴6−2a=6−2×a>6>1两个不等式的公共解为x>6−2a，因此所有a<0都符合条件综上，a的取值范围是a<0或a>22．（10分）（25-26八年级上·四川泸州·期末）已知△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点E在射线BC上，点F在线段AB上，∠FDE=120°．(1)如图1，若点F与点B重合，①求证：CD=CE；②当△ABC的面积为S时，用含S的代数式表示△DCE的面积．(2)如图2，若点E在线段BC上，当AB=8时，求AF+CE的值．【答案】(1)①见解析；②△DCE的面积为1(2)4【分析】（1）①利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出相关角的度数，即可得证；②根据等边三角形的性质得出BD⊥AC，∠DBC=12∠ABC=30°，S△BCD=（2）过点D作DG∥BC，构造全等三角形，将AF和【详解】（1）①证明：∵△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，∴BD⊥AC，∠ACB=60°，∴∠BDC=90°，∵∠FDE=120°，点F与点B重合，∴∠BDE=120°，∴∠CDE=120°−90°=30°，∴∠DEC=∠ACB−∠CDE=60°−30°=30°，∴∠CDE=∠DEC，∴CD=CE；②解：∵△ABC是等边三角形，点D是AC