2026-2027学年河南部分学校高二上学期质量检测（一）B卷数学试卷（含解析）（含答案）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.0° B.45° C.90° D.135°2.已知圆，则该圆的半径为（）A. B.6 C.9 D.133.函数的图象可由函数的图象经过怎样的平移而得到（）A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度4.已知点，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.5.已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（）A. B. C.2 D.6.若一个正四面体的体积为，则其表面积为（）A. B. C. D.7.已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设复数的共轭复数为，若，则（）A. B.C.一定是实数 D.可能是方程的根10.已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（）A.点A的坐标为B.当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为C.直线的方程可以是D.直线的方程可以是11.过直线上任意一点P作圆的两条切线，切点分别为，则（）A.可以是等边三角形 B.直线过定点C.四边形面积的最小值是 D.的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为_________．13.圆与圆的公共弦长为_________．14.已知，则__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的顶点分别为．（1）设的中点为，求中线所在直线的方程；（2）若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程．16.已知直线，圆．（1）若直线l恰好为圆C的切线，求圆C的半径；（2）设直线与轴的交点为，以为圆心，2为半径作圆，若过圆上一点能作圆的两条切线，切点分别为，且恰存在两个点满足，求的取值范围．17.已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．（1）求点的坐标；（2）求边所在直线的方程；（3）求的平分线所在直线的方程．18.如图，在三棱锥中，平面平面，，M为BC的中点．（1）求证：平面PBC；（2）求点M到平面PAB的距离；（3）求直线AM与平面PAB所成角的正弦值．19.在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足（且）．（1）证明动点P的轨迹为圆，并指出圆心坐标及半径．（2）设时，动点P的轨迹为圆C，过点作直线，其中与圆C交于点D，F，与圆C交于点E，G．（i）若的面积为，求直线的方程；（ii）若，求四边形DEFG的面积S的最小值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.0° B.45° C.90° D.135°答案：C解析：解答过程：直线等价于,该直线的斜率不存在，所以倾斜角为90°.2.已知圆，则该圆的半径为（）A. B.6 C.9 D.13答案：A解析：解答过程：由，得，则半径为．3.函数的图象可由函数的图象经过怎样的平移而得到（）A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度答案：C解析：解答过程：因为，根据图象平移规则，函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．4.已知点，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意可得，所以在上的投影向量为．5.已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（）A. B. C.2 D.答案：A解析：解答过程：直线的斜率为，由，得直线的斜率存在，且，解得，则，即，所以这两条平行直线之间的距离为．6.若一个正四面体的体积为，则其表面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：将正四面体补形为正方体，利用割补法表示出正四面体的体积，从而求出正四面体的棱长，进而求出表面积.解答过程：如图所示，设正四面体为，并将其补形成正方体，设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为，所以，解得，故正四面体的棱长为，因此该正四面体的表面积为.7.已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据正弦定理及三角恒等式得到，再利用余弦定理结合锐角得到，再根据余弦定理表示出，即可求出答案.解答过程：因为，由正弦定理得，又因为，所以，故，故，由正弦定理得.由题知三个内角均为锐角且，由余弦定理得，代入，得，又，所以，因此，令，则，于是的取值范围为.8.在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：当时，曲线C表示原点；当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的部分；同理，可在平面直角坐标系内作出曲线C的完整图形（如图），又曲线C上的点到原点距离的最大值为，所以．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设复数的共轭复数为，若，则（）A. B.C.一定是实数 D.可能是方程的根答案：AC解析：思路：本题考查复数､共轭复数的概念和运算.利用复数的四则运算以及共轭复数的定义检验四个选项即可.解答过程：对于A，设，由得，于是，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，结合A项可知是实数，故C正确；对于D，对于方程，由求根公式得该方程的根为，计算根的模为，不满足，因此不可能是该方程的根，故D错误.10.已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（）A.点A的坐标为B.当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为C.