2026-2027学年西南大学版（新版）小学数学六年级上册（全册）教学设计（P275）

2026-2027学年西南大学版（新版）小学数学六年级上册（全册）教学设计目录第一单元分数乘法分数乘法问题提出整理与复习第二单元圆圆的认识圆的周长圆的面积探索规律整理与复习⭐数学阅读我国古代杰出的数学家祖冲之第三单元分数除法认识倒数分数除法问题提出整理与复习综合与实践相反意义的量活动一：提出问题，查找相反意义的量活动二：分享交流，探究相反意义的量活动三：设计活动，表达相反意义的量第四单元观察物体(二)数学万花筒蜂巢的奥秘第五单元分数混合运算分数混合运算问题提出整理与复习你知道吗？两鼠穿垣第六单元简单随机现象第七单元百分数与扇形统计图百分数的意义扇形统计图问题提出整理与复习综合与实践营养午餐活动一：结合经验，提出需要解决的问题活动二：查阅资料，了解营养膳食的知识活动三：计算分析，写“营养午餐分析报告”活动四：设计海报，展示交流学习成果第八单元总复习全册每课教学设计第一单元分数乘法分数乘法2课时一、学情分析六年级学生已掌握整数乘法的意义、分数的意义与基本性质、同分母分数加减法和约分，具备一定的操作与归纳能力。但学生的运算经验多停留在“按规则算”，对“为什么这样算”缺少理解：难以把“几个相同分数相加”与整数乘法对接；容易把“求一个数的几分之几”与“求几倍”割裂；约分时常出现“分子与整数约分”的错误。学生把图形分割结果转化为算式仍有困难。因此，本课用分饼、耕地、折纸等直观材料搭桥，坚持“先意义、后算理、再算法”。二、教材分析本课选自西南大学版（2026年秋季新教材）六年级上册第一单元《分数乘法》，承担从整数乘法、分数加法走向分数乘法的过渡任务。教材以“郊外野餐”主题图引出分饼问题：例1“每人吃一个饼的15，4人一共吃这个饼的几分之几”，借分数加法引出分数乘整数，解决意义问题；例2“38×2”，解决算法与先约分再计算；例3“每时加工100个零件，45时加工多少个”，概括“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”；例4“每时耕地3三、核心素养教学目标依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域的要求，本课聚焦以下核心素养设定目标。1.运算能力：理解分数乘整数、分数乘分数的意义，掌握“分子相乘、分母相乘”“分母不变、分子与整数相乘”的方法，能正确、熟练地计算，养成先约分、结果化成最简分数的习惯。2.推理意识：经历“分数加法—分数乘法”“整数乘法—分数乘法”“整数乘分数—分数乘分数”的迁移过程，能说明“分母为什么不变”“分子、分母为什么分别相乘”，做到理法相融。3.几何直观：借助分饼图、线段图和折纸操作，把分数乘法转化为可观察的图形分割与重叠，能由图说式、由式画图。4.模型意识与应用意识：能识别“求几个相同分数的和”“求一个数的几分之几”的现实原型，用分数乘法模型解决分饼、耕地、加工零件、计算面积等简单实际问题。5.数感：在计算与比较中感受因数与积的大小关系，体会约分对简化运算的价值。四、教学重难点教学重点：分数乘整数、分数乘分数的意义与计算方法；一个数乘分数的意义；先约分再计算的书写习惯。教学难点：理解分数乘分数“分子相乘、分母相乘”的图形依据；区分“整数与分母约分”和“整数与分子约分”；建立“求一个数的几分之几”与乘法意义的联系。五、教学过程（一）第一课时分数乘整数环节一情境导入，唤起需求师：同学们，新学期开始了，我们的数学之旅又出发了。请看单元主题图，小朋友们在郊外野餐，桌上摆着饼。仔细观察，你能发现哪些数学信息？生：有几个小朋友在分饼，还有一张饼被平均分成了几份。师：把一张饼平均分给几个人，每人分到的是这张饼的几分之几，这是我们学过的分数。