2026-2027学年广东省湛江市教研体联考高三上学期开学数学试卷（含答案）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的实部为（）A.1 B.5 C.8 D.102.若椭圆的焦点在轴上，则的方程可以为（）A. B.C. D.3.若，，是三个互不重合的点，且，则（）A. B.C. D.4.某工厂抽检了个零件，并统计了这个零件的质量（单位：）的数据，得到如下表格：质量/g498499500501502503频数485616205030由表可知这个零件的质量的第60百分位数为（）A. B. C. D.5.若一个三位数的十位数既大于个位数又大于百位数，则称这个三位数为伞数，其中十位数称为伞轴数．在用数字1，2，3，6，7，8组成的伞数中（可重复使用数字），伞轴数为7的伞数的总个数为（）A.12 B.16 C.18 D.246.设集合，，若的子集的个数为4，则的取值范围是（）A. B.C. D.7.在同一平面直角坐标系内，函数（，且），的图象可能是（）A. B. C. D.8.已知长方体的8个顶点均在球的球面上，，，二面角为，过线段的中点作球的截面，则该截面面积的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆：与圆：有公共点，则（）A.的最小值为 B.的最大值为C.的最小值为 D.的最大值为10.若一个非等腰三角形的三条边的长度为，，，则（）A.该三角形可能是锐角三角形B.该三角形不可能是钝角三角形C.当时，该三角形最小内角的余弦值为D.存在唯一的，使得该三角形的三边的长度可以构成等比数列11.将容量为的总体分为两层，第一、二层的容量分别为，．现从这个总体中抽取容量为的样本，设第一、二层抽取的样本量分别为，，，，且．记简单随机抽样下，总体中两个特定不同个体都被抽中的概率为；记按比例分层随机抽样下，同属第一层、同属第二层、分属两层的两个特定不同个体都被抽中的概率分别为，，．下列结论正确的是（）A.B.C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程为_____________．13.若双曲线：的离心率为，为的左支上一点，，分别为的左、右焦点，且，则_______________．14.定义符号函数，则函数的最小正周期为_______________，值域为_______________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.甲、乙参加激光射击体验项目，已知甲、乙每次射击命中目标的概率分别为，，且每人每次射击命中目标与否相互独立．（1）若甲、乙各射击1次，求这2人中恰有1人命中目标的概率；（2）若甲射击2次，乙射击1次，记甲、乙2人中至少命中目标1次的人数为，求的数学期望．16.如图，三棱台的体积为，底面，为正三角形，，，且为的中点．（1）求．（2）证明：．（3）求直线与平面所成角的余弦值．17.已知抛物线，的焦点分别为，且.（1）求直线的方程；（2）若直线与从左到右分别交于，两点，与从左到右分别交于，两点，求.18.如图，在矩形中，为边上的中点，，点，均在半圆的直径上，，均在半圆的弧上，作矩形，直线与半圆相切，点，均在半圆的直径上，，均在半圆的弧上，作矩形，如此无限继续下去，记矩形的面积为．（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）若，求数列的前项和．19.已知函数．（1）当时，证明：．（2）已知有三个极值点，记为，，．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的实部为（）A.1 B.5 C.8 D.10答案：C解析：解答过程：因为，所以复数，复数的实部为8.2.若椭圆的焦点在轴上，则的方程可以为（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：焦点在轴的椭圆，满足的下面分母大于下面的分母，选项A,B,D都是下面的分母大，只有选项C满足条件.3.若，，是三个互不重合的点，且，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据平面向量的线性运算将拆成，即可得到，从而得到垂直关系.解答过程：，则，所以，即.4.某工厂抽检了个零件，并统计了这个零件的质量（单位：）的数据，得到如下表格：质量/g498499500501502503频数485616205030由表可知这个零件的质量的第60百分位数为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由表中数据可知，质量不超过的零件个数为，质量为的零件个数为，因为，把这220个零件的质量按照从小到大的顺序排列，第百分位数是第个与第个的平均数，因为第个与第个都是，所以第百分位数是.5.