2026-2027学年河北省邢台市部分高中高三上学期9月学情检测数学试卷（含答案）

/数学满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.若复数z满足，则（）A.1 B.5 C.7 D.253.已知，则向量的夹角为（）A. B. C. D.4.若函数为奇函数，则（）A. B.1 C. D.5.“”是“函数是奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.设，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.7.已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（）A. B. C. D.8.已知的三条边分别为，，，且，是方程的两个根，若，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.10.已知函数的图象关于直线对称，则（）A.的最小正周期为B.为奇函数C.在上单调递增D.在内恰有3个零点11.已知，则下列说法正确的是（）A.在定义域内单调递增B.的对称中心为C.若，则的最小值为D.已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则_______.13.已知不等式的解集为，则的最小值为_____．14.函数是定义在上的奇函数，且当时，，不等式的解集为____________；若不等式恒成立，则正实数的最小值为____________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，在处的切线与垂直，（1）求实数的值；（2）求在区间上的值域．16.已知函数（，，）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求．17.已知的内角，，的对边分别为，，，，．（1）求；（2）若为线段的中点，的面积为，求线段的长．18.已知函数，.（1）求在上的单调区间.（2）证明：在上存在最大值.（3）判断（2）中的是否也是在上的最大值，并说明你的理由.19.已知函数的定义域是D．对于，定义集合．（1）若，求；（2）对于集合A，若对任意都有，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；（3）若函数的定义域为，对任意,．试求b的取值范围，使得对于任意，都有．

数学满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：，故B正确．2.若复数z满足，则（）A.1 B.5 C.7 D.25答案：B解析：思路：利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．解答过程：由题意有，故．故选：B．3.已知，则向量的夹角为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据条件，将两侧同时平方，可得，代入夹角公式，即可得答案.解答过程：因为，所以，则，则，因为，所以，即向量的夹角为.4.若函数为奇函数，则（）A. B.1 C. D.答案：D解析：思路：根据奇函数的定义求解即可.解答过程：函数的定义域为.因为函数为奇函数，所以函数的定义域关于原点对称，所以，解得.当时，，定义域为.，故函数为奇函数.综上，.5.“”是“函数是奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：结合余弦函数性质及充分条件与必要条件定义判断即可得.解答过程：若，则，由为奇函数，故是奇函数，故“”是“函数是奇函数”的充分条件；若函数是奇函数，则，故“”不是“函数是奇函数”的必要条件；综上可得：“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件.6.设，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.解答过程：，，，，，，.故选：D.7.已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先由图象平移的对称性推出是奇函数，再推导得到函数周期为，最后将转化为已知区间的函数值计算即可。解答过程：因为的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，即函数为奇函数，所以，因为对，都有成立，所以，所以，所以函数的周期为，因为当时，，所以.8.已知的三条边分别为，，，且，是方程的两个根，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据给定条件，利用韦达定理及三角形性质求出的范围，再结合零点存在性定理逐项判断即可.解答过程：由，是方程的两个根，得，解得，由，得，此时，对于B，，则，B错误；对于C，由是的三条边，得，即，因此，C正确；对于A，取，得，A错误；对于D，令，函数在上单调递增，，，因此存在，使得，D错误.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：对于AB，利用不等式的性质分析判断即可，对于CD，利用作差法分析判断解答过程：A因为，，所以，，若，则，所以，即故A正确；