要知道几个人一共吃了多少，还能一直用加法吗？生：人多了，加的次数太多，容易加错。师：相同的分数反复相加，就需要更简便的运算。今天我们来研究分数乘法。（板书课题）【设计意图】用主题图唤起生活经验，在“加法太麻烦”的困境中产生学习需求，使新知因需而生。环节二复习整数乘法的意义，埋下迁移的种子师：先看一个熟悉的问题。每人吃5个饼，4人一共吃多少个饼？生：5+5+5师：5×4生：4个5相加的和是多少，也就是5的4倍。师：求几个相同加数的和可以用乘法。这句话请记在心里，一会儿要用它解决新问题。环节三探究例1，理解分数乘整数的意义师：（出示例1）现在每人只吃一张饼的15师：谁来说说自己的算式？生：15+15+15+师：15×4表示什么？和刚才的生：表示4个15相加的和，也就是15的4倍，与5师：所以分数乘整数的意义与整数乘法一致。（板书：求几个相同分数的和）师：4个15是多少？15生：45。15是分数单位，乘4就是4个师：分母为什么不变？生：每份的大小没变，都是15师：份数在变，分数单位不变，所以分子与整数相乘、分母不变。（板书：分子与整数相乘，分母不变）师：照这个道理，37×生：37里有3个17，乘2是6个17，等于【设计意图】让学生自己写出加法式与乘法式，在对比中完成意义迁移；再借分数单位解释“分母不变”，把算法建立在数感之上，而不是死记规则。环节四教学例2，探究“先约分再计算”师：（出示38（学生尝试，三名学生板演）生1：38生2：38生3：38×2，把8和2同时除以2，得师：你们满意哪一种写法？为什么？生：第一种没有约成最简分数，68还可以约成3师：第二、三种都对，一种先乘后约，一种先约后乘。哪种更省力？生：先约分，数变小了，不容易算错。师：第三种写法是把分母8和整数2同时除以2。为什么只能分母和整数约分，不能分子3和整数2约分？生：8份里的每2份合成1份，份数变少了，所以约的是分母。师：38是把饼平均分成8份取3份，乘2后取的仍是3份，但每份由18变成师：这是最容易出错的地方，请做记号。计算时先约分，结果要约成最简分数。（板书：先约分，整数与分母约分）【设计意图】三种写法同时呈现，让学生自己发现“先约分更简便”；再借图形意义辨析约分对象，使纠错有据可依。环节五巩固练习，形成技能师：请完成课堂活动第1题，并说一说18×生：表示5个18的和，结果是5师：请完成这组题：27×3生：27×3师：能约分的先约，不能约分的直接乘，结果要最简。【设计意图】练习覆盖能约分与不能约分两种情形，及时暴露约分错误。环节六课时回顾师：这节课我们研究了分数乘整数。谁能用一句话说清它的意义和算法？生：意义是求几个相同分数的和，算法是分子与整数相乘、分母不变，能约分的先约分。（二）第二课时一个数乘分数与分数乘分数环节一复习口算，导入新课师：先来一组口算：37×2、58×生：37×2=67；师：这些题都是分数与整数相乘。如果两个因数都是分数，还能这样算吗？（板书：分数乘法（二））【设计意图】口算复习算法，把“整数”悄悄换成“分数”，制造认知冲突，让学生带着问题进入新课。环节二教学例3，概括“求一个数的几分之几是多少，用乘法”师：（出示）一车间每时加工零件100个，3时加工多少个？生：100×师：如果只加工45生：少，因为不到1时，列式100×师：为什么用乘法？生：45时加工的是1时的45，即100的师：观察100×3、生：都是求100的几倍或几分之几是多少，都用乘法。师：谁能用一句话概括刚才的发现？生：求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。师：这就是本课的重要结论。（板书结论）师：这个“一个数”可以是整数、小数或分数，如15×35、1.8【设计意图】从“几倍”过渡到“几分之几”，让乘法意义的适用范围自然扩展，避免把新知识当作规则硬记。