2026-2027学年贵州省部分学校高三上学期8月月考数学试卷（含答案）

/数学满分150分，考试用时120分钟．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知全集，，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.3.已知不同的直线和不重合的平面，则使成立的一个充分条件可以是（）A. B.C. D.4.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位5.某班上午有5节课，现需安排数学课2节，语文课、英语课、物理课各1节，要求两节数学课相邻，语文课和英语课不相邻，则不同的排课方法共有（）A.6种 B.8种 C.12种 D.24种6.已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.7.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上异于原点的一点，点在轴正半轴上，且，，则四边形的面积是（）A. B. C. D.8.已知，则的最小值是（）A. B.－1 C.1 D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.给出以下26个数据：46.5，47.5，52.5，52.5，53.5，53.5，54.0，55.5，55.5，56.5，56.5，57.5，57.5，59.5，60.5，61.0，61.0，61.5，61.5，61.5，62.5，62.5，63.0，68.5，69.5，69.5对于以上所给的数据．下列选项正确的是（）A.中位数为57.5 B.极差为23C.众数为61.5 D.80％分位数为61.510.如图，在空间四边形中，分别是线段的中点，分别是线段上的动点且，则下列说法正确的是（）A.平面B.、、、四点共面，且平面C.若，则与的交点在直线上D.若平面，则11.已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在平面直角坐标系中，已知、、，则______．13.的展开式中，常数项为_______（用数字作答）．14.设直线系，其中．若正方形的四条边都在中的直线上，则该正方形的面积是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.为进一步提升学生思想认识，某中学开展“矢志百年初心，赓续青春力量”的团员知识竞赛活动．全校共有1000名学生参与了本次活动，根据他们的竞赛成绩，绘制了如图所示的统计图，其中竞赛成绩在的人数是成绩在的人数的3倍．现需要从成绩不低于80分的学生中按照分层抽样抽取6人作进一步了解．（1）抽取的这6人中，竞赛成绩在的学生分别是多少人？（2）从这6人中再随机选取3人，记选取的3人中成绩位于的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．16.在中，角、、的对边分别是．已知，．（1）求证：是钝角三角形；（2）求的面积的最大值．17.如图，已知三棱柱的侧面是长方形．底面是等腰直角三角形且是的中点．（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．18.已知椭圆的右顶点为，右焦点为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，斜率为的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆的方程；（2）若点在直线上，点是线段的中点，为坐标原点．若上存在点使得，求直线的斜率．（3）已知点是上的一点，若，当点到直线的距离最大时．求直线的方程．19.已知函数（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若对于任意，都有，求实数的取值范围；（3）若有三个零点，求实数的取值范围．

数学满分150分，考试用时120分钟．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知全集，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据集合描述法的概念，以及集合补集的计算方法，即可求解.解答过程：因为，由，解得，又因为，所以，因为，所以.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据共轭复数的性质及复数模的性质计算可得.解答过程：因为，又因为，所以，解得或（舍去），因此.3.已知不同的直线和不重合的平面，则使成立的一个充分条件可以是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：结合长方体模型分析判断各个选项的对错可得.解答过程：如图，在长方体中，选项A：记平面为平面，平面为平面，平面为平面，显然有，但不满足，所以A错误；选项B：记为直线，则满足，但不满足，所以B错误；选项C：记为直线，为直线，则满足，但不满足，所以C错误；选项D：由线面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行，所以D选项正确．4.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位答案：C解析：解答过程：由题，所以的图象可由的图象向左平移个单位得到.5.某班上午有5节课，现需安排数学课2节，语文课、英语课、物理课各1节，要求两节数学课相邻，语文课和英语课不相邻，则不同的排课方法共有（）A.6种 B.8种 C.12种 D.24种答案：C解析：解答过程：数学课相邻，采用捆绑法将其看为一个整体，将数学课整体与物理课全排列，共有种，且排列后形成3个空隙，语文课与英语课要求不相邻，从三个空隙中选两个排入，共有种，根据分步乘法计数原理，不同排列方法共有种．6.已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由函数是上的偶函数，得到，根据题意，画出函数和的图象，结合图象，分类讨论，即可得到不等式的解集.解答过程：因为是上的偶函数，所以，又因为在上单调递增，且，可得，画出和的图象，如图所示，当时，，，此时，不符合题意；当时，，，此时，符合题意；当时，，，此时，不符合题意；当时，，，此时，不符合题意；当时，，，此时，不符合题意；当时，，，此时，符合题意；当时，，，此时，不符合题意；当时，，，此时，不符合题意，综上可得，不等式的解集为.7.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上异于原点的一点，点在轴正半轴上，且，，则四边形的面积是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，利用的垂直平分线得到点的坐标，根据面积公式即可求解.