2026-2027学年河北省雄安新区部分校高二上学期开学考试数学试卷（含答案）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，，则（）．A.3 B.4 C.5 D.2.下列几何体中，棱的条数最多的是（）．A.四棱锥 B.三棱柱 C.四棱台 D.四面体3.在中，点D在边BC上，且，则（）．A. B.C. D.4.某人投篮两次，下列事件与事件“至少投中一次”互为对立的是（）．A.至多投中一次 B.投中两次C.只有一次投中 D.两次都没有投中5.已知，均是非零向量，，，与的夹角为，则（）．A. B. C. D.6.某古镇景区推出沉浸式“穿越体验”活动，共设有四个角色，分为两个类型，每个类型各两个角色．类型角色侠客类剑客、刀客文人类诗人、画师每位游客从中随机选取两个角色进行体验，则所选两个角色恰好为两个类型的概率为（）．A. B. C. D.7.如图，在正四棱柱中，，，点E在棱上，，过点的平面与直线交于点F，则（）．A.1 B.2 C. D.8.某一摇杆机械装置的简化示意图如图所示，其中为定点，是动点，，，，，则的取值范围为（）．A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，，下列结论正确的是（）．A.若，则 B.若，则C.若A，B，C三点共线，则 D.若，则10.如图，圆柱的母线，底面圆直径，点B在底面圆的圆周上，E是BD的中点，，下列结论正确的是（）．A.B.C.若该圆柱内有一个球体，则该球体半径的最大值为4D.该圆柱的外接球的表面积为11.已知，，，，都是互不相同的自然数，且这组数据的平均数为7，下列结论正确的是（）．A.这组数据最多有4个数据大于7B.这组数据最多有4个数据小于7C.若这组数据的标准差为2，则D.若这组数据的标准差为2，则这组数据的极差为6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某研究所为开展海洋生物多样性调查，利用深海探测器在不同深度层采集到生物样本共计6000份，按采集深度分为三层：分层样本量/份浅海层3000中海层2000深海层1000现采用分层随机抽样的方法从全部样本中抽取300份进行DNA序列分析，则抽取的样本中浅海层的样本份数为__________．13.在中，，，，P为AB上任意一点，则的最小值是__________．14.如图，在正三棱柱中，D是BC的中点，，，若，则与平面所成角的范围为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数z满足．（1）求；（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．16.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，分别为，的中点．（1）证明：平面．（2）设四棱锥的棱长均为2．（ⅰ）求直线与直线所成角的大小；（ⅱ）求四棱锥的体积．17.为进一步增强学生的消防安全、居家安全、饮食安全等安全意识，某校举办了以“知识守护校园，安全伴我成长”为主题的知识竞赛．根据该校某年级①班、②班的竞赛成绩得到如下频率分布直方图：（1）分别估计该年级①班、②班竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）根据竞赛成绩，将学生成绩分成A，B，C三个等级：竞赛成绩高于80分60分到80分低于60分成绩等级ABC以频率估计概率，从该年级①班、②班各随机抽一人，求从①班抽的人的成绩等级高于从②班抽的人的成绩等级的概率．18.在中，D是BC上的点，且，AD平分．（1）求；（2）若，的面积为，求BC．19.在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点（整点即横纵坐标都是整数的点）列：，，，…，与：，，，…，，其中，若同时满足①两点列的起点和终点分别相同，②线段，其中，2，3，…，，则称与互为正交点列．（1）求：，，的正交点列；（2）判断：，，，是否存在正交点列，并说明理由；（3）证明：存在无正交点列的有序整点列．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，，则（）．A.3 B.4 C.5 D.答案：C解析：解答过程：．2.下列几何体中，棱的条数最多的是（）．A.四棱锥 B.三棱柱 C.四棱台 D.四面体答案：C解析：解答过程：由题意得四棱锥有8条棱，三棱柱有9条棱，四棱台有12条棱，四面体有6条棱，则棱的条数最多的是四棱台，故C正确.3.在中，点D在边BC上，且，则（）．A. B.C. D.答案：A解析：思路：使用平面向量的线性运算求解.解答过程：．4.某人投篮两次，下列事件与事件“至少投中一次”互为对立的是（）．A.至多投中一次 B.投中两次C.只有一次投中 D.