2026-2027学年河南省新乡市百师联考高一上学期阶段检测（一）数学试卷（含答案）

/数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，2.设集合，，则（）A. B.C. D.3.不等式的解集是（）A. B.C. D.4.已知集合，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.5.已知，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.6.“”是“命题，为假命题”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通状况、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取50时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（）A.90 B.96 C.110 D.1228.设集合，，则（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知集合，均为的子集，集合，的关系如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.10.已知，，，则下列结论正确的是（）A.的最小值为B.的最大值为C.的最小值为3D.的最小值为11.下列说法正确的是（）A.若，，则B.关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为C.命题，不等式成立，则实数的取值范围为D.真包含于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知全集，集合，，则的真子集个数为_____．13.为了积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对学生假期玩游戏的时长进行了调查．某班共有人，其中人玩游戏，人玩游戏，人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，则班上这三种游戏都不玩的学生有_____人．14.已知对所有正实数，都成立，则实数的最小值为_____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，集合．（1）若，求的值；（2）是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由．16.（1）设，，均为正实数．证明：成立的充要条件是；（2）已知，求的最大值．17.设全集，集合，集合．（1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；（2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围．18.已知集合，集合，．（1）求集合，；（2）记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围．19.设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”．（1）当时，写出集合的差倍集；（2）设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值；

数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：A解析：解答过程：全称量词改为存在量词，否定结论，所以命题“，”的否定是“”.2.设集合，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：因为，，所以.3.不等式的解集是（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：由，可知，移项，，，，，等价于：，解得.4.已知集合，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据集合与元素的关系，结合空集的性质、子集的性质逐一判断即可.解答过程.A：由上可知该选项结论不正确；B：因为，所以本选项结论不正确；C：因为，所以本选项结论不正确；D：因为空集是任何集合的子集，所以本选项结论正确.5.已知，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：利用不等式的性质，逐一判断选项即可.解答过程：已知条件为，逐一分析选项：选项A：令，则，，此时，不等式不恒成立；选项B：取，，，此时，不等式不恒成立；选项C：作差：，由条件得，因此差值为正，即，该不等式不成立；选项D：先拆分变形：，由条件：故；，因此，两个正数相加结果必大于，即恒成立.6.“”是“命题，为假命题”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：根据全称命题与存在命题之间的关系、一元二次不等式的性质，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.解答过程：因为命题，为假命题，所以该命题的否定为真命题，即，为真命题，当时，，该命题为真命题；当时，则有，所以，显然当能推出，但是由不一定能推出，所以“”是“命题，为假命题”的充分不必要条件.7.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通状况、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取50时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（）A.90 B.96 C.110 D.122答案：B解析：思路：利用基本不等式求和的最小值即可.解答过程：将代入，得：.当且仅当即时取等号.故选：B8.设集合，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：用列举法表示出集合，再利用补集的定义即可判断．解答过程：由题意得，，所以，故．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知集合，均为的子集，集合，的关系如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：根据韦恩图及集合交并补的概念逐一判断即可．