2026-2027学年广西柳州市柳州地区民族高级中学高二上学期开学数学试卷（含答案）

/数学满分150分，考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知集合，，若从集合、中各取一个数、，则为整数的概率为（）A. B. C. D.3.若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，体积为，则它的侧面积为（

）A. B. C. D.4.已知向量，，若，则（）A.3 B.5 C. D.5.设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.6.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（）A.， B.，C.， D.，，，7.记的内角所对的边分别为．若的面积为，且，则（）A. B. C. D.8.若函数在上单调，则实数的最大值为（

）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则下列命题为真命题的有（）A.的虚部为B.C.D.若是关于的方程的一个根，则10.下列命题中，正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.“至少有一个x，使成立”是全称量词命题C.“，”是假命题D.“”是“”的必要不充分条件11.已知圆锥SO（O是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为4，底面半径为3．若P，Q为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（）A.圆锥SO的侧面积为 B.面积的最大值为C.三棱锥体积的最大值为 D.圆锥SO的内切球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.高一年级有男生500人，女生400人，小华想估计高一学生的平均身高，按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，抽取的样本容量为90，则在男生中需抽取___________人．13.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________．14.如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则三棱锥的内切球的体积是_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知向量，．（1）求；（2）已知，且，求向量与向量的夹角．16.某校高一年级进行数学单元测试（满分120分），随机抽取了50名学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值，并估计这50名学生成绩的中位数；（2）从这两组成绩中分别选2名和4名学生，再从这6名学生中随机抽取2人，求所抽取的2人恰好都在这组的概率．17.已知函数的一段图象过点，如图所示．（1）求函数的表达式；（2）若，，求的值．18.已知a，b，c分别为的三个内角，，的对边，且．（1）证明：为钝角三角形；（2）若，且的面积为，求的周长．19.如图所示正四棱台，其中，.（1）当时，求和平面所成角；（2）证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积.

数学满分150分，考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以.2.已知集合，，若从集合、中各取一个数、，则为整数的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：基本事件总数，利用列举法求出为整数包含的基本事件有个，再利用古典概率模型的概率计算公式即可求解.解答过程：已知集合，，若从集合、中各取一个数、，基本事件总数，为整数包含的基本事件有，共有个，故为整数的概率为.故选：C.方法提示：本题主要考查了古典概率模型的概率计算公式以及列举法求基本事件个数.属于较易题.3.若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，体积为，则它的侧面积为（

）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件，结合圆台的体积公式求出圆台的高，进而求出母线，再求出侧面积.解答过程：令圆台的高为，依题意，，解得，于是圆台的母线，所以圆台的侧面积.故选：D4.已知向量，，若，则（）A.3 B.5 C. D.答案：B解析：思路：先根据结合平面向量的数量积的坐标表示求出，进而再根据模的坐标表示求解即可.解答过程：因为，，所以，又，所以，解得，则，故．故选：B5.设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用指数函数，对数函数的单调性确定a，b，c的范围，再比较大小.解答过程：因为，，，所以故选：D方法提示：本题主要考查指数，对数比较大小，还考查了指数函数，对数函数的单调性，属于基础题.6.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（）A.， B.，C.， D.，，，答案：C解析：解答过程：A：直线可能平行于平面、在平面内或垂直平面，无法确定.B：平行平面，与垂直的直线可在面内，无法确定.C：若一条直线垂直于一个平面，则与这条垂线平行的直线垂直该平面，成立.D：缺少相交的条件，若，可平行于平面或在平面内，不能推出.7.记的内角所对的边分别为．若的面积为，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，变形得，且，由，则，显然不可能为直角，因为，得，即，由是三角形内角，则.8.若函数在上单调，则实数的最大值为（

）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据单调区间求得，然后分，和，结合正弦函数单调性讨论即可得解.解答过程：由函数在上单调可知，得，所以，所以，当