B.若，则，所以，即，故B正确；

C.若，则，所以，即，故C不正确；

D.因为，，所以，又，则，

所以，即故D正确．故选：ABD．10.已知函数的图象关于直线对称，则（）A.的最小正周期为B.为奇函数C.在上单调递增D.在内恰有3个零点答案：ABD解析：思路：由函数关于直线对称得到，则，根据三角函数性质逐项判断.解答过程：对于A：因为函数关于直线对称，所以，等价于，由得，即，所以，则，A正确；对于B：因为，所以是奇函数，B正确；对于C：由得，若，则单调递增，若，则单调递减，C错误；对于D：令，则，解得，由得，又，所以，即在内恰好有个零点，D正确；故选：ABD.11.已知，则下列说法正确的是（）A.在定义域内单调递增B.的对称中心为C.若，则的最小值为D.已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为答案：ABC解析：思路：A利用导函数判断单调性；B根据函数对称中心的性质建立方程求解；C根据对称性和单调性以及基本不等式求解；D.根据对称性和单调性以及韦达定理求出.解答过程：选项A，由题意的定义域为，因为恒成立，当且仅当时，所以在定义域内单调递增，A正确；选项B，设的对称中心为，由对称中心的定义可知对恒成立，代入整理得，令，解得，所以的对称中心为，B正确；选项C，因为，所以，则，即，因为，所以，等号成立时，C正确；选项D，因为为方程的两个不同根，所以，因为，所以，则，故，得，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则_______.答案：解析：解答过程：由题意得.13.已知不等式的解集为，则的最小值为_____．答案：解析：思路：由不等式解集结合韦达定理得和，然后由基本不等式求得的最小值.解答过程：由题意可知，，，，，当且仅当时，等号成立．故答案为.14.函数是定义在上的奇函数，且当时，，不等式的解集为____________；若不等式恒成立，则正实数的最小值为____________．答案：①.②.解析：思路：由奇函数的性质求出时的函数解析式，从而可求出不等式的解集，分和三种情况分别根据不等式恒成立计算求解即可.解答过程：设，则，所以，因为是定义在上的奇函数，所以，即，所以当时，，解得，当时，，解得，所以的解集为，，因为，所以，当时，，因为不等式恒成立，所以，即恒成立，所以，即；当时，，因为不等式恒成立，所以当，恒成立，即，即，所以；当时，，因为不等式恒成立，所以当，恒成立，即，即，所以；综上，所以，即正实数的最小值为；故；．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，在处的切线与垂直，（1）求实数的值；（2）求在区间上的值域．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用导数的几何意义求处的切线斜率，结合两直线垂直的斜率关系求解；（2）通过导数判断函数在上的单调性，比较极小值和端点值的大小得到值域.（1）函数的定义域为，对求导得，则在处的切线斜率，直线变形为，斜率为，由两直线垂直时斜率乘积为，得，解得.（2）由（1）得，求导并整理得，当时，，，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，因此在处取得区间内的最小值，计算端点值，，比较和的大小：，由于，故，即区间内最大值为，综上所述，在上的值域为.16.已知函数（，，）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求．答案：（1）（2）解析：（1）由题图可知，，，，则．又，，，解得，，由，可得，．（2）将的图象向左平移个单位，得到，再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，函数的最小正周期，则，，，，则，所以．17.已知的内角，，的对边分别为，，，，．（1）求；（2）若为线段的中点，的面积为，求线段的长．答案：（1）（2）2解析：思路：（1）结合正弦定理化边为角后，可求得；（2）由余弦定理和正弦定理可得出关系，从而判断出是直角三角形，然后由三角形面积求得边长，再结合直角三角形的性质得结论.（1）因为，由正弦定理得．又，，则，．又，所以．（2）由（1）知，则由余弦定理，即．又，由正弦定理，则，所以．所以，即是直角三角形．则的面积，所以所以．18.已知函数，.（1）求在上的单调区间.（2）证明：在上存在最大值.（3）判断（2）中的是否也是在上的最大值，并说明你的理由.答案：（1）函数在，上单调递减，在上单调递增.（2）因为，，所以.设，，则，再设，，则，当时，，所以在上单调递减，又，，所以唯一存在，使得当时，，进而，所以在上单调递增；当时，，进而；当时，，进而，所以在上单调递减.又因为，，所以，所以唯一存在，当时，，进而，所以在上单调递增；当时，，进而，所以在上单调递减.所以，当时，函数取得极大值，记为.（3）（2）中的不是在上的最大值．理由如下：设，当时，，则单调递减，所以，所以当时，，所以．当时，．当时，，所以存在，使得，故（2）中的不是在上的最大值．解析：思路：（1）求导，分段讨论导函数的符号，确定函数的单调性.（2）通过多次求导，分析函数在上的单调性，确定函数的极大值.（3）判断函数的符号，即可得出结论.（1）因为.当时，，所以，所以在上单调递减；当时，，所以，所以在上单调递增；当时，，所以，所以在上单调递增；当时，，所以，所以在上单调递减.又，，所以函数在，上单调递减，在上单调递增.（2）略（3）略19.已知函数的定义域是D．对于，定义集合．（1）若，求；（2）对于集合A，若对任意都有，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；（3）若函数的定义域为，对任意,．试求b的取值范围，使得对于任意，都有．答案：（1）（2）证明：必要性：因为是偶函数，所以任意，，对任意，若，即，则，所以，所以对任意，是对称集.充分性：若对任意，是对称集，因为对任意，，所以，即①，又，所以，即②.由①②得，对任意，，所以函数是偶函数.