解答过程：由图可得，，，，，故A、B、D正确，C错误．10.已知，，，则下列结论正确的是（）A.的最小值为B.的最大值为C.的最小值为3D.的最小值为答案：BD解析：思路：利用基本不等式，结合“1”的妙用，求各式的最值.解答过程：对A，由，所以，即的最大值为，当且仅当时取等号.故A错误；对B，因为，当且仅当时取等号.所以，故B正确；对C，因为，当且仅当即时取等号.故C错误；对D，因为，当且仅当即时取等号，故D正确.11.下列说法正确的是（）A.若，，则B.关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为C.命题，不等式成立，则实数的取值范围为D.真包含于答案：ACD解析：思路：由范围求出范围，再结合不等式性质计算判断选项A；根据不等式解集由韦达定理得到与关系，代入新不等式，结合，化简得到解集，判断选项B；存在性命题，求函数在区间上最大值，只要最大值大于等于，解绝对值不等式得到范围，判断选项C；先把两个集合统一分母，观察分子整数特征，判断集合间真包含关系，判断选项D．解答过程：已知，则，又，则，故A正确；已知一元二次不等式的解集为，则，且，即，代入不等式结合得，解得或，故B错误；命题，成立，在上的值域为，存在，则，即，故C正确；集合的分子为全体奇数，集合的分子为全体整数，故是的真子集，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知全集，集合，，则的真子集个数为_____．答案：7解析：解答过程：集合，集合，，，，里面有3个元素，集合有个元素，真子集个数公式：，代入，得.13.为了积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对学生假期玩游戏的时长进行了调查．某班共有人，其中人玩游戏，人玩游戏，人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，则班上这三种游戏都不玩的学生有_____人．答案：解析：思路：用集合的容斥原理，设只玩、同时玩、只玩的人数均为，因玩者不玩，故玩的分为只玩与玩，后者为，由玩总人数列方程，解得，再求至少玩一种游戏的人数，最后用总人数减去它，得三种都不玩的人数.解答过程：根据题意，设只玩的人数、同时玩和的人数、只玩的人数均为，拆分玩的人群：已知玩的人均不玩，因此玩的7人仅分为两类：只玩的人，同时玩和的人，利用玩的总人数列方程：玩的12人包含只玩、同时玩、同时玩三类，代入人数得：，解得，统计各类玩游戏的人数：只玩：玩总人数减去同时玩的人数，即；只玩：；只玩：；同时玩：；同时玩：，至少玩一种游戏的总人数：，三种游戏都不玩的人数：班级总人数减去至少玩一种游戏的人数，即.14.已知对所有正实数，都成立，则实数的最小值为_____．答案：9解析：思路：利用基本不等式求的最大值，进而得出实数的最小值．解答过程：不等式对所有正实数，都成立，对所有正实数，都成立，，当且仅当时等号成立，，故实数的最小值为9．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，集合．（1）若，求的值；（2）是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）（2）存在，或解析：思路：（1）根据求出，再根据互异性检验；（2）根据求出，再逐一代入求值.（1）由，得或，得或，当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，满足集合中元素的互异性，符合题意．所以．（2）由，得，得或，若，则，因为，所以；若，则，因为，所以，所以存在或使得．16.（1）设，，均为正实数．证明：成立的充要条件是；（2）已知，求的最大值．答案：（1）证明：必要性：因为，，均为正实数，所以，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号．所以，即，当且仅当时取等号，所以若，则，必要性成立．充分性：若，则，，所以若，则，充分性成立．所以成立的充要条件是．（2）1解析：思路：（1）证明必要性利用三组基本不等式相加，等号同时成立推出；证明充分性直接代入验证等式成立；（2）先对式子变形凑出，由判断为负，提取负号构造正数，再使用基本不等式求最大值．解答过程：（1）略（2）因为，所以，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为1．17.设全集，集合，集合．（1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；（2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据集合的包含关系求出；（2）根据列关系式求解或利用结合补集思想求出.（1）由题意，得．“”是“”的充分条件，．又，，解得，实数的取值范围为．（2）方法一：命题“，”是真命题，．下面讨论的情形：①当时，，，满足；②当时，，若，则或，解得或，所以，当时，，当时，．综上，命题“，”是真命题时，实数的取值范围为．方法二：命题“，”是真命题，．．即命题“，”是真命题时，实数的取值范围为．18.已知集合，集合，．（1）求集合，；（2）记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围．答案：（1）或当时，；当时，；当时，．（2）或．解析：思路：（1）由不等式可得，分类讨论与的关系，即可得到结果（2）根据实数分类讨论，结合区间左右边界，保证集合中有且仅有一个整数，即可得到结果.（1）由，解得或，所以或．又，当时，；当时，；当时，．（2）由于，且集合中有且仅有一个整数.当时，，则，舍；当时，，此时，中仅有整数，则，即；当时，，中仅有整数，则，即．综上，实数k的取值范围为或．19.设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”．（1）当时，写出集合的差倍集；（2）设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值；答案：（1）（2）2或10解析：思路：（1）因为要得到差倍集，所以需找出P中所有满足的元素对，代入运算，再将所有运算结果组成集合；（2）因为，所以需先对k的大小进行分类讨论：分、情况；在每种情况下，计算所有对应的