时，，函数

在该区间不单调，故舍去，因此只需考虑

的情况，因为，所以，当时，由正弦函数性质可知，要使在上单调，则，所以即；当时，要使在上单调，则，所以即.综上，的最大值为.故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则下列命题为真命题的有（）A.的虚部为B.C.D.若是关于的方程的一个根，则答案：ABD解析：思路：求得复数的虚部与模可判断AB，求得，可判断C；由已知可得，可求得判断D.解答过程：对于A：由，可得复数的虚部为，故A正确；对于B：，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：因为是关于的方程的一个根，所以，所以，所以，所以，解得，所以，故D正确；故选：ABD.10.下列命题中，正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.“至少有一个x，使成立”是全称量词命题C.“，”是假命题D.“”是“”的必要不充分条件答案：ACD解析：思路：根据特称命题的否定判断A，根据全称命题及特称命题定义判断B，根据全称命题及特称命题的真假判断C，利用充分条件和必要条件的定义即可判断.解答过程：命题“”的否定是“”，A选项正确；“至少有一个，使成立”是特称量词命题，B选项错误；当时，，，C选项正确；对于D，若，不妨取，则不成立，若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确；11.已知圆锥SO（O是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为4，底面半径为3．若P，Q为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（）A.圆锥SO的侧面积为 B.面积的最大值为C.三棱锥体积的最大值为 D.圆锥SO的内切球的表面积为答案：ACD解析：思路：A选项，圆锥的侧面展开图为扇形，母线为扇形半径，底面圆周长为扇形弧长，据此可得圆锥的侧面积；B选项，利用三角形的面积公式可知，当时，三角形面积最大，可判断选项；C选项，利用三棱锥等体积转换，可得当面时，三棱锥体积最大，可判断选项C；D选项，求出内切圆半径即可.解答过程：A选项，因底面半径为3，则底面圆周长为，母线长为4，则侧面积为.故A正确；B选项，由母线长为4，半径为3，可得高为，设是底面圆的一条直径，则，即是钝角，又，则存在点，当时，，三角形面积的最大值为，故B错误；C选项，，当面时，，故C正确；D选项，设内切求球心为，半径为，过作，则，，则与相似，则，即，所以内切求表面积为，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.高一年级有男生500人，女生400人，小华想估计高一学生的平均身高，按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，抽取的样本容量为90，则在男生中需抽取___________人．答案：50解析：思路：利用分层随机抽样的等比例抽取性质，先计算抽样比，再代入男生总人数求解抽取人数即可.解答过程：由题意可知，高一年级总人数为，在分层随机抽样中，抽样比为样本容量与总体容量的比值，即，计算男生抽取人数可得.13.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________．答案：解析：思路：根据投影向量公式求解即可.解答过程：已知，，所以，，所以向量在向量上的投影向量为.14.如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则三棱锥的内切球的体积是_______．答案：解析：思路：折叠后、、两两垂直，利用等体积法求出内切球半径，进而计算体积.解答过程：由题意可知，折叠前，折叠后、、三点重合于点，所以，，，即、、两两互相垂直，由正方形边长为，、分别为中点，可得：

，，，三棱锥的体积为：

，在中，，，，

所以为等腰三角形，底边上的高，所以，又

，

，

，设三棱锥的内切球半径为，由等体积法可知，即，解得，所以内切球的体积为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知向量，．（1）求；（2）已知，且，求向量与向量的夹角．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）由向量线性运算的坐标运算和向量模的坐标运算，求；（2）由，有，解得，利用向量数量积和向量的模求向量与向量的夹角．（1）由向量，，得，所以．（2）由，，得，解得，由，得，所以，又，所以，所以向量与向量的夹角为．16.某校高一年级进行数学单元测试（满分120分），随机抽取了50名学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值，并估计这50名学生成绩的中位数；（2）从这两组成绩中分别选2名和4名学生，再从这6名学生中随机抽取2人，求所抽取的2人恰好都在这组的概率．答案：（1），中位数为（2）解析：思路：（1）由频率分布直方图的意义和中位数的意义求解即可；（2）利用枚举法和古典概型概率公式可求得所抽取的2人恰好都在这组的概率．（1）由题意得，解得；在频率分布直方图中前两组频率和为，第三组频率为，所以中位数在第三组，设中位数为，则中位数为；（2）记在这一组内选的2名学生为，在这一组内选的4名学生为，从6人中任取2人有共15种选法，其中抽取的2人恰好都在有共6种选法，所以所抽取的2人恰好都在这组的概率为．17.已知函数的一段图象过点，如图所示．（1）求函数的表达式；（2）若，，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先求出函数的周期，即可得的值，再根据函数在处取最大值，可求得的值，最后再代入，求解即可；（2）由题意可得，结合的范围，可得，由同角的平方关系可得，由求解即可.（1）由图可知，函数的最小正周期为，则，由图可得，在处取最大值，即，解得，因为，所以，又因为函数的图象经过点，所以，解得，即函数的表达式为．（2）因为，所以，即，又因为，所以，由，所以，所以，即．18.已知a，b，c分别为的三个内角，，的对边，且．（1）证明：为钝角三角形；（2）若，且的面积为，求的周长．答案：（1）由正弦定理得：，即，，，代入已知条件得：，由三角形内角和定理得：，代入上式得：，化简得：；在中，，两边同时除以得：，由辅助角公式得：，即，因为，所以，所以，即，所以为钝角三角形．（2）解析：思路：（1）使用正弦定理边化角，两角和的正弦公式与辅助角公式求解；（2）使用三角形面积公式与余弦定理求解.（1）略（2）由三角形面积公式得：，代入得：，解得；由余弦定理得：，代入，，得：，所以，即，又因为，所以，所以的周长为．19.如图所示正四棱台，其中，.（1）当时，求和平面所成角；（2）证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积.答案：（1）（2）连接、交于,连接、交于,如图,上下底面为正方形,由正棱台性质,可得,且,所以四边形为平行四边形,所以，因为平面,平