2026-2027学年河南省郑州市电气工程技工学校卓越升学部高三上学期9月测试数学试卷（含答案）

/数学一、单选题（每题5分，共40分）1.已知集合，，则中的元素个数为（）A.5 B.6 C.7 D.82.复数，则复数对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.赵爽是我国古代数学家，大约在222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出（）A. B. C.0 D.4.已知随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（）A.4 B.3 C.2 D.15.若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递减区间为（）A. B.，(-1，0)C. D.6.已知双曲线是坐标原点，是上的一点，过的直线分别与的两条渐近线交于两点，且，则的面积是（）A. B. C. D.7.在直四棱柱中，底面是正方形，，，点在棱上，若直线到平面的距离为，则的值为（）A.1 B. C. D.8.已知数列的前项和，若实数满足恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（每题6分，共18分）9.已知为第二象限角，，则（）A. B.C. D.10.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，且，则D.若，则11.已知圆的圆心为，圆与圆交于，两点，过作圆的两条切线，切点为，，过作圆的两条切线，切点为，，则（）A.B.C.当时，D.存在一条直线截三个圆所得的弦长相等三、填空题（每题5分，共15分）12.抛物线与焦点之间的距离为____________．13.股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为，已知某支股票的当前价格为16元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到80元每股，则的最小值为_________．（参考数据：，）14.已知甲、乙两个盒子中装有不同颜色的卡片，卡片除颜色外其他均相同.甲盒中有5张红色卡片和4张白色卡片，乙盒中有2张红色卡片和4张白色卡片.若从甲盒中取出2张卡片，且2张卡片中有一张是红色卡片的条件下，另一张是白色卡片的概率为__________；若从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为__________.四、解答题15.如图，在三棱柱中，，，平面，，，、分别是、的中点．（1）证明：平面；（2）求与平面夹角的正弦值．16.某蜂产品检测中心对甲、乙、丙三个养蜂场的A，B两类花粉样本进行品质抽检，已知A类花粉样本中有3份来自甲养蜂场，7份来自乙养蜂场，5份来自丙养蜂场；B类花粉样本中有7份来自甲养蜂场，8份来自乙养蜂场，10份来自丙养蜂场．先从三个养蜂场中等可能性地选取一个养蜂场，再从该养蜂场的花粉样本中不放回地抽取两次，每次抽取一份．（1）求第一次抽到A类花粉的概率；（2）记X为抽到的A类花粉份数，求X的分布列与期望；（3）在第二次抽到B类花粉的条件下，求第一次抽到A类花粉的概率．17.如图，平面四边形中，的三个内角的对边分别是，且.（1）求角；（2）若，求的面积；（3）若，求四边形的周长.18.设函数．（1）若函数的图象在处的切线平行于轴，求和在上的最小值；（2）若函数在R上单调递增，求的取值范围；（3）当时，设函数的最小值为，求证．19.已知双曲线的左，右顶点分别为的右焦点到渐近线的距离为，过点的直线与的右支交于两点（点在第一象限），直线与交于点.（1）求双曲线的方程；（2）证明：点在定直线上；（3）记的面积分别为，若，求直线的方程.

