2026-2027学年广西柳州市柳州地区民族高级中学高三上学期自主训练（一）数学试卷（含答案）

/数学总分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.集合，，则（）A. B. C. D.2.已知函数，求的值（）A.2 B.5 C.3 D.13.函数的图象大致为（）A. B.C. D.4.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A.18种 B.27种 C.36种 D.54种5.函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.在东营市“河海交汇，湿地油城”主题展示活动中，主办方从全市精选多处具有地方特色的旅游景点，并划分为“滨海赶海”“城市休闲”“玩水乐园”“人文景区”四大主题板块，甲乙两位游客各自随机选择一个主题体验，事件：甲和乙至少一人选择“玩水乐园”，事件：甲和乙选择的主题不同，则（）A. B. C. D.7.设，，，则（）A. B. C. D.8.已知函数为定义在上的偶函数，，且，则下列选项不正确的是（）A. B.的图象关于点对称C.以为周期的函数 D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列运算中正确的是（）A. B.C. D.10.下列说法正确的是（）A.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件B.抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则C.某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，一定会有1700粒种子发芽D.数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为2711.已知函数，则（）A.是的极小值点B.有三个不同零点C.的对称中心是D.若过点存在3条直线与曲线相切，则实数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知二项式，其展开式中项的系数为__________.13.函数在时的值域是______________．14.已知函数，则函数的零点个数是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.已知全集，集合，.（1）当时，求；（2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.16.已知函数满足.（1）求的解析式；（2）用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域.17.2019年5月，重庆市育才中学开展了“最美教室”文化布置评比活动，工作人员随机抽取了16间教室进行量化评估，其中评分不低于9分的教室评为优秀，以下表格记录了它们的评分情况：分数段教室间数1384（1）现从16间教室中随机抽取3间，求至多有1间优秀的概率；（2）以这16间教室的评分数据估计全校教室的布置情况，若从全校所有教室中任选3间，记表示抽到优秀的教室间数，求的分布列.18.吉林文旅部门统计了某景点在2026年2月至6月的旅游收入y（单位：万元），得到以下数据：月份x23456旅游收入y1012111220

（1）根据表中所给数据，用相关系数r判断（r的结果保留2位小数）是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？（当时，认为线性相关性较强），若可以，求出y关于x的线性回归方程；若不可以，请说明理由；（2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请直接填写下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”．

喜欢不喜欢总计男

50女

30

总计60

参考公式：相关系数，参考数据：线性回归方程：，其中，，其中．临界值表：0.010.0050.0016.6357.87910.82819.已知函数（其中为常数，且）.（1）若是奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，判断的单调性，并解关于的不等式.

数学总分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求解一元二次不等式，结合确定集合的元素，再根据交集定义计算.

