三种方法计算形如函数y=√(ax+b).(cx^2+d)一阶导数过程步骤B4

函数y=√[(2x+18)/(27x2+3)]一阶导数三种求法.主要内容：本文通过幂函数导数法、取对数法和导数定义法，介绍求解函数y=√[(2x+18)/(27x2+3)]的一阶导数的具体步骤。思路一：幂函数导数法∵y=√[(2x+18)/(27x2+3)]=[(2x+18)/(27x2+3)]^(1/2),∴y'=(1/2)*[(2x+18)/(27x2+3)]^(-1/2)*[2(27x2+3)-54x(2x+18)]/(27x2+3)2=(-1/2)*[(54x2+972x-6)/√[(2x+18)(27x2+3)]3。思路二：取对数求导数法∵y=√[(2x+18)/(27x2+3)]，∴lny=(1/2)ln[(2x+18)/ln(27x2+3)],即：2lny=ln(2x+18)-ln(27x2+3),两边同时对x求导得：2y'/y=2/(2x+18)-54x/(27x2+3)。进一步化简有y'=1/2·y·[2(27x2+3)-54x(2x+18)]/[(2x+18)(27x2+3)]=-1/2·y·(54x2+972x-6)/[(2x+18)(27x2+3)],=-1/2·√[(2x+18)/(27x2+3)]·(54x2+972x-6)/[(2x+18)(27x2+3)],=1/2·(54x2+972x-6)/[3√((2x+18)(27x2+3)]3.思路三：定义法求解导数∵f(x)=√[(2x+18)/(27x2+3)],∴y'=lim(t→0)[f(x+t)-f(x)]/t=lim(t→0)[√[(2x+8t+18)/(27x(x+t)2+3)-√[(2x+18)/(27x2+3)]/t=lim(t→0)[t(6-54x2-972x+54xt+486t)]/[2(27x2+3)2√[(2x+18)/(27x2+3)].y'=(6-54x2-972x+0)/{2(27x2+3)2√[(2x+18)/(27x2+3)]}=(-1/2)·(54x2+972x-6)/{√[(2x+18)(27x2+3)]3}。函数y=eq\r(\f(2x+18,27x2+3))一阶导数三种求法思路一：幂函数导数法y'=eq\f(1,2)·eq(\f(27x2+3,2x+18))\s\up12(\f(1,2))·eq\f(2(27x2+3)-54x(2x+18),(27x2+3)2),=eq\f(1,2)·eq(\f(27x2+3,2x+18))\s\up12(\f(1,2))·eq\f(6-54x2-972x,(27x2+3)2)=eq-\f(1,2)·eq\f(54x2+972x-6,\r((2x+18)(27x2+3)3))。思路二：取对数求导数法∵y=eq\r(\f(2x+18,27x2+3))，∴lny=eq\f(1,2)eqln\f(2x+18,27x2+3),即：2lny=ln(2x+18)-ln(27x2+3),两边同时对x求导得：eq\f(2y',y)=eq\f(2,2x+18)-eq\f(54x,27x2+3),则：y'=eq\f(1,2)·y·eq\f(2(27x2+3)-54x(2x+18),(2x+18)(27x2+3)),=-eq\f(1,2)·y·eq\f(54x2+972x-6,(2x+18)(27x2+3)),=-eq\f(1,2)·eq\r(\f(2x+18,27x2+3))·eq\f(54x2+972x-6,(2x+18)(27x2+3)),=-eq\f(1,2)·eq\f(54x2+972x-6,\r((2x+18)(27x2+3)3))。思路三：定义法求解导数y'=eq\a\ac(lim,t→0)eq\f(f(x+t)-f(x),t)=eq\a\ac(lim,t→0)eq\f(eq\r(\f(2(x+t)+18,27(x+t)2+3))-eq\r(\f(2x+18,27x2+3)),t),=eq\a\ac(lim,t→0)eq\f(eq\f(2(x+t)+18,27(x+t)2+3)-eq\f(2x+18,27x2+3),t(eq\r(\f(2(x+t)+18,27(x+t)2+3))+eq\r(\f(2x+18,27x2+3)))),=eq\a\ac(lim,t→0)eq\f(\f([2(x+t)+18](27x2+3)-[27(x+t)2+3](2x+18),[27(x+t)2+3](27x2+3)),t(eq\r(\f(2(x+t)+18,27(x+t)2+3))+eq\r(\f(2x+18,27x2+3)))),=eq\a\ac(lim,t→0)eq\f(\f([2(x+t)+18](27x2+3)-[27(x+t)2+3](2x+18),(27x2+3)2),2teq\r(\f(2x+18,27x2+3))),=eq\a\ac(lim,t→0)eq\f(t(6-54x2-972x+54xt+486t),2(27x2+3)2eq\r(\f(2x+18,27x2+3)))=