若一个三位数的十位数既大于个位数又大于百位数，则称这个三位数为伞数，其中十位数称为伞轴数．在用数字1，2，3，6，7，8组成的伞数中（可重复使用数字），伞轴数为7的伞数的总个数为（）A.12 B.16 C.18 D.24答案：B解析：解答过程：由题意，伞数的十位数既大于个位数又大于百位数，当伞轴数为7时，十位数为7，个位和百位只能从1，2，3，6中选，则伞轴数为7的伞数的总个数为.6.设集合，，若的子集的个数为4，则的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由子集个数为，得到含有2个不同点，联立方程，只要就存在第二个不同交点.解答过程：集合的子集个数为，结合集合元素个数满足2n=4⟹n=2即中有2个不同的交点，联立，把代入得，得，即，解得：，或，对应点，点，当时，，与是两个不同点，此时，元素个数，子集数，满足题意；当时，只有唯一交点，元素个数，子集数，不符合题意；所以条件等价于，即.7.在同一平面直角坐标系内，函数（，且），的图象可能是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：分别根据图象确定参数的取值范围，再判断选项.解答过程：A.由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故A错误；B.由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故B错误；C.由可知，，，由的图象可知，，，参数取值一致，故C正确；D.由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故D错误；8.已知长方体的8个顶点均在球的球面上，，，二面角为，过线段的中点作球的截面，则该截面面积的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先根据长方体的性质得到为二面角的平面角，可得，进而求得，，可得球的半径为，，分析可得垂直于截面时，截面圆的面积最小，进而求解即可.解答过程：在长方体中，平面，而平面，所以，又，所以为二面角的平面角，即，由，，则，即，所以球的半径为，易得，要使截面圆的面积最小，则垂直于截面，此时截面圆的半径为，则截面面积的最小值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆：与圆：有公共点，则（）A.的最小值为 B.的最大值为C.的最小值为 D.的最大值为答案：BC解析：思路：由圆，圆的方程确定两圆的圆心和半径，结合条件可得，解不等式求的范围即可.解答过程：由题得圆：的圆心为，半径为；圆：的圆心为，半径为；因为圆与圆有公共点，所以，又，所以由，可得，由可得，所以，所以的最小值为，最大值为.10.若一个非等腰三角形的三条边的长度为，，，则（）A.该三角形可能是锐角三角形B.该三角形不可能是钝角三角形C.当时，该三角形最小内角的余弦值为D.存在唯一的，使得该三角形的三边的长度可以构成等比数列答案：ACD解析：思路：设，得到三角形三边长为，，．对于选项A、B、C，可借助特殊值法，代入不同的取值进行判断；对于选项D，先对三边长度情况进行分类讨论，再结合等比数列的性质，求得的方程，解出后，利用三角形三边关系判断是否满足题意．解答过程：令，则，，．对于A，当时，该三角形的三边长为，，，因为，所以该三角形最长边所对的角为锐角，此时，该三角形为锐角三角形，A正确；对于B，当时，，该三角形的三边长为，，，该三角形最小内角的余弦值为，最大内角的余弦值为，则其最大内角为钝角，所以其为钝角三角形，B错误；对于C，由上述可知，C正确；对于D，因为，所以，．当，即时，若三边的长度可以构成等比数列，则，解得（负根已舍去），此时，满足要求；当，即1时，若三边的长度可以构成等比数列，则，解得舍去），此时，不满足要求．所以存在唯一的，使得该三角形的三边的长度可以构成等比数列，且，即，D正确．11.将容量为的总体分为两层，第一、二层的容量分别为，．现从这个总体中抽取容量为的样本，设第一、二层抽取的样本量分别为，，，，且．记简单随机抽样下，总体中两个特定不同个体都被抽中的概率为；记按比例分层随机抽样下，同属第一层、同属第二层、分属两层的两个特定不同个体都被抽中的概率分别为，，．下列结论正确的是（）A.B.C.D.答案：ABD解析：思路：根据古典概型概率公式求，再逐项判断即可.解答过程：因为从个个体抽个，包含指定个个体的抽样组合数为，因此，同理得，