环节三教学例4，折纸理解分数乘分数的算理师：（出示）拖拉机每时耕地35公顷，12师：求12生：求35公顷的12是多少，列式师：请拿出一张长方形纸，把它看作1公顷。怎样表示35生：把纸竖着平均分成5份，涂出其中3份。师：怎样表示这35的1生：把涂色的3份再平均分成2份，取其中1份。师：请动手折一折、涂一涂，数一数涂色部分占整张纸的几分之几？生：竖着分成5份，又横着分成2份，整张纸共10份，重叠的涂色部分是3份，所以是310师：分母10怎样来的？分子3呢？生：5×2=师：所以35师：不看图，你能从意义上说明为什么是310生：35里有3个15，求它的12，就是把3个15平均分成2份取1份，每份是3个1师：（出示23生：先分成3份取2份，再分成4份取3份，共12份，重叠6份，等于612师：怎样写更简便？生：先约分，3和3约掉，2和4同时除以2，得12【设计意图】用折纸把分数乘分数转化为看得见的分割与重叠，让学生亲手数出10份中的3份，自己推出法则；再用语言解释，完成从操作到抽象的提升。环节四归纳法则，沟通三类算式师：把三个算式放在一起：35×3、100生：都是分子和分子相乘、分母和分母相乘；分数乘整数时，可以把整数看成分母是1的分数。师：请具体说说35生：3写成31，3师：所以分数乘整数是分数乘分数的特殊情况。请完整说一遍分数乘法的计算方法。生：分数乘分数，用分子相乘的积作分子、分母相乘的积作分母，能约分的先约分；分数乘整数，用分子与整数相乘的积作分子，分母不变。【设计意图】把三类算式统一到一条法则下，帮助学生形成结构化认识，减少记忆负担。环节五巩固练习，灵活应用师：请计算：38×23、56生：38×23生：56×310生：45师：观察这几个积，你发现了什么？生：有的积比原数小，有的比原数大。师：乘小于1的分数，积比原数小；乘大于1的数，积比原数大。师：再看一道实际问题。一块地有34公顷，种玉米的面积占这块地的2生：34师：请完成课堂活动第2题，先折一折、涂一涂，再写算式和结果。（学生操作交流，检查“图”与“式”是否对应）【设计意图】练习从计算走向说理与应用，借结果的大小关系渗透数感；用“图—式对应”防止学生只会算不会想。环节六课时回顾师：这节课你学会了什么？生：求一个数的几分之几用乘法；分数乘分数用分子相乘、分母相乘；分数乘整数可以看成分数乘分数。六、小结师：两节课下来，我们一直在做三件事——懂意义、明算理、会计算。谁能按这三件事说一说？生：意义上，分数乘整数是求几个相同分数的和；一个数乘分数是求这个数的几分之几是多少。生：算理上，分数乘分数用分子相乘、分母相乘，因为分份和取份同时发生；分数乘整数时分母不变，因为分数单位没变。生：算法上，能约分的先约分，整数只能和分母约，分子和分母交叉约，结果要约成最简分数。师：再补充三点：意义与整数乘法一脉相承；法则都能回到图形和分数单位去解释；先约分既简便又少错。师：请大家完成练习一第5、6、9题，做到书写规范、约分清楚、结果最简。下节课我们在“问题解决”中继续用分数乘法解决生活中的问题。问题提出一、学情分析六年级学生已经掌握分数乘法的计算方法，理解“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，能在单步问题中找准单位“1”。问题主要在两处：面对连续两步的分数乘法，对“单位‘1’中途换了一个”不敏感，常把两个分率随手相乘却说不清道理；对“折扣”这类生活表达，习惯凭经验去猜。加上平时做题多、提问少，提出的问题多半停在“求一个量是多少”。本课因此以“单位‘1’是谁”为主线，用直观图作支架，把提问的权利交还给学生。二、教材分析本课选自西南大学版（2026年秋季新教材）六年级上册第一单元《分数乘法》中的“问题提出”，编排在分数乘法的意义与计算方法之后、分数除法之前，承担着把计算能力转化为解决问题能力的任务。