解答过程：如图所示，由点在轴正半轴上且，可知点，由于抛物线的焦点为，则点，所以，则直线的斜率为，线段的中点为，所以的垂直平分线方程为，即，因为，所以点与点都在直线上，所以，所以，因此，又因为点是抛物线上异于原点的一点，联立得，所以，所以，所以四边形的面积为，故B正确．8.已知，则的最小值是（）A. B.－1 C.1 D.答案：D解析：思路：设，令，将二元最值转化为单一函数最值，再利用单调性求最小值.解答过程：设，则，，，令，则，由指数函数与反比例函数单调性易知在上单调递增，且，当时，，当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即的最小值是．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.给出以下26个数据：46.5，47.5，52.5，52.5，53.5，53.5，54.0，55.5，55.5，56.5，56.5，57.5，57.5，59.5，60.5，61.0，61.0，61.5，61.5，61.5，62.5，62.5，63.0，68.5，69.5，69.5对于以上所给的数据．下列选项正确的是（）A.中位数为57.5 B.极差为23C.众数为61.5 D.80％分位数为61.5答案：BC解析：解答过程：由题可知，中位数为，所以A错误；极差为，故B正确；众数为61.5，故C正确；又，因此分位数为第21个数，其值为62.5，故D错误．10.如图，在空间四边形中，分别是线段的中点，分别是线段上的动点且，则下列说法正确的是（）A.平面B.、、、四点共面，且平面C.若，则与的交点在直线上D.若平面，则答案：BCD解析：思路：先根据得出，若可判断A；根据线面平行的判定定理判断B；证明三线交于一点判断C；利用线面平行的性质判断D.解答过程：对于A，由，可知，因此，所以，又由为中点可知，，故，因此点四点共面，当时，直线相交，此时与平交，故A错误；对于B，因为，平面，平面，所以平面，故B正确；对于C，当时，，因为，所以与相交，设，则，因为平面，平面，所以平面平面，即点在直线上，故C正确；对于D，因为平面，平面，平面平面，所以，同理可得，，则，又，所以四边形为平行四边形，则，因为，所以，故D正确．11.已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.的最大值为答案：ABC解析：思路：根据题意，求得，可判定A，B都正确；化简，结合裂项法求和，求得，进而判定C正确，D不正确.解答过程：因为，所以，两式相减，可得，即，其中，令，可得，适合上式，所以数列的通项公式为，所以B正确；当时，可得，所以A正确；又由，所以，所以C正确；由，当时，的最小值为，D不正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在平面直角坐标系中，已知、、，则______．答案：解析：解答过程：由题得，，所以.13.的展开式中，常数项为_______（用数字作答）．答案：解析：解答过程：展开式的通项为，若，解得（舍去）；若，解得，所以的展开式中，常数项为．14.设直线系，其中．若正方形的四条边都在中的直线上，则该正方形的面积是______．答案：4解析：思路：由点到直线距离公式可得，原点到该直线系中任意一条直线的距离恒为1，因此这组直线是单位圆的全部切线.正方形的四条边均为该圆的切线，说明单位圆是正方形的内切圆，由此便可求出正方形的边长和面积.解答过程：由直线方程，可知点在直线上，因此直线与圆有公共点；又原点到直线的距离为，可知直线系中的每一条直线与圆相切；故直线系为单位圆的所有切线组成；所以当正方形的四条边都在直线系内时，可知单位圆为正方形的内切圆，所以正方形边长为2，其面积为4．方法提示：识别直线系为圆的切线是突破口，利用内切圆半径快速得到正方形边长.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.为进一步提升学生思想认识，某中学开展“矢志百年初心，赓续青春力量”的团员知识竞赛活动．全校共有1000名学生参与了本次活动，根据他们的竞赛成绩，绘制了如图所示的统计图，其中竞赛成绩在的人数是成绩在的人数的3倍．现需要从成绩不低于80分的学生中按照分层抽样抽取6人作进一步了解．（1）抽取的这6人中，竞赛成绩在的学生分别是多少人？（2）从这6人中再随机选取3人，记选取的3人中成绩位于的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．答案：（1）成绩在中取4人，成绩在的取2人（2）解析：123（1）由频数分布图及已知条件可知，成绩位于和［90，100］的学生共有200人，则成绩位于的学生只有50人，位于的学生有100人．设竞赛成绩在，的学生中应分别抽取人，则，解得，竞赛成绩在的学生取4人，成绩在的学生取2人．（2）由（1）可知，随机变量的可能取值为，，，，所以，随机变量的分布列为：123所以．16.在中，角、、的对边分别是．已知，．（1）求证：是钝角三角形；（2）求的面积的最大值．答案：（1）根据余弦定理，所以角是钝角，所以是钝角三角形．（2）2解析：（1）略（2），因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的面积的最大值为2．17.如图，已知三棱柱的侧面是长方形．底面是等腰直角三角形且是的中点．（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）如图，设为的中点，连接，因为四边形是矩形且为的中点，所以，，所以，则．又因为，所以．又因为平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）通过证明，证得平面．（2）利用等体积法求得点到平面的距离，进而求得直线与平面所成角的正弦值．（1）略（2）连接，由（1）知平面，平面，，因为为的中点，所以．又，所以，所以，所以，所以，所以．由题意可知，设点到平面的距离为，根据，解得．记直线与平面所成角为，所以．18.已知椭圆的右顶点为，右焦点为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，斜率为的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆的方程；（2）若点在直线上，点是线段的中点，为坐标原点．若上存在点使得，求直线的斜率．（3）已知点是上的一点，若，当点到直线的距离最大时．求直线的方程．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据已知条件求得，进而求得椭圆的方程.（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，利用根与系数关系以及求得点的坐标，将点坐标代入椭圆方程，由此求得的值.（3）先求得点的坐标，设出直线的方程并与椭圆方程联立，利用根与系数关系以及求得直线所过定点的坐标，结合点到直线的距离最大求得直线的方程.（1）由题可知，，又椭圆四个顶点所组成的菱形面积为，解得，因此椭圆方程为．（2）因为椭圆方程为，所以，设