2026-2027学年河北博野中学等校高一上学期创新班（0.5-3班）摸底测试数学试卷（含答案）

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题p：，，则命题p的否定为（）A.， B.，C.， D.，2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.函数的定义域为（）A. B.C. D.4.已知函数则（）A.4 B.8 C.16 D.325.已知是定义域为的奇函数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中（m）为安全距离，v（m/s）为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（）A.116 B.118 C.119 D.1227.设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（）A.0是任何数环的元素 B.集合是一个数环C.集合是一个数环 D.若集合为数环，则也为数环8.已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.10.下列说法错误的是（）A.函数与函数表示同一个函数B.若是一次函数，且，则C.函数的图象与轴最多有一个交点D.函数在上是单调递减函数11.已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意的，都有，则下列说法正确的是（）A.B.是偶函数C.若，则D.若当时，，则在上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.集合有___________个子集．13.若函数在上单调递减，则的取值范围是___________.14.已知二次函数满足有两个相等实根，且不等式的解集为．当时，在上的取值范围为，则______，______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集，集合，.（1）若，求和；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.16.设为正实数，且.（1）求的最小值；（2）若，求的取值范围.17.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求a，b的值；（2）判断在上的单调性并证明；（3）解关于x的不等式.18.已知二次函数.（1）若关于x的不等式的解集为，求a和b的值；（2）若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围；（3）解关于x的不等式.19.已知函数．（1）若，在上单调递增，求a的取值范围；（2）若，设函数在上的最小值为，求的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意，存在，使得恒成立，求实数m的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题p：，，则命题p的否定为（）A.， B.，C.， D.，答案：D解析：思路：利用特称命题的否定形式分析即可.解答过程：易知，的否定形式为，.故选：D2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求得集合A、B，根据交集运算的概念，即可得答案.解答过程：由，得，所以集合，又集合，所以.故选：B3.函数的定义域为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据分母不为且偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可.解答过程：对于函数，则，解得且，所以函数的定义域为.故选：A4.已知函数则（）A.4 B.8 C.16 D.32答案：C解析：思路：根据分段函数求值计算即可.解答过程：．故选：C.5.已知是定义域为的奇函数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据奇函数的定义判断必要性，举反例判断充分性.解答过程：因为是定义域为的奇函数，若，例如，则对任意均有成立，可知不一定成立，所以充分性不成立；若，即，则，即，所以必要性成立；综上所述：“”是“”的必要不充分条件.故选：B.6.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中（m）为安全距离，v（m/s）为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（）A.116 B.118 C.119 D.122答案：A解析：解答过程：由题知，当且仅当，即时取“＝”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为116．7.设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（）A.0是任何数环的元素 B.集合是一个数环C.集合是一个数环 D.若集合为数环，则也为数环答案：C解析：解答过程：由数环的定义可知，设，则，则，，故0是任何数环的元素，A正确；偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以是一个数环，B正确；设，则，因为不是整数，所以，所以集合不是数环，C错误；设，因为为数环，则，又为数环，则，所以，D正确．故选C．8.已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用函数的奇偶性与对称性构造新函数，判定其单调性计算即可.解答过程：因为，，所以，即，令，则有，则在上单调递增.又是定义在R上的偶函数，，所以是定义在R上的偶函数.由，可得，即，由的单调性和奇偶性，可得，解得或.故选:B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.答案：BCD解析：思路：通过举反例排除A项；利用作差法比较判断B项；利用不等式的性质判断C，D两项.解答过程：对于A，当时，，故A错误；对于B，因，则由可得，故B正确；对于C，因为，所以，又，所以，故C正确；对于D，因为，所以，所以，故D正确．故选:BCD．10.下列说法错误的是（）A.