2026-2027学年河北省唐县第一中学高二上学期开学数学试卷（含答案）

/数学满分150分考试时间120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若，则（）A.1 B. C. D.52.若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（）A.或 B.C. D.与斜交3.阿基米德（公元前287年-公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（）A. B. C. D.4.数据，，，，，，，，的第三四分位数为（）A. B.C. D.5.已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（）A.为 B.为的中点C.的轨迹长度为 D.为的中点6.若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（）A. B.C. D.7.已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（）A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.88.如图，在四棱锥中，侧面是边长为6的正三角形，侧面与矩形所在平面垂直，分别为侧棱的中点，为棱上一点，且，.若平面与交于点，则与底面所成角的正切值为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知，都是复数，下列选项中正确的有（）A.若，则或B.若，则是实数C.D.若，则10.如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设设，，，则下列等式成立的是（

）A. B.C. D.11.在棱长为1的正方体中，点P在正方形内部运动（不包含边界），满足，下列命题中正确的是（）A.在点运动的过程中，三棱锥的体积有最大值为B.在点运动的过程中，存在无数个点，使得平面截正方体的截面是等腰梯形C.在点运动的过程中，不存在点，使得直线平面D.取的中点，当点运动的过程中，一定有三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.直线的倾斜角是__________.13.在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____14.在锐角中，角的对边分别为，，则的最小值为_____．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知，，是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且，求；（2）若，且，求与所成夹角的余弦值．16.如图，在四棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，在线段上，且．（1）若平面，求的值；（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．17.已知的内角，，的对边分别为，，，，．（1）求；（2）若为线段的中点，的面积为，求线段的长．18.某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取人，将其成绩（百分制）分成、、、六组，得到频率分布直方图（如图），请完成下列问题：（1）求频率分布直方图中的值，并估计众数；（2）已知落在区间的样本平均分是，方差是；落在区间的样本平均分是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均分和方差．19.如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后．（1）求证：平面平面；（2）若，求平面与平面夹角的正切值；（3）若，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：当球的半径最小时，点在平面内．

数学满分150分考试时间120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若，则（）A.1 B. C. D.5答案：B解析：解答过程：由题可得，故.2.若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（）A.或 B.C. D.与斜交答案：A解析：解答过程：由，得，所以或.3.阿基米德（公元前287年-公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，由圆柱与球的体积公式求解即可.解答过程：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以.4.数据，，，，，，，，的第三四分位数为（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：计算第三四分位数（即75%分位数）的位置：，由于i不是整数，所以取大于i的最小整数对应的位置的数作为所求百分位数，这里大于6.75的最小整数是7，故数据，，，，，，，，的第三四分位数为第7个数据8.5.已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（）A.为 B.为的中点C.的轨迹长度为 D.为的中点答案：D解析：思路：取中点、中点，证得平面平面，得到点在正方形内的轨迹即可逐一分析选项.解答过程：取中点、中点，连接、、，则，又分别是棱，的中点，则，所以，平面，平面，所以平面，，，则四边形为平行四边形，有，平面，平面，所以平面，平面，，故平面平面，因此满足平面的点在正方形内的轨迹是线段，该线段长度为；分析选项：选项A：若，该点不在轨迹上，不满足条件；选项B：若为中点，该点不在轨迹上，不满足条件；选项C：的轨迹长度为不能得到平面，不满足充分性；选项D：若为中点，则是线段的端点，必然满足平面，但满足平面的点可以是线段上的任意点，不一定是中点，因此是充分非必要条件.6.若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由基底的定义逐一判断即可.解答过程：，故A不是；不存在，使得，故B是；，故C不是；，故D不是.7.已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（）A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8答案：A解析：解答过程：因为，是互斥事件，所以，则，因为与是对立事件，所以.8.如图，在四棱锥中，侧面是边长为6的正三角形，侧面与矩形所在平面垂直，分别为侧棱的中点，为棱上一点，且，.若平面与交于点，则与底面所成角的正切值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：连接，因为分别为侧棱的中点，所以，根据线面平行的判定，得出平面，再由线面平行的性质得出，继而有，根据线段的比例关系可确定，取的中点，连接，再由面面垂直和线面角的定义找出为与底面所成角，解三角形，可得选项.解答过程：连接，因为分别为侧棱的中点，所以，又∵平面，平面，∴平面，又平面平面，∴，所以，.因为，所以.取的中点，连接，则.因为，所以，又侧面底面，所以底面，所以为与底面所成的角.因为，所以.故选：C.方法提示：本题考查线面角的计算，关键在于根据线面的关系，找出线面角的平面角，属于中档题.二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知，都是复数，下列选项中正确的有（）A.若，则或B.若，则是实数C.D.若，则答案：ABC解析：思路：对A根据复数模的性质判断可得；对B由共轭复数的定义及复数的加法运算可得；对C由共轭复数的定义及运算可得；对D通过举反例判断可得.解答过程：选项A：复数的模满足，若，则，所以或，即或，故A正确.选项B：设（），由得，则，为实数，故B正确.选项C：设（），左边，右边，左右两边相等，故C正确.选项D：因为只有两个实数才能比较大小，若仅说明差为正实数，但可能含虚部，比如，，但两个虚数和无法比较大小，故D错误.10.如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设设，，，则下列等式成立的是（