数学一、单选题（每题5分，共40分）1.已知集合，，则中的元素个数为（）A.5 B.6 C.7 D.8答案：A解析：思路：采用列举法，分别计算出的值，结合集合的互异性，可得集合，从而知集合中的元素个数.解答过程：当，分别为时，可得分别为；当，分别为时，可得分别为；当，分别为时，可得分别为.根据集合的互异性，可知，共有5个元素.故选.2.复数，则复数对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：利用复数的除法运算和复数的几何意义分析即可.解答过程：因为，所以复数对应的点的坐标为：，所以复数对应的点在第一象限.3.赵爽是我国古代数学家，大约在222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出（）A. B. C.0 D.答案：B解析：思路：设，建立如图所示的直角坐标系，结合余弦定理和正弦定理解三角形，利用坐标法即可得出结果.解答过程：设，则，，建立如图所示平面直角坐标系，由题可知，由，所以，则.所以，，.又，所以.所以.即.所以，..又，所以，解得，所以，故选：B.4.已知随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（）A.4 B.3 C.2 D.1答案：A解析：解答过程：因为随机变量服从正态分布，且，则，解得.5.若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递减区间为（）A. B.，(-1，0)C. D.答案：D解析：思路：根据切线的斜率解得，再利用可解得结果.解答过程：因为，所以，所以切线的斜率，又曲线在点处的切线过点，所以，所以，解得，所以,,由得且，所以函数的单调递减区间为，.故选：D方法提示：易错点点睛：函数的单调区间不能用符号“”连接，要用逗号隔开.6.已知双曲线是坐标原点，是上的一点，过的直线分别与的两条渐近线交于两点，且，则的面积是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据渐近线方程的概念，设出点的坐标，根据平面向量线性运算的坐标表示，求出点的坐标，根据渐近线方程斜率与倾斜角的关系，以及三角恒等变换，再根据正弦面积公式，求出结果即可.解答过程：设，双曲线的渐近线方程为，不妨令，则.因为，所以，，所以所以.即.设渐近线的倾斜角为，则，所以，因为，同理，所以.故选：D7.在直四棱柱中，底面是正方形，，，点在棱上，若直线到平面的距离为，则的值为（）A.1 B. C. D.答案：C解析：思路：建立如图所示的空间直角坐标系后利用点到直线的距离空间向量求解后可得正确的选项.解答过程：由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示，则，设．因为，平面，平面，故平面，故直线到平面的距离为到平面的距离.，，设平面的法向量为，则由可得：，取，故到平面的距离，故，故，故选：C.8.已知数列的前项和，若实数满足恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用，分的奇偶讨论，求出通项公式，再利用通项的函数单调性求出最值进行求解．解答过程：因为，得.当时，①.当为偶数时，①式为，即，所以（为正奇数）.当为奇数时，①式为，即，所以（为正偶数）.函数（为正奇数）为减函数，最大值为，函数（为正偶数）为增函数，最小值为，若实数满足恒成立，则，即.故选：A.二、多选题（每题6分，共18分）9.已知为第二象限角，，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：由同角的平方关系求出的值判断A；由诱导公式求出的值判断B；由两角和的正弦公式求出的值判断C；由二倍角公式求出判断D.解答过程：对于A，因为为第二象限角，，所以，故A正确；对于B，因为，故B正确；对于C，因为，故C错误；对于D，因为，故D正确.10.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，且，则D.若，则答案：BD解析：解答过程：对于A，若，则或直线与直线互为异面直线，故A错误；选项B，若，根据线面垂直的性质与线面平行的性质可得，故B正确，选项C，若，且，则或平面与平交，故C错误；选项D，若，根据面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理可得，故D正确.11.已知圆的圆心为，圆与圆交于，两点，过作圆的两条切线，切点为，，过作圆的两条切线，切点为，，则（）A.B.C.当时，D.存在一条直线截三个圆所得的弦长相等答案：ACD解析：思路：A.由圆的弦长公式求解；B.先求出点A，B的坐标，利用切线的性质，在直角三角形中，再分别利用三角形的等面积法求出的一半的大小，从而得到的大小；C.利用二倍角的正切公式求解；D.假设存在一条直线截三个圆所得的弦长相等，可得三个圆的圆心到该直线的距离都相等，从而利用点到直线的距离公式求解方程.