函数与函数表示同一个函数B.若是一次函数，且，则C.函数的图象与轴最多有一个交点D.函数在上是单调递减函数答案：ABD解析：思路：根据相等函数的概念判断A；利用待定系数法求出函数的解析式，即可判断B；根据函数的定义即可判断C；根据单调区间的定义即可判断D.解答过程：A：对于，有，解得，则的定义域为，对于，有，解得或，则的定义域为，即与的定义域不一致，所以这两个函数不表示同一个函数，故A错误；B：设，则，又，所以，解得或，所以或，故B错误；C：由函数的定义知，的图象与轴最多有一个交点，故C正确；D：函数在上是单调递减函数，故D错误.故选：ABD11.已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意的，都有，则下列说法正确的是（）A.B.是偶函数C.若，则D.若当时，，则在上单调递增答案：ACD解析：思路：赋值法求解判断AC，通过赋值得，然后利用奇函数的定义判断B，由题设可得，结合时，，利用函数单调性的定义即可判断D.解答过程：因为，所以令，得，故A正确；令，得，所以，令，得，所以，令，得，又，所以，又因为定义域为R，所以函数是奇函数，故B错误；令，得，令，，得，所以，故C正确；当时，由，可得，又，所以，任取，所以，又，所以，，故，所以在上单调递增，故D正确.故选：ACD方法提示：关键点点睛：本题的关键是根据条件等式，合理给变量赋值，以及赋变量，再根据单调性的定义及奇偶函数的定义判断即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.集合有___________个子集．答案：8解析：思路：先确定集合中元素的个数，再确定集合的子集个数.解答过程：因为，有3个元素，所以集合有个子集.故813.若函数在上单调递减，则的取值范围是___________.答案：解析：思路：根据一次函数、反比例函数的性质，根据的单调性，分析计算，即可得答案.解答过程：当时，为一次函数，因为单调递减，所以，当时，为反比例函数，因为单调递减，所以，所以由题意可知，解得，即的取值范围是.故14.已知二次函数满足有两个相等实根，且不等式的解集为．当时，在上的取值范围为，则______，______．答案：①.②.1解析：思路：先根据题意求出二次函数的解析式，结合其在上的最大值为1推得，从而判断函数在区间上的单调性，列出方程，利用同构思想，得出是方程的两个根，求解方程即得.解答过程：由一元二次不等式的解集为可知，二次函数的图象过原点，且2是方程的一个根．设，又由，即有两个相等实根，则解得，，故，其对称轴为直线．且当时，.因在上的取值范围为，可得，所以，则在上单调递减，则，，即是方程的两个根，由，得，所以，，解得，，，又，故，．故；1.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集，集合，.（1）若，求和；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.答案：（1）；或（2）解析：思路：（1）当时，写出集合，再根据集合运算计算即可；（2）由题意知，集合是集合的真子集，分和两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，求解即可.（1）当时，集合，因为，所以，或，或；（2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，当时，，此不等式无解；当时，，解得；综上所述：若“”是“”的必要不充分条件，实数的取值范围为.16.设为正实数，且.（1）求的最小值；（2）若，求的取值范围.答案：（1）9（2）解析：思路：（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案.（2）基本不等式得，，根据条件得，整理计算，即可得答案.（1）由，得，所以当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.（2）由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，解得，又为正实数，所以，即的取值范围是.17.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求a，b的值；（2）判断在上的单调性并证明；（3）解关于x的不等式.答案：（1），；（2）函数在上单调递增.任取，且，则，由，得且，则，即，所以在上单调递增.（3）.解析：思路：（1）根据给定的函数，利用奇函数的定义及性质求解.（2）判断单调性，再利用增函数的定义推理证明.（3）利用奇函数性质及日记账性求解不等式.（1）由函数是定义在上的奇函数，得，则，即是定义在上的奇函数，于是，此时，，满足题意，所以，.（2）略（3）由函数为奇函数，且在上单调递增，得在上单调递增，不等式，则，解得，所以原不等式的解集为.18.已知二次函数.（1）若关于x的不等式的解集为，求a和b的值；（2）若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围；（3）解关于x的不等式.答案：（1）；（2）；（3）时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}；时，不等式的解集为{或}.解析：思路：（1）利用三个二次关系结合韦达定理计算参数即可；（2）利用二次函数的性质计算即可;（3）含着参数分类讨论计算即可.（1）由题意可知的两个解为，所以，所以；（2）因为恒成立，则，即，解之得；（3）原不等式等价于，若，则；若，则；若，则；若，则或；若，则或；综上所述：时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}；时，不等式的解集为{或}.19.已知函数．（1）若，在上单调递增，求a的取值范围；（2）若，设函数在上的最小值为，求的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意，存在，使得恒成立，求实数m的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由条件可得出的解析式，讨论的范围后结合二次函数的性质可知答案；（2）先根据去绝对值法可得出的解析式，结合二次函数的性质分段讨论出在上的最小值；（3）构造，问题等价于恒成立，建立不等式组可求出实数m的取值范围．（1）因为，所以时，，此时，当时，，显然在上单调递减