2026-2027学年河北省保定市部分学校高一上学期9月质量检测数学试卷（含解析）（含答案）

/数学满分150分，考试时间120分钟本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第二章第2节．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关系正确的是（）A. B. C. D.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.已知集合，，则（）A. B. C. D.4.若实数，满足，则（）A. B.C. D.5.已知集合，，则满足的实数的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.36.学校统计某班45名学生参加合唱、编程、漫画3个社团的情况，每名学生最多只能参加2个社团.统计结果显示：有16名学生参加了合唱社团，有17名学生参加了编程社团，有18名学生参加了漫画社团，其中有10名学生同时参加了两个社团，则三个社团都不参加的学生人数是（）A.6 B.5 C.4 D.37.如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加40升的燃油；第二种方案：每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（）A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算C.两种方案一样划算 D.无法确定采用哪种方案划算二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知命题，，命题，，则（）A.是真命题 B.是假命题C.和都是真命题 D.和都是假命题10.已知集合，，且，则的值可以为（）A. B. C.0 D.11.已知，，，则下列说法正确的有（）A.的最小值为；B.的最大值为；C.的最大值为；D.的最小值为.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，则的真子集个数为______．13.已知，，，则的取值范围是_____．14.已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知全集，集合，．（1）求，；（2）求，．16.已知集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．17.如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）.（1）写出关于的表达式；（2）当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用.18.（1）已知，，且．（ⅰ）求的最大值；（ⅱ）求的最小值；（2）求证：若，，，则，并指出等号成立的条件．19.已知正整数集的一个非空子集，其中且，（）.若对任意的，，都有，则称集合具有性质“跨度k”，其中.（1）若，，，集合具有性质“跨度4”，求集合中元素的最小值；（2）若集合具有性质“跨度36”，求证：（ⅰ）；（ⅱ）.（3）若集合具有性质“跨度36”，求集合中元素个数的最大值，并说明理由.

数学满分150分，考试时间120分钟本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第二章第2节．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关系正确的是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由元素与集合的关系以及集合与集合的关系逐一判断，即可得到结果.解答过程：，故A错误；，故B正确；由集合和集合间关系，，故C错误；，故D错误；故选：B2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：A解析：思路：根据存在量词命题的否定知识进行判断即可.解答过程：存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“，”的否定是“，”；故选：A3.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据交集的定义即可求解.解答过程：因为，，所以．故选:B．4.若实数，满足，则（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：因为实数，满足，则，可得，，故AB错误；对于选项C：例如，，则，故C错误；对于选项D：由基本不等式可得，因为，故等号不可取，故,故D正确.5.已知集合，，则满足的实数的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：A解析：思路：根据题意，利用集合间的关系，列出方程，结合集合元素的互异性，即可求解.解答过程：由集合和，且，当时，即，解得，此时集合不满足集合元素的互异性，舍去；当时，即，此时方程无实数解，不符合题意，舍去；当时，即，解得或，此时均不满足集合中元素的互异性，舍去；综上可得，实数的个数为0.6.学校统计某班45名学生参加合唱、编程、漫画3个社团的情况，每名学生最多只能参加2个社团.统计结果显示：有16名学生参加了合唱社团，有17名学生参加了编程社团，有18名学生参加了漫画社团，其中有10名学生同时参加了两个社团，则三个社团都不参加的学生人数是（）A.6 B.5 C.4 D.3答案：C解析：思路：设集合“参加了合唱社团的学生”，“参加了编程社团的学生”，“参加了漫画社团的学生”，结合容斥原理，列式计算，即可求解.解答过程：设集合“参加了合唱社团的学生”，“参加了编程社团的学生”，“参加了漫画社团的学生”，根据题意，可得，，参加社团的总人数为，因为有10名学生同时参加了两个社团，且没有学生同时参加三个社团，可得，所以，所以三个社团都不参加的学生人数为人.故选：C7.如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：根据条件，结合充分、必要条件的定义，利用新定义分析计算，即可得答案.解答过程：若，，则有，，，，所以，所以是的充分条件；反之，若，比如，，则有，根据定义，，，，即不是必要条件．故“”是“”的充分不必要条件．故选：A8.由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加40升的燃油；第二种方案：每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（）A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算C.两种方案一样划算 D.无法确定采用哪种方案划算答案：B解析：思路：设两次油价，分别求出两种加油方案的均价，用作差法比较大小.解答过程：设第一次油价为元/升，第二次油价为元/升，，第一种方案的均价是，第二种方案的均价是，由，所以第二种方案的均价更低，更划算.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知命题，，命题，，则（）A.是真命题 B.是假命题C.和都是真命题 D.和都是假命题答案：AD解析：思路：先判断原命题的真假，再得出命题的否定的真假即可判断.解答过程：命题，，当时，，故命题为假命题，则，，为真命题；命题，，当时，，故命题为真命题，则，，为假命题，故A，D正确，B，C错误.故选:AD.10.已知集合，，且，则的值可以为（）A. B. C.0 D.答案：ACD解析：思路：根据已知条件，判断集合间的包含关系，进而根据集合中的元素情况进行分类讨论，求出参数范围.解答过程：由，可得，由，得；当时，，符合条件；当时，，解得；当时，，解得；故选：ACD.11.已知，，，则下列说法正确的有（）A.的最小值为；B.的最大值为；C.的最大值为；D.的最小值为.答案：BCD解析：思路：对A直接用基本不等式可得；对B由得，再用基本不等式可得；对C先由基本不等式可得，再由不等式性质可得；对D先将变形为，再结合，并利用基本不等式可得.解答过程：已知，结合基本不等式逐一判断选项：选项A