直线的方程可以是D.直线的方程可以是答案：ABC解析：思路：本题考查过定点的直线方程、点到直线的距离公式．对于A选项利用直线过定点的定点求法求解即可；对于B，利用直线l在y轴上的截距为1，结合直线的方程求解即可；对于C，考虑斜率不存在的情况求解即可；对于D，利用点到直线距离公式建立方程即可.解答过程：对于A，由已知得，令解得所以定点，故A正确；对于B，当直线l在y轴上的截距为1时，直线l过点，代入得，解得，此时直线l的方程为，故B正确；对于C，易知直线过定点，当直线的斜率不存在，即时，可得，此时点到直线的距离为2，符合题意，故C正确；对于D，当直线的斜率存在，即时，由题可得，解得，即直线，故D错误．11.过直线上任意一点P作圆的两条切线，切点分别为，则（）A.可以是等边三角形 B.直线过定点C.四边形面积的最小值是 D.的取值范围为答案：ABD解析：思路：结合圆的切点弦、切线性质、向量的数量积逐个分析选项：A选项利用特殊角进行反推验证；B选项根据切点弦方程判断定点；C选项四边形面积转化成切线长进行求解；D选项利用二倍角公式结合范围求解.解答过程：由题知圆O的圆心为，半径．不妨取点，则，故，从而，所以可以是等边三角形，故A正确；设点，则，以为直径的圆的方程为，又圆，两式作差可得直线的方程为，又，代入可得，令解得故直线过定点，故B正确；四边形的面积为，故当最小时，四边形的面积最小，又的最小值为圆心到直线的距离，且，因此四边形面积的最小值为，故C错误；，在四边形中，，所以，又，所以，则，故的取值范围为，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为_________．答案：解析：解答过程：时，两直线不垂直，不合题意，所以直线的斜率为，又直线的斜率为3，且两条直线互相垂直，所以，解得．由，解得，即这两条直线的交点坐标为．13.圆与圆的公共弦长为_________．答案：解析：解答过程：圆，圆的圆心为，半径，圆，圆的圆心，半径，因为，所以圆与圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为，则圆心到公共弦所在直线的距离为，故所求弦长为．14.已知，则__________．答案：解析：思路：根据三角恒等变换进行化简.解答过程：由题可得，得，若，则，这与矛盾，故．则．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的顶点分别为．（1）设的中点为，求中线所在直线的方程；（2）若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程．答案：（1）；（2）或．解析：思路：（1）先求中点坐标，再用点斜式求中线方程；（2）根据截距关系分类讨论，用截距式求方程.（1）由点得线段的中点为，故，所以中线所在直线的方程为，即．（2）若直线过坐标原点，则其斜率为，此时直线的方程为，即，符合题意；若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为，由直线过点，得，解得，即直线的方程为．综上所述，直线的方程为或．16.已知直线，圆．（1）若直线l恰好为圆C的切线，求圆C的半径；（2）设直线与轴的交点为，以为圆心，2为半径作圆，若过圆上一点能作圆的两条切线，切点分别为，且恰存在两个点满足，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）将圆的一般方程转化为标准方程从而得到圆心及半径，根据直线与圆相切列方程即可求出答案；（2）根据题意可得到以为圆心，为半径的圆与圆相交，根据两圆的位置关系列不等式即可求出答案.（1）由圆，得圆，所以圆心为，半径．若直线恰好为圆C的切线，则，解得，即圆C的半径为2．（2）是正方形，故满足条件的点在以为圆心，为半径的圆上，即点既在圆上又在圆上，“恰存在两个点”圆与圆相交．由直线的方程，得，圆的半径，圆的半径，圆心距，相交的条件为．①由不等式①右端，解得．由，得．由不等式①左端得或，结合得．综上，a的取值范围为17.已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．（1）求点的坐标；（2）求边所在直线的方程；（3）求的平分线所在直线的方程．答案：（1）（2）（3）．解析：思路：（1）设，根据中点在，点在上列方程组即可求解；（2）设，根据点在和直线与直线垂直，列方程组即可求出点，求出，利用直线的点斜式方程即可求解；（3）求出，即得到的平分线所在直线的斜率为，利用直线的点斜式方程即可求解.（1）设，因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，所以，解得，即点的坐标为．（2）设，因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，所以，解得，即点C的坐标为．易知，故边所在直线的方程为，即．（3）由（1）（2）及已知可知，易得，故，从而可知的平分线所在直线的一个方向向量是，即角平分线所在直线的斜率为1，故角平分线所在直线的方程为，即．18.如图，在三棱锥中，平面平面，，M为BC的中点．（1）求证：平面PBC；（2）求点M到平面PAB的距离；（3）求直线AM与平面PAB所成角的正弦值．答案：（1）因为平面平面PBC，平面平面平面PBC，所以平面，又因为平面PAC，所以．因为，所以，所以，又，且平面，所以平面PBC．（2）（3）．解析：思路：（1）利用面面垂直的性质，由平面平面PBC得到线面垂直平面，再得到线线垂直，结合，再利用线面垂直判定定理得到平面即可.（2）利用等体积法得到点M到平面PAB的距离即可；（3）根据线面角的定义，结合M到平面PAB的距离计算即可.（1）略（2）由（1）及已知可得．设点到平面的距离为d，则点到平面的距离为．因为平面，所以．在中，，所以，因为平面，所以．由，解得．（3）由，可得，设直线与平面所成的角为θ，则，故直线与平面所成角的正弦值为．19.在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足（且）．（1）证明动点P的轨迹为圆，并指出圆心坐标及半径．（2）设时，动点P的轨迹为圆C，过点作直线，其中与圆C交于点D，F，与圆C交于点E，G．（i）若的面积为，求直线的方程；（ii）若，求四边形DEFG的面积S的最小值．答案：（1）设，则，由，得，整理得，又且，则，即，所以动点P的轨迹为圆，其圆心坐标为，半径为.（2）（i）（ii）．解析：思路：（1）根据给定条件，利用两点间距离公式列式，结合圆的定义推理得证.（2）（i）把代入，求出圆心到直线的最大距离，结合三角形面积公