2026-2027学年河南省周口市颍河高级中学高三上学期入学考试数学试卷（含答案）

/数学第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的实部为（）A. B. C. D.2.已知向量,则实数（）A.-1 B.0C. D.33.设，，则（）A. B. C. D.4.已知数列满足，则等于（

）A. B. C. D.5.已知两个线性相关变量x，y的统计数据如下表所示，其经验回归方程为，则下列说法正确的是（）x12458y111525m45A. B.样本相关系数C.经验回归直线必过点 D.当时，残差为16.设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.7.若定义上的函数满足：对任意且有若的最大值和最小值分别为，则的值为（）A.2026 B.2027 C.4054 D.40528.甲、乙两人进行羽毛球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局.每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分.已知甲在每局比赛中获胜和失败的概率均为，且各局结果相互独立.在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.直线是函数图象的一条对称轴C.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象D.若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是10.已知圆，则下列说法正确的有（）A.圆心在曲线上B.存在两个不同的实数，使圆过点C.存在四个不同的实数，使圆与直线相切D.存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积11.如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（）A.存在点，使得平面B.异面直线与所成的角的大小为C.过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形D.若平面，则点的轨迹的长度为第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设，则______．13.已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为______．14.给定有穷数列，定义数列的绝对差分数列，，…，，其中．若数列是单调不减的，即，则称数列是数列．已知各项均为整数的数列，，…，满足，并且其差分数列是等差数列，若，，则的所有可能值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥．（1）证明：；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求．16.记的内角、、的对边分别为、、，已知的面积为，且.（1）求角；（2）若，，求的周长．17.小王同学参加一个投篮测试，其规则是：有5次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至5次投篮机会用完；第5次投篮后，不论通过与否均结束测试.现假定小王同学每次投篮结果相互独立，命中率均为，记为小王同学测试结束时投篮的次数.（1）求的分布列及数学期望；（2）若在通过测试的条件下，小王同学恰好投篮2次的概率大于，求的取值范围.18.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，的面积为．（i）求弦长的最小值；（ii）已知直线过点，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求．19.已知函数.（1）判断的零点个数;（2）若，且，求证:;（3）若，且，求的最大值.

数学第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的实部为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，可得复数的实部为.2.已知向量,则实数（）A.-1 B.0C. D.3答案：C解析：解答过程：向量,所以,解得.3.设，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用三角函数的诱导公式计算集合的元素，再根据交集的定义进行求解.解答过程：根据三角函数的诱导公式可得：，，