：由基本不等式，当且仅当时取等号，因此的最大值为，没有最小值（可趋近于），A错误；选项B

：由得，又因为，当且仅当，即时等号成立，B正确；选项C：

因为当且仅当时取等号，因此的最大值为，C正确；选项D

：因为，又因为，，，所以，即，所以，当且仅当​时取等号，由得，即代入，得.因此当时，的最小值为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，则的真子集个数为______．答案：31解析：解答过程：，所以的元素有5个，所以的真子集个数为.13.已知，，，则的取值范围是_____．答案：解析：思路：利用待定系数法结合不等式的基本性质可求得的取值范围.解答过程：设，所以，解得，故，因为，，所以，由不等式的基本性质可得，即，故的取值范围是.故答案为.14.已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______．答案：解析：解答过程：因为，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，若命题：“，恒成立”是真命题，则，可得，所以实数的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知全集，集合，．（1）求，；（2）求，．答案：（1），；（2），或解析：思路：（1）先化简集合，再根据交集、并集的定义及利用数轴运算可得；（2）先求集合的补集，再根据交集、并集的定义及利用数轴运算可得.（1）因为集合，又集合，所以，．（2）因为全集，，，所以或，或，所以或，或或或.16.已知集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．答案：（1）或（2）解析：思路：（1）根据，可按照与分别讨论参数范围即可；（2）根据“”是“”的必要不充分条件得到是的真子集，进而建立不等关系得到的取值范围即可.（1）由题意知，若，当时，则，解得；当时，则或解得或．综上，实数的取值范围是．（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，所以且等号不能同时成立，解得，即实数的取值范围是．17.如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）.（1）写出关于的表达式；（2）当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用.答案：（1）（2）当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元解析：思路：（1）根据已知条件列式得出修建新墙费用和维修旧墙费用即可得出总费用；（2）结合（1）应用基本不等式计算结合取等条件计算求解.（1）依题意，新墙总长度为，修建新墙费用为元，维修旧墙费用为元，因此，所以修建此矩形场地的总费用.（2）由（1）知，当时，，当且仅当，即时，，所以当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元.18.（1）已知，，且．（ⅰ）求的最大值；（ⅱ）求的最小值；（2）求证：若，，，则，并指出等号成立的条件．答案：（1）（i）1；（ii）；（2）证明：由基本不等式有，当且仅当时等号成立，同理可得，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，所以，所以，当且仅当时等号成立．解析：思路：（1）利用构造基本不等式的形式，利用“一正二定三相等”求解即可；（2）分别利用，，，得到不等关系，再利用不等式性质得到，最后验证等号成立条件即可.解答过程：（1）解：（ⅰ）因为，所以，令，，则，，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为1（ⅱ），当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为．（2）略19.已知正整数集的一个非空子集，其中且，（）.若对任意的，，都有，则称集合具有性质“跨度k”，其中.（1）若，，，集合具有性质“跨度4”，求集合中元素的最小值；（2）若集合具有性质“跨度36”，求证：（ⅰ）；（ⅱ）.（3）若集合具有性质“跨度36”，求集合中元素个数的最大值，并说明理由.答案：（1）最小值为12；（2）（ⅰ）根据性质“跨度36”的定义可得.因为，均为正整数，不等式两边同除，得，得证.（ⅱ）根据性质“跨度36”的定义可得，，因为，