2026-2027学年河南省开封市开封高级中学高一上学期9月质量检测测试数学试卷（含解析）（含答案）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.3.若，则的取值范围为（）A. B.C. D.4.设集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.5.命题“”的一个充分不必要条件是（

）A. B.C. D.6.已知集合，则满足条件⫋的集合M的个数为A.3 B.6 C.7 D.87.函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A. B. C.或 D.或8.已知，且，则的最小值为（）A. B. C. D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列选项的两个函数为同一函数的有（）A.和B.和C.和D.和10.已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（

）A.B.不等式的解集是C.D.的解集为11.已知实数满足，且，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域为_________．13.不等式的解集是_______．14.关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是______.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.设集合，．（1）若，求；（2）若，求的取值范围．16.根据题意，求解下列问题：（1）比较与的大小关系．（2）已知，，求的范围；17.已知二次函数，其中．（1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式．18.根据题意，求解下列问题：（1）已知正实数，满足，求的最小值；（2）已知正实数，满足，求的最小值；（3）已知，求的最大值．19.假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.（1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式；（2）证明你提炼出的不等式；（3）求证：且.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：因为，，所以.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用含有一个量词的命题的否定的定义求解解答过程：解：命题“”是存在量词命题，所以其否定是“”，故选：A3.若，则的取值范围为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：即为，所以，所以.4.设集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：因为，所以，又，，所以.5.命题“”的一个充分不必要条件是（

）A. B.C. D.答案：D解析：思路：解绝对值不等式求的解，根据充分、必要性定义判断的充分不必要条件.解答过程：由，解得或，要成为命题“”的一个充分不必要条件，则其对应的集合是或的真子集，所以、、均不是的充分不必要条件，是的一个充分不必要条件.故选：D.6.已知集合，则满足条件⫋的集合M的个数为A.3 B.6 C.7 D.8答案：C解析：解答过程：由题意可知集合M是集合B的非空子集；集合B中有3个元素，因此非空子集有个7.函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A. B. C.或 D.或答案：B解析：解答过程：由题设有对一切实数恒成立，若，恒成立，若，则，故，综上，.8.已知，且，则的最小值为（）A. B. C. D.1答案：A解析：思路：首先根据已知条件将变形为，然后利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可.解答过程：已知，得，代入得：由于，，得：当且仅当，即：，时等号成立.故的最小值为.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列选项的两个函数为同一函数的有（）A.和B.和C.和D.和答案：BCD解析：思路：根据同一函数定义可知：表达式一样，且定义域一样即为同一函数.解答过程：A选项，，，表达式不一样，不是同一函数，错误；B选项，，其中，，其中，表达式一样，是同一函数，所以B选项正确；C选项，，，表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确；D选项，和表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确；10.已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（

）A.B.不等式的解集是C.D.的解集为答案：BCD解析：思路：根据解集形式可得，以及两根，根据韦达定理可得a、b、c的关系，代入B、C、D选项求解即可.解答过程：因为关于x的不等式的解集为，所以由二次函数性质可得，且方程的根为，由韦达定理可得，所以.A选项错误；B选项，，即，由于，解得，B选项正确；C选项，，C选项正确；D选项，，即，由于，则可化为，解集为，D选项正确；故选：BCD.11.已知实数满足，且，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：对A，根据可得，再代入推导即可；对B，由推导即可；对C，举反例判断即可；对D，根据代入化简即可判断.解答过程：对A，根据可得，故即，即.因为恒成立，故成立，故A正确；对B，因为，故，故成立；对C，当时，满足且，但不成立，故C错误；对D，因为，，因为，故，故D正确.故选：ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域为_________．答案：解析：解答过程：由函数有意义，得，解得，所以所求定义域为.13.不等式的解集是_______．答案：或，解析：思路：将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解.解答过程：因为，所以，即，即，所以，解得或，故原不等式的解集为或，故或14.关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是______.答案：解析：思路：将不等式化为不等式，根据有解确定，再用a表示出不等式解集，确定出三个整数解，由此可得到关于a的不等式，即可求得答案.解答过程：不等式即不等式，若，则即，整数解有无数个，不合题意，故，由于关于的不等式的整数解恰有3个，故需满足，解得；则解可得，因为，故，故不等式的3个整数解恰为，则，解得，即，故答案为.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.设集合，．（1）若，求；（2）若，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）把代入，利用交集的定义求解.（2）根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解.（1）当时，，而，所以．（2）由，得，当时，，解得；当时，，解得，所以的取值范围为．16.根据题意，求解下列问题：（1）比较与的大小关系．（2）已知，，求的范围；答案：（1）（2）解析：解答过程：（1）因为．所以．（2）由得①，又因为②，得，故．当且仅当，时，，当且仅当，时，．综上，的范围为．17.已知二次函数，其中．（1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式．答案：（1）（2）若，不等式解集为；若，不等式解集为；若，不等式解集为；若，不等式解集为；若，不等式解集为或．解析：思路：（1）通过分离参数再结合基本不等式求最值，即可求解；（2）因式分解得到，通过讨论，，，，，即可求解.（1）将代入得．①因为，①可变形为．不等式恒成立等价于．又，当且仅当，即时，等号成立，所以，故的取值范围为．（2）整理，得，即，①当时，不等式整理为，解得；②当时，方程的两根为：，．解不等式得或；③当时若，即时，解不等式得；若，即时，解不等式得；若，即时，解不等式得．综上所述，若，不等式解集为；若，不等式解集为；若，不等式解集为；若，不等式解集为；若，不等式解集为或．18.根据题意，求解下列问题：（1）已知正实数，满足，求的最小值；（2）已知正实数，满足，求的最小值；（3）已知，求的最大值．答案：（1）4（2）8（3）解析：思路：（1）由基本不等式即可直接求解；（2）由条件得到，再结合基本不等式即可求解；（3）通过配方得到，再结合基本不等式即可求解.（1）因为，当且仅当，即，时，等号成立．故的最小值为4；（2）由得，则，则，则，故，当且仅当时，即时，等号成立．即的最小值为8；（3）当且仅当，即时，等号成立．即的最大值为.19.假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.（1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式；（2