教材先呈现现实信息，由学生提出问题，再交给分数乘法解决，“提出问题”因此成为学习的起点。第一课时以“公园种花”为情境：800m2的地，34种玫瑰，玫瑰地的35种红玫瑰。先求玫瑰地，再求红玫瑰，在“分步—综合—比较”中理解连续求一个数的几分之几用连乘，借面积图说明两课时共同支撑“单位‘1’的量×分率=对应量”的模型，也共同完成一次问题提出训练：读信息、分整体、提问题、再解决。三、核心素养教学目标依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，确定以下目标。1.运算能力。正确进行分数连乘和“求一个数的几分之几是多少”的计算，养成先约分再相乘的习惯。2.推理意识与几何直观。借助面积图、线段图分析两步中的数量关系，推理出“红玫瑰占整块地的343.模型意识与应用意识。在真实情境中主动读取信息、提出数学问题，并用“单位‘1’的量×分率=对应量”解决问题。4.创新意识与数学表达。面对同一组信息能提出一步的、两步的、“够不够”的不同问题，并把解题思路讲明白。四、教学重点与难点教学重点：在现实情境中读取信息、提出数学问题；掌握连续求一个数的几分之几是多少、求打折后价格的解题方法，会用“单位‘1’的量×分率=对应量”分析数量关系。教学难点：认清连续两步问题中单位“1”的变化，理解分率相乘的道理；把“几折”正确转化为分数并说明其含义。五、教学过程（一）第一课时连续求一个数的几分之几是多少1.复习引路，唤醒旧知师：（出示）①一块菜地200m2，其中15生：200×15=40(师：为什么都用乘法？第二题的单位“1”是谁？生：都是求一个数的几分之几是多少；第二题的单位“1”是白菜地40m师：把两题合成一题——“200m2的菜地，15生：先算白菜地200×15=40师：接起来不难，难的是说清每一步在算“谁的几分之几”。今天到公园花圃去看看。【设计意图】两个“一步”的问题先铺路，再合成一个“两步”的问题，让学生自己感到新知不过是旧知的连接；同时把“单位‘1’是谁”摆到桌面上，作为贯穿全课的主线。2.读图提取信息，提出问题（出示情境图：一块800m2的长方形地，对话框“这块地的34师：你读到了哪些信息？生：地共800m2；这块地的34师：三条信息里藏着两个不同的“整体”，分别是谁？生：一个是800m师：接下来你们当出题人，根据这些信息能提出哪些问题？生：公园种了多少平方米玫瑰？种了多少平方米红玫瑰？红玫瑰占整块地的几分之几？师：有的走一步，有的走两步。先解决第一个。【设计意图】教材把“提出问题”放在计算之前，是把学生从解题者变成提问者。先分清两个“整体”，提问才有依托；教师不把问题直接递过去，学生提出的问题才真正属于自己。3.分步探究，打通两步师：求玫瑰地的面积，就是求800m2的生：800×34=600(师：红玫瑰长在玫瑰地里，“玫瑰地的35生：是玫瑰地600m师：先求什么，再求什么？生：先求玫瑰地，再求600m2的35师：两个算式能合成一个吗？生：800×3（学生独立计算：800与5约分，3与3、4与5分别约分，得360。约分后数变小，不容易错。）【设计意图】分步是把两步拆开看清楚，综合是把两步接起来。这次“合并”由学生自己完成，他们才会承认连乘不是老师规定的写法，而是同一件事的两种记法。4.借助面积图，想明白“为什么可以连乘”（出示面积图：整块地分成4份取3份为玫瑰地，玫瑰地再分5份取3份为红玫瑰。）师：红玫瑰这一小块，占整块地的几分之几？生：整块地先分4份取3份，再把这3份分5份取3份。师：所以说，红玫瑰是整块地的34的35，即生：800×3师：两个综合算式，哪一个的单位“1”始终没变？