，因此集合，根据交集的定义可得：.4.已知数列满足，则等于（

）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，推出数列的周期为，由此求解即可.解答过程：因为，所以，，，，……，所以数列为周期数列，周期为，又因为，所以.5.已知两个线性相关变量x，y的统计数据如下表所示，其经验回归方程为，则下列说法正确的是（）x12458y111525m45A. B.样本相关系数C.经验回归直线必过点 D.当时，残差为1答案：C解析：思路：根据经验回归方程进行检验计算判断可得.解答过程：对于选项C：，经验回归直线必过样本中心点，代入回归方程得，因此样本中心点为，C说法正确；对于选项A，再由，解得，A说法错误；对于选项B：经验回归方程斜率为，说明与正相关，因此样本相关系数，B说法错误；对于选项D：当时，预测值，所以残差，因此D说法错误.6.设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，利用双曲线的对称性确定双曲线渐近线斜率范围，进而求出离心率范围.解答过程：依题意，不妨设双曲线的方程为，而双曲线的弦和都过双曲线的中心，且，由双曲线的对称性，得直线和关于轴对称，不妨令点在第一象限，又直线和的夹角为，则直线的倾斜角为或，而符合要求的直线和有且只有一对，则只有倾斜角为的直线与双曲线有两交点，因此双曲线的渐近线的倾斜角满足：，则，，所以该双曲线的离心率的取值范围是.7.若定义上的函数满足：对任意且有若的最大值和最小值分别为，则的值为（）A.2026 B.2027 C.4054 D.4052答案：D解析：解答过程：对任意有，则令，令，，，令，则，故为上的奇函数，则有，所以，故，故选D.8.甲、乙两人进行羽毛球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局.每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分.已知甲在每局比赛中获胜和失败的概率均为，且各局结果相互独立.在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意分甲赢3局，乙赢3局、甲赢4局，乙赢2局、甲赢5局，乙赢1局、甲赢6局，乙赢0局，结合要求计算出每种情况的排列数，再根据独立事件的乘法和概率加法公式求解．解答过程：情况一：甲赢3局，乙赢3局，且甲的累计得分始终不小于乙的累计得分，符合题意的获胜情况有：甲乙甲乙甲乙、甲乙甲甲乙乙、甲甲乙乙甲乙、甲甲乙甲乙乙、甲甲甲乙乙乙共5种，此时概率；情况二：甲赢4局，乙赢2局，从6局中选4局甲赢，有种，其中不符合题意的获胜情况有：乙乙甲甲甲甲、乙甲乙甲甲甲、乙甲甲乙甲甲、乙甲甲甲乙甲、乙甲甲甲甲乙、甲乙乙甲甲甲共6种，则符合题意的获胜情况有9种，此时概率；情况三：甲赢5局，乙赢1局，符合题意的情况有种，此时概率；情况四：甲赢6局，乙赢0局，此时概率；综上，概率．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.直线是函数图象的一条对称轴C.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象D.若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是答案：AC解析：思路：A选项，利用三角函数的周期进行求解；B选项，利用图像的特殊值求出函数的解析式，再利用对称轴进行求解；C选项，利用函数的平移和三角转化进行求解；D选项，利用零点的存在性结合列举进行求解.解答过程：A选项，由图可知：，解得：，所以A选项正确；B选项，由图可知：，，且，则，其中，解得：，又因为，所以，则，将代入得：，由三角函数图像性质得不是正弦函数的对称轴，所以B选项错误；C选项，函数的图象向左平移个单位长度为，所以C选项正确；D选项，令，得：，求的零点，当时，，当时，，当时，，当时，，零点依次为：第3个零点必须在内，第4个零点不能在区间内，所以，所以D选项错误.10.已知圆，则下列说法正确的有（）A.圆心在曲线上B.存在两个不同的实数，使圆过点C.存在四个不同的实数，使圆与直线相切D.存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积答案：ABD解析：思路：结合指对互化判断A选项，再结合圆与直线的位置关系、函数的单调性以及零点存在性定理等逐一判断选项.解答过程：因为圆，所以圆心为，满足，所以即，选项A正确；若圆过点，则，设函数，其函数图象连续不断，且，，，根据零点存在性定理可知方程恰有两个实数根，选项B正确；若圆与直线相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，化简得，即或者，令，则，令得所以在单调递减，在单调递增，所以，所以方程有唯一解，方程有两个解，所以存在三个不同的实数，使圆与直线相切，选项错误；直线平分圆的面积，等价于直线过圆心，即，令函数，则，令得，所以在单调递减，在单调递增，且，，函数图象连续，由零点存在性定理，共有两个零点，所以存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积，所以选项正确.11.如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（）A.存在点，使得平面B.异面直线与所成的角的大小为C.过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形D.若平面，则点的轨迹的长度为答案：ABD解析：思路：A选项，取的中点，通过平面平面，即可判断，B选项，作出辅助线，为直线与所成角，为等边三角形，故；C选项，作出辅助线，得到四边形为截面图形，并得到其为梯形；D选项，作出辅助线，证明出平面平面，故当在线段上时，平面，点的轨迹的长度为.解答过程：A选项，取的中点，连接，因为，分别是，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，同理可得平面，因为，平面，所以平面平面，故当在线段上时，满足平面，A正确；

