2026-2027学年河南省部分普通高中高二上学期开学联考数学试卷（含答案）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.复数（其中i是虚数单位）的虚部是（）A. B. C. D.3.已知，，，为三条直线，，，为三个平面．下列命题为假命题的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，，则4.已知，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.5.函数在上的最大值与最小值之和为（）A. B. C. D.6.在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（）A.和为对立事件 B.与为相互独立事件C.与为相互独立事件 D.与为互斥事件7.已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（）A. B. C. D.8.在中，，，，，则（）A.0 B. C.6 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，，为实数，则（）A.若，则 B.若，，则C.若，，都大于，则 D.若，，，则10.如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.正三棱柱的外接球表面积为C.周长的最小值为D.已知动点在侧面内（包含边界），若，则点的轨迹长度为11.已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，．则（）A.的最小正周期为4B.的图象关于点对称C.为奇函数D.的解集为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在高一某次数学周测考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中试卷上有一道满分为13分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数等于这组数据极差，则该组数据上四分位数是______．13.已知四面体的四个顶点均在球的球面上，为等边三角形，且的面积为，，则球的体积为__________．14.已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数（为虚数单位）是关于的方程的一个根．（1）求，的值；（2）若，且，所对应的向量之间的夹角为钝角，求的取值范围．16.已知在中，角，，的对边分别为，，，，．（1）求的值；（2）若线段上的一点满足，求的值．17.某学校举办读书节活动，该校有2000名学生，现随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…，分组绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组的中点值作代表）.（1）求的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数；（2）估计该校学生每周课外阅读的平均时间；（3）若样本数据在与内的方差分别为，，求样本数据在内的方差.18.如图，在三棱台中，平面平面，，，．（1）证明：平面．（2）若平行四边形的顶点，，，分别在棱，，，上，证明：．（3）线段上是否存在点，使得二面角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．19.盒中有个标号为的小球，小球除标号外均相同，每次不放回地随机取一个球，在取球过程中的某一时刻，若取得的奇数号球与偶数号球个数相等，则称为出现了一次“巧遇”．（1）当时，求取球两次就出现“巧遇”的概率；（2）记“取出个球后，第一次出现“巧遇”，，“第一次取到的是奇数号球”．（ⅰ）证明：；（ⅱ）求取球过程中至少出现一次“巧遇”的概率．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先根据集合中的元素求出集合,再利用交集定义求出结果.解答过程：将1，2，3，4，5分别代入得到,即,所以2.复数（其中i是虚数单位）的虚部是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：复数，所以的虚部为.3.已知，，，为三条直线，，，为三个平面．下列命题为假命题的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，，则答案：A解析：思路：根据题意，由空间中直线与平面，平面与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.解答过程：对于A，令，，若，则必有，，而在同一平面的a，b两条直线可以平行或相交，故A错误；对于B，由线面平行的性质定理易得命题正确，故B正确；对于C，由面面垂直的判定定理易得命题正确，故C正确；对于D，设，，过点分别作于点，于点，如图所示，因为，，，，所以，又因为，所以，同理可得，又因为，，则，故D正确.4.已知，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为是增函数，是增函数，在区间上单调递增，所以，，，则.5.