两次都没有投中答案：D解析：解答过程：连续投篮两次投中的情况如下：①两次都投中；②只有一次投中；③两次都没有投中，所以与事件“至少投中一次”互为对立事件的是两次都没有投中.5.已知，均是非零向量，，，与的夹角为，则（）．A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，化简得：，解得，（舍去）.6.某古镇景区推出沉浸式“穿越体验”活动，共设有四个角色，分为两个类型，每个类型各两个角色．类型角色侠客类剑客、刀客文人类诗人、画师每位游客从中随机选取两个角色进行体验，则所选两个角色恰好为两个类型的概率为（）．A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：每位游客从中随机选取两个角色进行体验，样本空间中的样本点总数为6，如下：剑客、刀客；剑客、诗人；剑客、画师；刀客、诗人；刀客、画师；诗人、画师；所选两个角色恰好为两个类型的样本点有4个，故所求概率为．7.如图，在正四棱柱中，，，点E在棱上，，过点的平面与直线交于点F，则（）．A.1 B.2 C. D.答案：B解析：解答过程：如图，作出符合题意的图形，因为面面，面与两平交于，所以，同理可得，得到四边形是平行四边形，得到，而，可得，故，由题意得，则，故B正确.8.某一摇杆机械装置的简化示意图如图所示，其中为定点，是动点，，，，，则的取值范围为（）．A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题可知为定点，是动点，结合三角形性质可得，在中．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，，下列结论正确的是（）．A.若，则 B.若，则C.若A，B，C三点共线，则 D.若，则答案：AC解析：解答过程：若，则，所以，A正确；若，则，所以，解得，B错误；若A，B，C三点共线，则与共线，所以，解得，C正确；因为，所以，则，解得，D错误．10.如图，圆柱的母线，底面圆直径，点B在底面圆的圆周上，E是BD的中点，，下列结论正确的是（）．A.B.C.若该圆柱内有一个球体，则该球体半径的最大值为4D.该圆柱的外接球的表面积为答案：ABD解析：思路：根据线面垂直的判定定理及性质定理判断AB；根据圆柱的结构确定内切球的半径判断C；根据圆柱性质求解外接球的半径，代入球的表面积公式即可求解判断D.解答过程：因为平面ABC，平面ABC，所以．因为AC为圆柱底面圆的直径，所以．又因为，平面ABD，所以平面ABD．因为平面ABD，所以，A正确．因为，且E是BD的中点，所以．因为，平面BCD，所以平面BCD．因为平面BCD，所以，B正确．若该圆柱内有一个球体，则该球体半径的最大值为圆柱高的一半为2，C错误．该圆柱的外接球的半径为，表面积为，D正确．11.已知，，，，都是互不相同的自然数，且这组数据的平均数为7，下列结论正确的是（）．A.这组数据最多有4个数据大于7B.这组数据最多有4个数据小于7C.若这组数据的标准差为2，则D.若这组数据的标准差为2，则这组数据的极差为6答案：BCD解析：思路：通过举例判断AB；利用平均数和方差公式计算判断C；根据方差公式及极差的概念即可判断D.解答过程：由题意，，，所以这组数据最多有3个数据大于7，A错误．若5个数据都小于7，则平均数不为7，而0，1，2，3，29的平均数为7，所以这组数据最多有4个数据小于7，B正确．平均数，设方差为，则，解得，C正确．，要使得5个平方数之和为20，且满足题意，这5个平方数只能为9，1，0，1，9，即这组数据为4，6，7，8，10，故这组数据的极差为，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某研究所为开展海洋生物多样性调查，利用深海探测器在不同深度层采集到生物样本共计6000份，按采集深度分为三层：分层样本量/份浅海层3000中海层2000深海层1000现采用分层随机抽样的方法从全部样本中抽取300份进行DNA序列分析，则抽取的样本中浅海层的样本份数为__________．答案：150解析：解答过程：由题意抽样比为抽取的样本中浅海层的样本份数为．13.在中，，，，P为AB上任意一点，则的最小值是__________．答案：##解析：思路：根据平面向量数量积的运算性质，结合垂线段最短性质进行求解即可.解答过程：设的中点为，连接，则．因为，所以．所以的最小值是.14.如图，在正三棱柱中，D是BC的中点，，，若，则与平面所成角的范围为__________．答案：解析：思路：取的中点E，连接，则，根据面面垂直的性质定理可得平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面，因此过作平面的垂线，垂足在两平面的交线上，所以与平面所成的角即直线与所成的角．在矩形中，可求得，由此得，，从而求得直线与所成角的范围.解答过程：取的中点E，连接，则.连接，则，且，所以四边形为平行四边形.又正三棱柱中，平面，且平面，所以平面平面.