2026-2027学年贵州省遵义市汇川区周林高级中学高二上学期开学考试数学试卷（含答案）

/数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.设复数，则的虚部是（

）A.1 B. C.-1 D.-3.在中，角所对的边分别是，若，则的面积为（）A. B. C.1 D.4.已知向量，，若//，则的值是A. B.0C.1 D.25.函数的定义域是（）A. B.C. D.6.若，则（）A. B. C. D.7.在中，为边上一点，与交于点，若，则（）A. B. C. D.8.设函数则满足的的取值范围（）A.（-1，+∞） B.（1，＋∞） C.） D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分.9.方程在复数集C的两个根分别为：，，则（）A. B. C. D.10.已知，且，，则（）A. B.C. D.11.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把这段文字写成公式，即现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（）A.周长为 B.三个内角，，满足C.外接圆直径为 D.中线的长为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.12.若为偶函数，且，则的值为______．13.已知正数满足：，则的最小值为________．14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，E为边上的动点，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.从某中学随机调查了1000名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，，，，，，.（1）求该样本数据的平均数.（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；（2）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取4名学生，求恰好有1人课外阅读时间超过8小时的概率16.已知，，且与夹角为．（1）求在上的投影向量；（2）求与的夹角．17.已知函数（，且），且．（1）求的值；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．18.设函数，（1）求函数的最小正周期；（2）若函数在是增函数，直接写出实数的最大值；（3）设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围.19.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记为的面积，且.（1）证明：；（2）若，求；（3）求的取值范围.

数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据一元二次不等式化简集合,即可由集合的交运算求解.解答过程：由得，所以，故选：C2.设复数，则的虚部是（