函数在上的最大值与最小值之和为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为.当时，令，则.因为函数在上单调递增，在上单调递减，且，，.所以当时，，所以.即当时，函数的值域为.所以所求函数的最大值与最小值的和为.6.在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（）A.和为对立事件 B.与为相互独立事件C.与为相互独立事件 D.与为互斥事件答案：B解析：思路：A选项利用对立事件的定义判断；B选项利用相互独立事件的定义判断；C选项利用相互独立事件的定义判断；D选项利用互斥事件的定义判断.解答过程：事件的基本事件有，，，，；事件的基本事件有，，，，；事件的基本事件有，，，.和都有事件，所以和不是对立事件，故A错误；，，事件的基本事件有，，则，所以和为相互独立事件，B正确；，，事件的基本事件有，，则，故和不为相互独立事件，C错误；和都有事件，所以和不是互斥事件，故D错误.7.已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设圆锥的底面半径为，母线长为，高为.因为圆锥的侧面展开图为半圆，其圆心角为，所以展开图弧长等于底面周长，即.又圆锥的侧面积为.解得.圆锥的高为.故圆锥的体积为.8.在中，，，，，则（）A.0 B. C.6 D.答案：B解析：思路：根据题意，得到为的外心，取的中点，求得和，进而得到，再由三角形的面积公式和余弦定理，求得和，得到，即可求解.解答过程：由题意知：，可得为的外心，取的中点，连接，则，所以，又由，同理可得，所以，可得，因为在中，，，可得，解得，又因为，由余弦定理，可得，即，所以，所以，则，所以，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，，为实数，则（）A.若，则 B.若，，则C.若，，都大于，则 D.若，，，则答案：AD解析：思路：根据不等式性质、作差法比较大小及基本不等式的应用逐一分析解答过程：对于A，因为，所以，故，可得，A对；对于B，举特殊值，取，，则，与结论矛盾，B错；对于C，作差得，若，则，反之，，C错；对于D，根据基本不等式，当且仅当，即时，取等号，D对10.如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.正三棱柱的外接球表面积为C.周长的最小值为D.已知动点在侧面内（包含边界），若，则点的轨迹长度为答案：AD解析：思路：选项A：利用线面平行，先判断点到平面的距离不变，底面积固定，所以，三棱锥的体积为定值.选项B：先求出底面外接圆半径，再根据直三棱柱外接球半径公式，求得：外接球半径，进而计算外接球表面积.选项C：的周长，又，所以要求周长最小值，即求的最小值，验证周长最小值.选项D：利用空间向量法，先求平面的法向量，在利用点面距距离公式求点到平面的距离，最后转化为平面内圆得轨迹，计算圆弧长度.解答过程：选项A分析：三棱锥的体积，其中为点到平面的距离，在正三棱柱中，侧棱，且平面，所以平面.因为点在上，所以点到平面的距离等于到平面的距离，这是一个定值.底面是直角三角形，，也是定值.所以，三棱锥的体积为定值.故A正确.选项B分析：设正三棱柱外接球的半径为，底面是边长为2的等边三角形，其外接圆半径，棱柱的高，根据外接球半径公式，得：，外接球表面积.故B错误.选项C分析：的周长.在中，，为定值.要求周长最小值，即求的最小值.如图：，.根据勾股定理，的最小值为.所以周长的最小值为.故C错误.选项D分析：建立空间直角坐标系.以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴.则，，.因为是边长为2的等边三角形，所以.设：平面得法向量为，又，，所以，且，即，且，令，则，，平面的法向量，又因为，点到平面的距离.设点在平面上，且.根据勾股定理，点在平面上的轨迹是以在平面上的射影为圆心，半径的圆的一部分.侧面是一个边长为的正方形，是底边的中点.我们需要计算以为圆心，为半径的圆在正方形内部的弧长.设圆弧与交于点，与交于点.在中，，，所以.同理，.因为，所以是的中点；同理是的中点.在正方形中，是的中点，是中点，是中点.，，同理.所以圆弧所对的圆心角为.轨迹长度.故D正确.11.已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，．则（）A.的最小正周期为4B.的图象关于点对称C.为奇函数D.的解集为答案：ACD解析：思路：根据已知得到的图象关于直线、对称，进而得到的最小正周期为4，利用奇偶性和周期性依次判断各项的正误即可.解答过程：因为

