2026-2027学年贵州省北京师范大学贵阳附属中学高二上学期第一次月考数学试卷（含答案）

/2026-2027学年贵州省北京师范大学贵阳附属中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,3}，B={2,3,5}，则∁A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} C.{2,4} D.{4}2.若复数z满足z(1+2i)=3−4i(其中i为虚数单位)，则zA.2i B.−2i C.2 3.函数f(x)=A.{x|1<x<2} B.{x|124.已知sin(θ−π2A.−79 B.19 C.55.已知x>−1，则x+4A.3 B.4 C.5 D.66.若A(1,0,1)、B(0,3,0)、C(1,1,2)，则点A到直线BCA.12 B.22 C.7.在空间直角坐标系中，经过点P0(x0,y0,z0)，且以u=(a,b,c)(abcA.33 B.63 C.8.已知空间向量OA=(1,0,0)，OB=(0,1,0)，OC=(0,0,1)，向量OP=xOA+A.67 B.42121 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下面四个结论正确的是(

)A.若空间向量a、b满足|a|=|b|，则a=b

B.已知{a,b,c}是空间的一组基底，若m=a+c，则{a,b,m}也是空间的一组基底

C.对于空间向量a10.如图，正方体ABCD−A1B1CA.两条异面直线D1C和BC1所成的角为π4

B.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4

C.三棱柱AA1D11.已知函数f(x)=A.函数f(x−π4)为偶函数

B.曲线y=f(x)的对称轴为x=kπ，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为

13.如图，用X，Y，Z三种不同的元件并联连接成系统S，每个元件是否正常工作不受其他元件影响.当元件X，Y，Z中至少有一个正常工作时，系统S正常工作.已知元件X，Y，Z正常工作的概率分别为13，14，15，则系统S正常工作的概率为

．14.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是棱CC1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(a,3b)，n=(cosA,sinB)，且m//n．

16.(本小题15分)

已知空间中三点A(−2,1,3)，B(1,−2,0)，C(−1,−1,5)．

(1)求|AC|；

(2)求向量AB在向量AC上的投影向量的坐标；

(3)若点P(2,−1,m17.(本小题15分)

如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，DD1=4，点E，F分别是D1B，AD的中点．18.(本小题17分)

某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：

(1)求分数在[120,130)内的频率；

(2)估计本次考试的中位数；

(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．19.(本小题17分)

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，满足DE//BC且AE=2BE，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，M是A1D的中点，如图所示．

(1)求证：A1C⊥平面BCDE；

1.【正确答案】D

2.【正确答案】C

3.【正确答案】A

4.【正确答案】A

5.【正确答案】A

6.【正确答案】C

7.【正确答案】D

8.【正确答案】A

9.【正确答案】BC

10.【正确答案】BCD

11.【正确答案】AC

12.【正确答案】213.【正确答案】3514.【正确答案】4

15.【正确答案】π3

516.【正确答案】解：(1)AC=(1,−2,2)，故|AC|=12+(−2)2+22=3；

(2)易得AB=(3,−3,−3)，又AC=(1,−2,2)，

所以AB⋅AC=3，|AC|2=9，

则向量AB在向量AC上的投影向量为AB⋅AC|AC|217.【正确答案】解：(1)正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，且AD⊥DC，

分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,4)，DD1=(0,0,4)．

∵点E是D1B的中点，∴E(1,1,2)，∴CE=(1,−1,2)．

cos<CE,DD1>=84×6=63．

∴sin<CE,DD1>=1−cos2<CE18.【正确答案】解：(1)根据题意可得所求频率为1−(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1−0.7=0.3；

(2)由于图中前3个小矩形面积之和为0.4，

则设中位数x∈(120,130)，

则(x−120)×0.03=0.5−0.4，则x=3703，

所以中位数为3703；

(3)依题意，[110,120)分数段的人数为60×0.15=9(人)，

[120,130)分数段的人数为60×0.3=18(人)；

因为用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，

所以需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m，n；

在[120,130)分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；

设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A，

则基本事件有(m,n)，(m,a)，…，(m,d)，(n,a)，…，(n,d)，(a,b)，…，(c19.【正确答案】解：(1)证明：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，DE/​/BC，且BC⊥CD，

所以DE⊥CD，DE⊥AD，则折叠后，DE⊥A1D，DE⊥CD，

又A1D∩CD=D，A1D、CD⊂平面A1CD，

所以DE⊥平面A1CD，

因为A1C⊂平面A1CD，所以DE⊥A1C，

又因为A1C⊥CD，CD∩DE=D，CD、DE⊂平面BCDE，

所以A1C⊥平面BCDE．

(2)由(1)可知，A1C⊥平面BCDE，BC⊥CD，

以点C为坐标原点，CD、CB、CA1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

翻折前，在△ABC中，DE/​/BC，则ADCD=AEBE=2，则AD=2CD，

则DEBC=ADAC=23，则DE=23BC=2，CD=13AC=2，

翻折后，因为A1C⊥平面BCDE，CD⊂平面BCDE，则A1C⊥CD，

所以，A1D=4，CD=2，则A1C=A