）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：利用空间向量基本定理和向量的加减法逐一计算即可判断．解答过程：由向量的平行四边形法则，得，故A错误；由向量的平行四边形法则和三角形法则，得，故B正确；因为点在线段上，且，所以，所以，故C错误；，故D正确．11.在棱长为1的正方体中，点P在正方形内部运动（不包含边界），满足，下列命题中正确的是（）A.在点运动的过程中，三棱锥的体积有最大值为B.在点运动的过程中，存在无数个点，使得平面截正方体的截面是等腰梯形C.在点运动的过程中，不存在点，使得直线平面D.取的中点，当点运动的过程中，一定有答案：BCD解析：思路：由可知，点在以为直径且位于正方形内部的半圆弧上．分别利用三棱锥体积公式、截面构造、线面垂直的判定以及三角形两边之和大于等于第三边判断各选项．解答过程：设为的中点，为正方形的中心．由，可知点在以为圆心、为半径的半圆弧上，如图所示．对于A，因为平面，所以三棱锥可看作以为底面、为高的三棱锥．点到直线的距离不超过半圆的半径，故.因此.当与点重合时等号成立，所以该三棱锥体积的最大值为，A错误．对于B，当在弧上运动（不含端点）时，直线与交于点，且在线段内部．在上取点，使，如图所示．这样的点有无数个．因为，且，所以.从而在中有．又且，所以四边形为平行四边形，从而，故．因为点在线段内部，所以．由可知，故.因此，即．又因为，所以.因为且，所以.因此．又点、、三点共线，所以平面．由于且平面，故平面，从而平面．因此平面截正方体所得截面为四边形．该四边形满足、且，所以四边形为等腰梯形．因此存在无数个满足条件的点，B正确．对于C，假设存在点，使平面．因为平面，所以．又由题设．又平面，平面，且两直线都经过点．在同一平面内，经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所以直线与直线重合，即、、三点共线．在直角等腰三角形中，，所以点为斜边的中点，即点与点重合．于是且.因为平面，所以.若，则在中应有.但为正方体的体对角线，故,矛盾．所以不存在这样的点，C正确．对于D，设，．因为平面，且为的中点，所以，从而.同理，因为平面，所以.于是.因为各式均为正，要证明,两边平方后，只需证明.又因为两边均为非负数，平方后有.所以.由两点之间线段最短，.因此.下面说明等号不能成立．若等号成立，则必须同时有和．由可知三点共线．又，所以在直角等腰三角形中，为斜边的中点，从而，这与矛盾．故,所以D正确．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.直线的倾斜角是__________.答案：解析：解答过程：由于直线的斜率，设其倾斜角为，则，又，所以.13.在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____答案：解析：思路：由空间向量的平行六面体法则可知，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，即为所求.解答过程：如下图所示：由空间向量数量积的定义可知，，，由空间向量的平行六面体法则可知，所以，故，即体对角线的长度为.14.在锐角中，角的对边分别为，，则的最小值为_____．答案：解析：思路：利用余弦定理、正弦定理结合三角恒等变换化简得出，利用正弦函数的单调性化简得出，代入结合诱导公式以及基本不等式求解即可．解答过程：由及余弦定理可得，整理可得，由正弦定理可得，因为，所以，因为，故，因为正弦函数在上为增函数，所以，故，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知，，是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且，求；（2）若，且，求与所成夹角的余弦值．答案：（1）（2）解析：（1）由，得，得，即，所以；（2）由，得，即，又因为，，所以，解得，则与所成夹角的余弦值为．16.如图，在四棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，在线段上，且．（1）若平面，求的值；（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）取的中点，由等腰直角三角形及两平面垂直的性质建立空间直角坐标系；第（1）问求出平面的法向量，利用平面求；（2）利用两平面的法向量求锐二面角的余弦值．（1）取的中点为．因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，所以，且．又因为平面平面，平面平面，平面，且，所以平面．由，且三点共线，得；又因为平面，所以．因此、与过点且平行于的直线两两垂直．以为坐标原点，以所在方向为轴正方向，以平行于的方向为轴正方向，以所在方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．由，，，，可得因为在线段上，且，所以，且因此于是设平面的一个法向量为．因为，，所以，．取，则，，则．因为平面，所以，即，解得．（2）由（1）可知，当时，平面的一个法向量可取．由所建空间直角坐标系可知，平面为坐标平面，所以可取平面的一个法向量．设平面与平面所成的锐二面角为．因为，，的模为，且两个平面的法向量夹角的锐角等于两平面所成的锐二面角，所以．故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．17.已知的内角，，的对边分别为，，，，．（1）求；（2）若为线段的中点，的面积为，求线段的长．答案：（1）（2）2解析：思路：（1）结合正弦定理化边为角后，可求得；（2）由余弦定理和正弦定理可得出关系，从而判断出是直角三角形，然后由三角形面积求得边长，再结合直角三角形的性质得结论.（1）因为，由正弦定理得．又，，则，．又，所以．（2）由（1）知，则由余弦定理，即．又，由正弦定理，则，所以．所以，即是直角三角形．则的面积，所以所以．18.某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取人，将其成绩（百分制）分成、、、六组，得到频率分布直方图（如图），请完成下列问题：（1）求频率分布直方图中的值，并估计众数；（2）已知落在区间的样本平均分是，方差是；落在区间的样本平均分是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均分和方差．答案：（1），众数为（2），解析：思路：（1）利用面积和为计算可得,根据频率分布直方图可知众数为的中点值;（2）先计算成绩在、内的人数，求出平均值，再由方差的计算可得.（1）由题意可得，解得.根据频率分布直方图可知众数为的中点值.（2）成绩在内的人数为，成绩在内的人数分别为，所以．设学生