因为平面，且平面平面，所以平面.因为平面，所以平面平面，因为平面，所以，所以四边形为矩形．设．因为平面平面，平面平面，所以过作平面的垂线，垂足在上，所以与平面所成的角即直线与AE所成的角．在矩形中，．因为，所以，所以，，所以直线与所成角的范围为，即与平面所成角的范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数z满足．（1）求；（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．答案：（1）（2）．解析：（1）因为，所以，则．（2）．因为复数在复平面内对应的点位于第二象限，所以，解得．故m的取值范围为．16.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，分别为，的中点．（1）证明：平面．（2）设四棱锥的棱长均为2．（ⅰ）求直线与直线所成角的大小；（ⅱ）求四棱锥的体积．答案：（1）方法一：如图1所示，取的中点，连接，.在中，为中位线，所以.因为平面，平面，所以平面．在中，为中位线，所以．在正方形中，，所以．因为平面，平面，所以平面．因为平面，平面，，所以平面平面．因为平面，所以平面．方法二：如图2所示，取的中点，连接，．在中，为中位线，所以，．在正方形中，，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）（ⅰ）；（ⅱ）．解析：思路：（1）题：考查线面平行的证明.借助三角形中位线构造空间平行线，有两种解题路径：一是证两组相交直线分别平行于目标平面，由面面平行推导出线面平行；二是构造平行四边形得到线线平行，进一步证明线面平行.（2）（ⅰ）题：考查异面直线所成角.利用平行关系平移异面直线，把空间异面角转化为相交直线夹角，再通过解三角形（余弦定理）计算角度大小.（2）（ⅱ）题：考查计算正四棱锥体积.先确定正四棱锥底面中心，利用勾股定理求出锥体的高，再求出底面积，利用锥体积公式求解.（1）略.（2）方法一：（ⅰ）如图3所示，因为，所以（或其补角）为直线与直线所成的角．连接，.记，连接，过点作，垂足为，过点作，垂足为．因为四棱锥的棱长均为2，所以面，得，所以，因为为的中点，所以为的中点.在正方形中，所以，所以为的中点，得，,，，，，．又，，所以直线与直线所成角的大小为．（ⅱ）四棱锥的体积为.方法二：（ⅰ）如图2所示，在正方形中，，结合（1）可得，为直线与直线所成的角．由为等边三角形，易得，所以直线与直线所成角的大小为．（ⅱ）如图4所示，连接，，记，连接，则为四棱锥的高，且，故四棱锥的体积为．方法提示：方法归纳：（1）题：证明线面平行常用两种思路：①线线平行线面平行；②面面平行线面平行；三角形中位线、平行四边形是立体几何构造平行线常用的工具.（2）（ⅰ）题：异面直线所成角解题步骤：平移直线、定位夹角、证明该角为异面直线所成角、解三角形求值；异面直线所成角取值范围为.（2）（ⅱ）题：棱锥体积公式；正四棱锥的高是顶点向底面正方形中心所作垂线，用侧棱、底面半对角线，勾股定理求高.易错归纳：（1）题：证明不能遗漏关键条件：直线平面、直线平面；使用面面平行判定定理时，不能漏写两条直线相交.（2）（ⅰ）题：若解出三角形内角为钝角，要取其补角作为异面直线所成角.（2）（ⅱ）题：误把侧棱长直接当作棱锥的高代入计算.17.为进一步增强学生的消防安全、居家安全、饮食安全等安全意识，某校举办了以“知识守护校园，安全伴我成长”为主题的知识竞赛．根据该校某年级①班、②班的竞赛成绩得到如下频率分布直方图：（1）分别估计该年级①班、②班竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）根据竞赛成绩，将学生成绩分成A，B，C三个等级：竞赛成绩高于80分60分到80分低于60分成绩等级ABC以频率估计概率，从该年级①班、②班各随机抽一人，求从①班抽的人的成绩等级高于从②班抽的人的成绩等级的概率．答案：（1）65.5；75（2）0.1725解析：思路：（1）根据频率分布直方图计算各班平均分；（2）按照成绩等级讨论，根据独立事件乘法概率公式及互斥事件加法概率公式求解即可.（1）①班竞赛成绩的平均分为．②班竞赛成绩的平均分为．（2）从①班抽的人的成绩等级为A，B，C的概率分别为0.15，0.5，0.35．从②班抽的人的成绩等级为A，B，C的概率分别为0.35，0.5，0.15．从①班抽的人的成绩等级高于从②班抽的人的成绩等级的情况分两种：从①班抽的人的成绩等级为B，从②班抽的人的成绩等级为C，其概率为；从①班抽的人的成绩等级为A，从②班抽的人的成绩等级为B或C，其概率为．所以从①班抽的人的成绩等级高于从②班抽的人的成绩等级的概率为．18.在中，D是BC上的点，且，AD平分．（1）求；（2）若，的面积为，求BC．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）利用以及面积公式得出，再利用正弦定理求出；（2）在和中利用余弦定理得