是定义在上的偶函数，所以，即，函数的图象关于直线对称，因为，所以，函数的图象关于点中心对称，由，令，则，因为，即，所以，即，进一步得，所以是函数的一个周期，若存在更小的正周期，则，而上，，结合其对称性，在上的唯一解是，故不存在小于的正周期，最小正周期为，A正确；由，则，由于，显然不恒为，因此图象不关于点对称，B错误；令，由的图象关于直线以及的最小正周期为，，所以的图象关于点对称，而的图象是的图象向右平移一个单位得到的，所以的图象关于原点对称，即为奇函数，C正确；当时，，结合函数图象的对称性，当时，，当时，，当时，，由，即，解得，结合最小正周期为，解集为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在高一某次数学周测考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中试卷上有一道满分为13分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数等于这组数据极差，则该组数据上四分位数是______．答案：10解析：解答过程：已知数据，数据个数为偶数，所以中位数是中间两个数6和的平均数，即中位数为．极差是最大值12减去最小值4，即极差为．因为该组数据的中位数是这组数据的极差，所以．可得．此时这组数据为4，5，6，10，10，12．计算6与75%的乘积为4.5，所以从小到大，上四分位数是第5个数，即10．13.已知四面体的四个顶点均在球的球面上，为等边三角形，且的面积为，，则球的体积为__________．答案：解析：思路：先根据等边三角形面积公式求的边长，即可求的外接圆半径r，确定D在平面的投影位置，通过勾股定理可算出棱锥高的长度，设外接球半径为R，球心O在高所在直线上，根据球心到A和到D的距离均为R列方程，解出R，最后用球的体积公式计算体积.解答过程：已知为等边三角形，设边长为a，其面积，解得，即；设底面的外接圆半径为r，，因为，所以D在底面上的投影H即为的外心;在直角中，高,设四面体外接球的球心为O，半径为R，球心O必在高线所在的直线上；设，由于D到平面的距离为，球心到平面的距离为x，则；同时，球心到顶点D的距离也为R，则，故，解得，由此可知O在延长线上，则球的体积.14.已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为_________.答案：解析：思路：根据二倍角公式，将化为，再利用正弦定理得.从而，通过为锐角三角形，确定的范围，然后构造函数，利用函数的单调性求的取值范围.解答过程：由，得，即，根据正弦定理，上式可化为.又.因为为锐角三角形，所以，得，所以，得，所以.，得，所以，得，所以，因此，有.令，则，令，则在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数（为虚数单位）是关于的方程的一个根．（1）求，的值；（2）若，且，所对应的向量之间的夹角为钝角，求的取值范围．答案：（1），；（2）．解析：（1）因为是方程的根，将其代入方程，得.又，所以，即.由，得，解得，.（2）由题意，对应的向量为，对应的向量为，两向量夹角为钝角，需满足，且两向量不反向共线，由，得.当两向量共线时，，即，此时，两向量反向，夹角为，舍去.综上，.16.已知在中，角，，的对边分别为，，，，．（1）求的值；（2）若线段上的一点满足，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先通过正弦定理将边的比例参数化，结合余弦定理求出边后再计算；（2）第二问由向量垂直的性质将所求角的余弦转化为计算即可．（1）根据正弦定理，可得，设，由余弦定理，化简得，解得（边长为正，舍去负根），由余弦定理得．（2）由得，即，为直角三角形，所以，因此，由余弦定理得，因为，所以，所以．17.某学校举办读书节活动，该校有2000名学生，现随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…，分组绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组的中点值作代表）.（1）求的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数；（2）估计该校学生每周课外阅读的平均时间；（3）若样本数据在与内的方差分别为，，求样本数据在内的方差.答案：（1），估计该校达标的人数为人；（2）分钟；（3）.解析：思路：（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出，再计算达标频率并估计总人数；（2）利用各组中点值乘以对应频率求和得到平均数；（3）利用分层抽样方差公式，结合两组数据的频率、平均数和方差计算合并后的方差.（1）由频率分布直方图可知，组距为，则，解得.每周课外阅读时间在分钟以上（含分钟）的频率为：.故估计该校达标的人数为（人）.（2）该校学生每周课外阅读的平均时间为：（分钟）.（3）样本数据在内的频率为，平均数为，方差；样本数据在内的频率为，平均数为，方差.设样本数据在内的平均数为，方差为.则.由分层方差公式可得：.故样本数据在内的方差为.18.如图，在三棱台中，平面平面，，，．（1）证明：平面．（2）若平行四边形的顶点，，，分别在棱，，，上，证明：．（3）线段上是否存在点，使得二面角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．答案：（1）证明：因为，，所以，所以．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．（2）证明：因为四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．因为平面，平面平面，所以．（3）存在，解析：思路：（1）通过平面平面结合面面垂直性质可完成证明；（2）由可得平面，然后由线面平行性质可完成证明；（3）分别取，的中点，，连接，，，由题设可得，，，四点共面，然后假设存在符合题意的点，过点作，垂