B选项，由A知，且，所以，故为直线与所成角或其补角，连接，则，所以为等边三角形，故，异面直线与所成的角的大小为，B正确；C选项，连接，由A知，，又，所以，所以四边形即为过，，三点的平面截正方体所得截面图形，因为，所以四边形为梯形，C错误；D选项，连接，因为，平面，平面，所以平面，又，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，故当在线段上时，平面，所以平面，所以若平面，则点的轨迹的长度为，D正确.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设，则______．答案：5解析：思路：先推导出，再利用该关系式分组配对求和即可.解答过程：，，，则，所以，原式.13.已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为______．答案：解析：思路：根据正四棱柱的性质及棱柱的体积求出侧棱长，结合勾股定理求出，得到点的轨迹是圆在正方形内的一段弧，求出圆心角，代入弧长公式求解即可.解答过程：设正四棱柱的高为，则，解得，即侧棱.易知为直角三角形，所以，所以点在底面上的轨迹是以为圆心、半径的圆的一部分.底面是边长为2的正方形，因为，所以点的轨迹圆与底面的交点在，上，设为，，则.在中，，则，同理可得，所以点的轨迹是圆在正方形内的一段弧，圆心角为，所以弧长为.故点P的轨迹长度为.14.给定有穷数列，定义数列的绝对差分数列，，…，，其中．若数列是单调不减的，即，则称数列是数列．已知各项均为整数的数列，，…，满足，并且其差分数列是等差数列，若，，则的所有可能值为________．答案：12或39解析：思路：根据差分数列定义和数列的性质可得数列的公差为，且，结合累加法利用等差数列的性质计算可求得的所有可能值.解答过程：因为，所以其差分数列；又因为数列的各项均为整数，所以数列的各项均为整数；易知数列的公差为，且，易知,累加可得；当时，，即，所以；且；因此当时，，此时,因此；当时，，此时,因此；综上可知，的所有可能值为12或39.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥．（1）证明：；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求．答案：（1）证明：如图，取的中点，连接，

由三棱锥是正三棱锥，可得，

所以，

因为平面，所以平面，因为平面，所以，

因为在平行四边形中，

所以．（2）或解析：思路：（1）取的中点，连接，易得，进而得到平面，则，然后可证；（2）以为原点建立空间直角坐标系，设，分别求出平面、平面的一个法向量，然后构建方程求出，再根据勾股定理求边长即可．（1）略（2）在线段上取点，使得，连接，则为三棱锥的高，以为原点，直线为轴，过点与平行的直线为轴，直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为是边长为的正三角形，所以，设，则，所以，设平面的法向量，则，即，取，得，设平面的法向量，则，即，取，得，设平面与平面的夹角为，则，解得或，所以或．16.记的内角、、的对边分别为、、，已知的面积为，且.（1）求角；（2）若，，求的周长．答案：（1）（2）周长为解析：思路：（1）根据三角形面积公式与余弦定理，可得，根据的范围可求得；（2）利用正弦定理化简，结合的范围，可得.然后再利用正弦定理可求得、的长度，进而得到的周长.（1）由三角形面积公式可得；由余弦定理，，代入，可得，因为，所以，因为，所以.（2）由结合正弦定理，因为，所以，又因为，所以，，所以.因为，由正弦定理，所以，.所以周长为.17.小王同学参加一个投篮测试，其规则是：有5次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至5次投篮机会用完；第5次投篮后，不论通过与否均结束测试.现假定小王同学每次投篮结果相互独立，命中率均为，记为小王同学测试结束时投篮的次数.（1）求的分布列及数学期望；（2）若在通过测试的条件下，小王同学恰好投篮2次的概率大于，求的取值范围.答案：（1）分布列为：2345数学期望（2）解析：思路：（1）对离散型随机变量，先理清每个取值对应的实际投篮事件，排除提前终止的矛盾情形，再计算对应概率；代表前四次从未出现连续两中，可用对立事件快速求概率；（2）先算出可以通关的总概率,再利用条件概率，；分式不等式注意分母范围，正数分母取倒数要反转不等号，再因式分解求解参数范围.（1）的所有可能取值为：2，3，4，5.有可得的分布列为：2345可得.（2）设事件：小王同学通过测试，事件：小王同学恰好投篮次.因为投篮5次通过的概率为.则..则在通过测试的条件下，小王同学恰好投篮次的概率为.又由，可化为，可化为，又由，解得.故的取值范围为.18.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，的面积为．（i）求弦长的最小值；（ii）已知直线过点，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求．答案：（1）；（2）（i）；（ii）.解析：思路：（1）由离心率得，再代入已知点坐标可求得椭圆方程；（2）（i）直线斜率存在时，设直线方程为，显然，设，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，然后代入弦长公式求得弦长，再求得原点到直线的距离，计算三角形面积得的关系，代入弦长（消元），再由不等式性质得弦长的范围，然后再求得直线斜率不存在时弦长，从而可得最小值；（ii）由题意得，代入（i）中韦达定理的结论得出的又一关系式，结合面积得出的关系可求得值.（1）由题意，所以，则椭圆方程为，