解答过程：选项A,,,两式相减得公共弦直线方程,即，，半径，圆心到直线距离是,所以，A正确；选项B，联立与，解得；,不妨设，设与交于点，因为，，，所以，所以，故,即，,,,,,由,得，所以，所以，设与交于点，同理可知,即，,,,,,由,得，所以，所以，,B错误；选项C,,则，，,,在：，,,所以,因为，所以，C正确；选项D，三个圆的半径都是1，若存在一条直线截三个圆所得的弦长相等，由弦长公式，可得三个圆的圆心到该直线的距离都相等，设存在直线，满足，等价于解方程：，去掉绝对值：情况①：，情况②：，解方程：，去掉绝对值：情况①：，情况②：，联立与，得舍去，联立与，令，则，代入，直线的方程为：，所以存在直线截三个圆所得的弦长相等，D正确.三、填空题（每题5分，共15分）12.抛物线与焦点之间的距离为____________．答案：解析：解答过程：由题得，抛物线焦点为，抛物线即的焦点为，所以两焦点之间的距离为.13.股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为，已知某支股票的当前价格为16元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到80元每股，则的最小值为_________．（参考数据：，）答案：9解析：思路：根据题意得到，然后利用对数的性质解方程，并用表示方程的解并进行估算，最后得出的最小值.解答过程：由题意可得，解得由换底公式可得所以.由于，所以的最小值为9.14.已知甲、乙两个盒子中装有不同颜色的卡片，卡片除颜色外其他均相同.甲盒中有5张红色卡片和4张白色卡片，乙盒中有2张红色卡片和4张白色卡片.若从甲盒中取出2张卡片，且2张卡片中有一张是红色卡片的条件下，另一张是白色卡片的概率为__________；若从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为__________.答案：①.②.解析：思路：设出事件，利用条件概率公式计算出概率，再利用全概率公式计算出从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，取到一张红色卡片的概率.解答过程：设从甲盒中取出2张卡片中有一张是红色卡片为事件A，从甲盒中取出2张卡片中有一张是白色卡片为事件B，则，，所以，若从甲盒中随机取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为，若从乙盒中随机取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为，故从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为.故，四、解答题15.如图，在三棱柱中，，，平面，，，、分别是、的中点．（1）证明：平面；（2）求与平面夹角的正弦值．答案：（1）因为平面，平面，所以，.因为，则，又，平面，平面，所以，平面.（2）解析：思路：（1）由线面垂直的性质可得出，由已知条件可得出，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以为坐标原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面夹角的正弦值.（1）略（2）解：以为坐标原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、，所以，，，，设平面的法向量为，则，得，令，得，故.所以，，故与平面夹角的正弦值为.16.某蜂产品检测中心对甲、乙、丙三个养蜂场的A，B两类花粉样本进行品质抽检，已知A类花粉样本中有3份来自甲养蜂场，7份来自乙养蜂场，5份来自丙养蜂场；B类花粉样本中有7份来自甲养蜂场，8份来自乙养蜂场，10份来自丙养蜂场．先从三个养蜂场中等可能性地选取一个养蜂场，再从该养蜂场的花粉样本中不放回地抽取两次，每次抽取一份．（1）求第一次抽到A类花粉的概率；（2）记X为抽到的A类花粉份数，求X的分布列与期望；（3）在第二次抽到B类花粉的条件下，求第一次抽到A类花粉的概率．答案：（1）（2）期望为012（3）解析：思路：（1）根据全概率公式求解即可；（2）由题意知，的所有可能取值为0，1，2，根据全概率公式分别求得相应的概率，即可得到其分布列，再根据离散型随机变量的期望公式，求得的期望；（3）分别求出和，再根据条件概率公式求解即可．（1）设“第次抽到的是类花粉”，“第次抽到的是类花粉”，记甲、乙、丙三个养蜂场分别为第1个养蜂场、第2个养蜂场、第3个养蜂场，“选取到第个养蜂场”，．则，，由题意得第一次抽到的是类花粉的概率为．（2）的所有可能取值为0，1，2，，，，的分布列为012所以．（3）从甲养蜂场的抽检样本中不放回地抽取两次，每次抽到类花粉的概率均为；从乙养蜂场的抽检样本中不放回地抽取两次，每次抽到类花粉的概率均为；从丙养蜂场的抽检样本中不放回地抽取两次，每次抽到类花粉的概率均为.所以，，则，所以在第二次抽到B类花粉的条件下，求第一次抽到A类花粉的概率．17.如图，平面四边形中，的三个内角的对边分别是，且.（1）求角；（2）若，求的面积；（3）若，求四边形的周长.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理边化角化简，结合两角和的正弦公式即可得到答案；（2）利用余弦定理可求出的长，继而求出的值，利用三角形面积公式，即可求得答案；（3）通过作辅助线，利用三角形相似，求出四边形的边的长，继而求出的长，即可求得答案.（1）因为在中，，故，而，故，即，结合，可