解答过程：首先求解一元二次不等式，因式分解可得，因此不等式的解集为，由于（正整数集），因此集合，已知，根据交集的定义，取两个集合的公共元素，可得.2.已知函数，求的值（）A.2 B.5 C.3 D.1答案：B解析：解答过程：，．3.函数的图象大致为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项.解答过程：令，其定义域为，关于原点对称.因为，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C；又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增，所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确.4.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A.18种 B.27种 C.36种 D.54种答案：A解析：思路：先将6张卡片分为3组，再将3组不同卡片放入3个不同的信封即可.解答过程：6张卡片平均分成3组且1，2的卡片同组有种方法，再将3组卡片放入3个不同的信封中有种方法，所以将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种方法.5.函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解.解答过程：当时，在上单调递增，符合题意，则；当时，由函数在上是增函数，得且，解得，所以实数的取值范围是.故选：D6.在东营市“河海交汇，湿地油城”主题展示活动中，主办方从全市精选多处具有地方特色的旅游景点，并划分为“滨海赶海”“城市休闲”“玩水乐园”“人文景区”四大主题板块，甲乙两位游客各自随机选择一个主题体验，事件：甲和乙至少一人选择“玩水乐园”，事件：甲和乙选择的主题不同，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：本题考查条件概率的计算，通过计数事件A、事件AB包含的基本事件数，结合条件概率公式求解即可.解答过程：甲乙各自从4个主题中随机选择1个，共有种等可能的基本事件。事件的对立事件为“甲乙都不选择‘玩水乐园’”，此时每人有3种可选主题，共种基本事件，因此，表示“至少一人选玩水乐园且两人选择的主题不同”，分两类：①甲选玩水乐园、乙选其他主题，共3种；②乙选玩水乐园、甲选其他主题，共3种，因此，根据古典概型下的条件概率公式，代入得.7.设，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，由，得，由，得，所以最大；，因为，由基本不等式得，所以，所以.8.已知函数为定义在上的偶函数，，且，则下列选项不正确的是（）A. B.的图象关于点对称C.以为周期的函数 D.答案：D解析：思路：令，求出可判断A；利用和得出可判断B正确；利用周期函数的定义和求出周期可判断C；赋值法求出，结合周期可判断D.解答过程：因为函数为定义在上的偶函数，所以，，对于A，令，可得，因为，可得，故A正确；对于B，因为，所以，可得，从而，又因为，可得，所以，可得，所以的图象关于点对称，故B正确；对于C，因为，所以，所以，可得，所以有，所以以6为周期的函数，故C正确；对于D，，，令可得，可得，令可得，可得，令可得，可得，令可得，可得，所以，所以，故D错误.故选：D.方法提示：关键点点睛：适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键，求解抽象函数问题，要有扎实的基础知识和较强的抽象思维和逻辑推理能力.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列运算中正确的是（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：根据换底公式即可判断A；根据指数幂的运算即可判断BC；根据指数与对数的运算即可判断D.解答过程：对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：BD.10.下列说法正确的是（）A.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件B.抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则C.某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，一定会有1700粒种子发芽D.数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27答案：ABD解析：解答过程：任选2名同学包含“两名男生”，“两名女生”以及“一男一女”，则“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故A正确；对于B，由题意得，得到，，故B正确；某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，不一定会有1700粒种子发芽，故C错误；数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为，方差为，故D正确.11.已知函数，则（）A.是的极小值点B.有三个不同零点C.的对称中心是D.若过点存在3条直线与曲线相切，则实数答案：ACD解析：思路：求导分析单调性可判断A；求导分析单调性再求出各极值点后可判断B；求二阶导，令二阶导为零可求对称中心，进而判断C；求解切点处的切线方程，将经过的点代入，利用方程的根即可判断D.解答过程：，，令，解得或，当或时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在处取得极大值，在处取得极小值，A正确；计算，，进而作出图像，故有两个不同零点，B错误，，令，解得，，所以的对称中心是，C正确；对于D，设切点横坐标为，切点坐标为过点且与相切的直线的斜率为，由点斜式，切线方程为，该切线过点，将代入切线方程得：，过点存在3条直线与曲线相切，故，化简得有三个解，令，令，解得或，当或时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且极大值为，极小值为，所以，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知二项式，其展开式中项的系数为__________.答案：10解析：思路：根据二项式定理写出通项，利用赋值法，可得答案.解答过程：二项式展开式通项为，令，则，所以，故展开式中项的系数为10.故答案为.13.函数在时的值域是______________．答案：解析：思路：利用指数函数性质，结合二次函数求出值域即得.解答过程：当时，，函数，显然当，即时，，当，即时，，所以所求值域是.故14.已知函数，则函数的零点个数是__________.答案：7解析：思路：由可得或，作出图形，结合图形即可求解.解答过程：由题意，令，解得或.当时，，开口向下，对称轴为，，；当时，，，函数在单调递减，在单调递增.作出的大致图象如下，由图可知，直线与图象有3个交点；直线与图象有4个交点.所以函数的零点个数是7个.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.已知全集，集合，.（1）当时，求；（2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）解指数不等式化简集合，再根据交集的定义计算可得；（2）依题意可得真包含于，再分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.（1）由，即，解得，所以，当时，所以（2）若“”是“”成立的充分不必要条件，可得真包含于，因为，，①当时，，解得；②当时，故或，解得或，即；综合①②.16.已知函数满足.（1）求的解析式；（2）用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域.答案：（1）（2）证明：设，则，因为，，所以，即在上单调递减，又，，故值域为.解析：思路：（1）根据换元法计算求解即可；（2）根据函数单调性的定义证明单调性，进而可得值域.（1）由，令，则，则有，即；（2）略17.2019年5月，重庆市育才中学开展了“最美教室”文化布置评比活动，工作人员随机抽取了16间教室进行量化评估，其中评分不低于9分的教室评为优秀，以下表格记录了它们的评分情况：分数段教室间数1384（1）现从16间教室中随机抽取3间，求至多有1间优秀的概率；（2）以这16间教室的评分数据估计全校教室的布置情况，若从全校所有教室中任选3间，记表示抽到优秀的教室间数，求的分布列.答案：（1）；（2）分布列答案见解析.解析：思路：（1）设表示所抽取的3间教室中有间教室优秀，至多有1间优秀为事件，根据互斥事件的和的概率公式求解；（2）由题意表示抽到优秀的教室间数服从二项分布，根据二项分布求解即可.解答过程：（1）设表示所抽取的3间教室中有间教室优秀，抽取的3间教室中至多有1间优秀为事件，则.（2）由题表数据可知，从16间教室中任选1间是优秀的概率为，由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以的分布列为0123方法提示：关键点点睛：互斥事件A、B的和（并）的概率公式,根据题意能够确定随机变量是快速解决分布列问题的关键.18.吉林文旅部门统计了某景点在2026年2月至6月的旅游收入y（单位：万元），得到以下数据：月份x23456旅游收入y1012111220

（1）根据表中所给数据，用相关系数r判断（r的结果保留2位小数）是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？（当时，认为线性相关性较强），若可以，求出y关于x的线性回归方程；若不可以，请说明理由；（2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请直接填写下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”．

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