）A.1 B. C.-1 D.-答案：C解析：思路：结合复数的四则运算，计算z，得到虚部，即可．解答过程：,所以z的虚部为-1，故选C．方法提示：本道题考查了复数的运算，关键化简复数z，难度较容易．3.在中，角所对的边分别是，若，则的面积为（）A. B. C.1 D.答案：B解析：思路：利用正弦定理面积公式计算即可得到答案.解答过程：由题知.故选：B方法提示：本题主要考查正弦定理的面积公式，属于简单题.4.已知向量，，若//，则的值是A. B.0C.1 D.2答案：D解析：思路：利用两向量平行，列出方程即可解出.解答过程：因为//，所以，解得，故选D．方法提示：本题考查了平行向量的性质，较为简单．5.函数的定义域是（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：要使函数有意义，则，即，所以函数的定义域为．6.若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，故，两边平方得，解得．7.在中，为边上一点，与交于点，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据向量的线性运算，结合图象，利用作为基底，表示，根据共线定理的推论，建立方程，可得答案.解答过程：由题意作图如下：由，则，所以，由共线，则，由，则，所以，整理可得，由共线，则，解得，即，由，则，所以.故选：B.8.设函数则满足的的取值范围（）A.（-1，+∞） B.（1，＋∞） C.） D.答案：D解析：思路：首先判断的奇偶性和单调性，由此化简不等式求得不等式的解集.解答过程：的定义域为，，当时，，，当时，，，所以为上的奇函数，当时，为增函数，所以在上为增函数.由得，即，所以不等式的解集为故选：D方法提示：本小题主要考查函数奇偶性和单调性，属于中档题.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分.9.方程在复数集C的两个根分别为：，，则（）A. B. C. D.答案：BD解析：思路：根据求根公式求出，再根据复数模的公式及复数运算法则，对选项进行逐一判断.解答过程：方程，判别式，故方程的根为.不妨取，，选项A：，故A错；选项B：，，；故B对.选项C：，，故C错.选项D：，故D对.故选：BD.10.已知，且，，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：考查三角恒等变换的核心知识点，选项A确定范围后由同角三角函数平方关系即可算出；选项B和C把正切的条件转化为正弦余弦的等量关系，即可判断；选项D首先算出，通过判断角的范围即可判断.解答过程：对于A：已知，则，则，A正确；对于B：已知，则，即，由选项A可知，，将可得，则，B错误；对于C：因，则，C正确；对于D：，，则，D正确.11.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把这段文字写成公式，即现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（）A.周长为 B.三个内角，，满足C.外接圆直径为 D.中线的长为答案：AC解析：思路：利用正弦定理角化边可得三边比例关系，代入三角形面积公式可求得三边长，由此得到三角形周长，知正确；利用余弦定理求得，知正确；由正弦定理可求得外接圆直径长，知正确；由正弦定理先求出再得出，由余弦定理可得出中线的长，知错误.解答过程：由正弦定理可得：设，，，解得：所以，，的周长为，故正确；由余弦定理得：由，得又，即，故不正确；由正弦定理知外接圆直径为，故正确；由正弦定理可得，可得又，则在中角最小，所以角为锐角所以在中，所以，故错误.故选：三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.12.若为偶函数，且，则的值为______．答案：或解析：解答过程：为偶函数，，，或.13.已知正数满足：，则的最小值为________．答案：9解析：思路：将转化为，再由展开后利用基本不等式可求出的最小值.解答过程：,,当且仅当即时取等号．故答案为.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，E为边上的动点，则的最小值为______.答案：##解析：思路：由条件式，利用正弦定理结合三角恒等变换求得，进而得到，，，取的中点，结合极化恒等式来处理.解答过程：由和正弦定理，得，因为，所以，可得，则，即，又，则，故，即，又，则，，所以，取的中点，则，由图知，当时，最小，最小值为，所以的最小值为.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.从某中学随机调查了1000名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，，，，，，.（1）求该样本数据的平均数.（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；（2）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取4名学生，求恰好有1人课外阅读时间超过8小时的概率答案：（1）7.3（2）0.3456解析：思路：（1）利用频率和为1，求出课外阅读时间在区间上的频率，再利用频率分布直方图平均数的求法求解即可；（2）结合（1）中结论，求得阅读时间在区间，，的频率和，即可得某一学生课外阅读时间超过8小时的概率，根据二项分布，求得从该校学生中随机抽取4名学生，恰好有1人课外阅读时间超过8小时的概率.（1）依题意，结合频率分布直方图，知课外阅读时间在区间上的频率为所以该样本数据的平均数为.（2）由（1）知课外阅读时间在区间上的频率为，以频率代替概率，得该校某一学生课外阅读时间超过8小时的概率为.从该校学生中随机抽取4名学生，记其中课外阅读时间超过8小时的人数为，则.所以恰有1人课外阅读时间超过8小时的概率为.16.已知，，且与夹角为．（1）求在上的投影向量；（2）求与的夹角．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用投影向量的定义可求得在上的投影向量；（2）利用平面向量的数量积的运算性质求出、的值，可求得的值，再结合平面向量夹角的取值范围即可得出答案.（1）由投影向量的定义可知，在上的投影向量为.（2）因为，，所以，又因为，所以，即与的夹角为.17.已知函数（，且），且．（1）求的值；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用结合对数的运算性质，求得的值.（2）根据函数的单调性化简，结合函数的单调性、值域，求得的取值范围.（1）由得，则，因为，且，解得.（2）在单调递增，由可得：对任意恒成立，对任意恒成立等价于对任意恒成立，，令，因为，则，在时为增函数，∴，∴，又∵，∴.综上所述：实数的取值范围是.18.设函数，（1）求函数的最小正周期；（2）若函数在是增函数，直接写出实数的最大值；（3）设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先利用两角和差公式以及辅助角公式化简，再利用周期公式计算即可；（2）先求出的单调增区间，再令即可；（3）先求出的范围，再结合正弦函数的图象可得.（1），所以的最小正周期为.（2）令，则，令，则；令，则；令，则；若函数在是增函数，则，则的最大值为.（3），因为，则当时，，结合正弦函数的图象可知，为使在上恰有两个零点，则，解得，则的取值范围为.19.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记为的面积，且.（1）证明：；（2）若，求；（3）求的取值范围.答案：（