结合关系，可得​​，，所以，​又，对于选项A；因为，代入​​，化简得，所以，A正确，对于选项B；因为结合选项A的结论，可得，B正确，对于选项C，结合选项A的结论可得、，所以

令，代入得：

，显然​不成立，C错误，对于选项D；因为，，因为，所以结合，可得，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程为_____________．答案：解析：解答过程：由题可得，所以曲线在点处的切线方程为，所以曲线在点处的切线方程为，即.13.若双曲线：的离心率为，为的左支上一点，，分别为的左、右焦点，且，则_______________．答案：6解析：解答过程：由题可知，的标准方程为，离心率，解得，由双曲线的定义可得，与联立，解得.14.定义符号函数，则函数的最小正周期为_______________，值域为_______________．答案：①.②.解析：思路：对于符号函数，可明确当取正数、零、负数时，能求得其函数值．对于化简得到的与是同号的，则，从而化简得到，再利用三角函数周期的判断方式即可得到其周期．然后对的取值范围进行分类讨论，化简函数中的绝对值符号与，借助辅助角公式与三角函数值域求法，求得原函数值域．解答过程：因为，且与同号，所以．因为符号函数，所以，则．因为函数，，的最小正周期分别为，，，所以函数的最小正周期为，则的最小正周期为．当时，，，，则．因为，所以的取值范围为．当时，，，，则．因为，所以的取值范围为．当时，，，，则．因为，所以的取值范围为．当时，，，，则．因为，所以的取值范围为．又，且的最小正周期为，所以的值域为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.甲、乙参加激光射击体验项目，已知甲、乙每次射击命中目标的概率分别为，，且每人每次射击命中目标与否相互独立．（1）若甲、乙各射击1次，求这2人中恰有1人命中目标的概率；（2）若甲射击2次，乙射击1次，记甲、乙2人中至少命中目标1次的人数为，求的数学期望．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由独立事件概率乘法公式和互斥事件和事件概率公式即可求解；（2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解.（1）若甲、乙各射击1次，则甲命中目标且乙未命中目标的概率为，甲未命中目标且乙命中目标的概率为，所以这2人中恰有1人命中目标的概率为．（2）的所有可能取值为0，1，2．当时，甲两次均未命中目标且乙未命中目标，所以．当时，甲至少命中目标1次且乙命中目标，所以．所以．故．16.如图，三棱台的体积为，底面，为正三角形，，，且为的中点．（1）求．（2）证明：．（3）求直线与平面所成角的余弦值．答案：（1）（2）证明：取的中点，连接，．因为为正三角形，所以．根据三棱台的性质可得．以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，．因为，，所以，则，即（3）．解析：解答过程：（1）解：因为为正三角形，所以根据三棱台的性质可得为正三角形，由，，得的面积，的面积，所以三棱台的体积，解得．（2）略（3）解：连接，且．设平面的法向量为，则，，令，得．设直线与平面所成的角为，则，因为为锐角，所以，即直线与平面所成角的余弦值为．17.已知抛物线，的焦点分别为，且.（1）求直线的方程；（2）若直线与从左到右分别交于，两点，与从左到右分别交于，两点，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先根据两焦点距离求出值得到焦点坐标，进而求出直线的方程；（2）再将直线分别与两个抛物线联立，得到四点的横坐标，由即可求解；（1）对于抛物线，其焦点坐标为，对于抛物线，其焦点坐标为；由两点间距离公式：，已知，故，结合解得，因此，直线的斜率，由斜截式得直线方程为，即.（2）由（2）知,则，.联立直线与的方程：，设的横坐标为，得联立直线与的方程：，设的横坐标为，得，因为点都在直线上，且斜率为，所以.18.如图，在矩形中，为边上的中点，，点，均在半圆的直径上，，均在半圆的弧上，作矩形，直线与半圆相切，点，均在半圆的直径上，，均在半圆的弧上，作矩形，如此无限继续下去，记矩形的面积为．（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）若，求数列的前项和．答案：（1）4（2）（3）解析：思路：（1）通过直线与半圆相切，得到，即可求；（2）连接，通过，结合直线与半圆相切，得到，进而得到，即可求；（3）结合两角差的正切公式和裂项相消法求和即可.（1）如图1，连接，则，在矩形中，直线与半圆相切，所以，，故．（2）如图2，连接，由题意可得：，在矩形中，