生：第二个，一直是800m2；第一个先变成师：结果相同，由此得两条路——先求量，或先求率。【设计意图】“分率相乘”最抽象，光靠算式说不清。面积图的每次分割都在告诉学生：34是把整体分4取3，35.变式跟进，巩固模型师：再添一条信息——黄玫瑰占玫瑰地的16生：600×16=100(师：两组算式的共同点是什么？生：先找准单位“1”，再用单位“1”的量乘分率。师：完成练习——水果店运来480kg水果，第1天卖出总数的13，第2天卖出的是第1天的1（学生板演：480×13×师：两个分率的单位“1”分别是谁？生：13对应480kg，12对应第1天卖出的师：所以每算一步，都要先问一句“这是谁的几分之几”。6.第一课时小结师：这节课解决了什么问题，用什么方法？生：连续求一个数的几分之几是多少，用连乘，可分步乘，也可先求分率再乘。师：最要紧的是什么？生：每一步都找准单位“1”。（二）第二课时折扣中的分数乘法1.从“九折”说起（出示促销牌“全场九折”。）师：“打九折”是什么意思？生：便宜一点，也可能就是便宜9元。师：用一件100元的上衣检验——打九折付多少钱？生：90元。师：若真是“便宜9元”，该付91元，可见九折不等于便宜9元。90元是100元的几分之几？生：90100，即9师：所以打九折就是现价是原价的910生：610，也就是3师：记住一句话——几折就是十分之几，现价等于原价乘折扣。【设计意图】不直接给定义，而用一件100元的衣服去检验错误说法，让学生在算钱的过程中自己发现“九折=9102.读出信息，提出问题（出示：喷雾器原价50元，背篓原价15元，水泵原价320元，一律按原价的六折出售。）师：六折表示什么？生：售价是原价的35师：看着这些信息，你能提出什么问题？生：三种农具的售价各是多少元？各买1个300元够吗？买1个水泵比买5个喷雾器多多少元？师：第二个问题不问“是多少”，而问“够不够”，该怎么下手？生：先算出要花多少钱，再和300元比。【设计意图】同一组信息可以提出“求值”的问题，也可以提出“判断”的问题。让学生看见问题的不同类型，是“问题提出”教学真正的落点。3.解决“300元够不够”生：喷雾器50×35=30（元），背篓15×35=9（元），水泵师：还有别的算法吗？生：先把原价合起来，50+15+320=385（元），再算385×3师：两个式子结果相同，为什么？生：都是把三样东西一起打六折。师：这正是乘法分配律，它在分数乘法里同样成立。这句话有什么用处？生：可以先合并再乘，算得快。【设计意图】分配律不是新知识，但“在分数乘法里也成立”是学生第一次真正用上。两种算法在同一情境里碰面、结果相同，学生才会相信这条规律放之分数而皆准。4.变式与辨析师：买1个水泵比买5个喷雾器多多少元？生：320×35=192（元）；50×师：（议一议）冰箱定价2400元，洗衣机定价比冰箱少680元，两种电器都按九折出售，各买1台共多少元？这里的680元是分率还是具体数量？生：是具体数量，不是6802400师：第一步求什么？九折的单位“1”是谁？生：先求洗衣机定价2400−680=1720（元）；单位“1”是各自的原价，(2400+1720)×9【设计意图】“少680元”与“少几分之几”是本单元最容易混的一对表达。先判断“是数量还是分率”，再定算法，比反复叮嘱“看清单位‘1’”更管用。5.量与率的辨析师：两堆同样重的稻谷，第1堆运走34吨，第2堆运走3生：不一定。每堆1吨时，两堆都剩14吨；每堆2吨时，第1堆剩1.25吨，第2堆剩2×师：结论为什么会变？生：34吨是固定重量，跟这堆多重无关；3师：所以看到“34生：看它后面有没有单位，看它说的是“谁的34【设计意图】这是全课的一次回头看：同样写作346.练习巩固师：第一题。鸟类约9000种，爬行类约是鸟类的23，哺乳类约是鸟类的4生：9000×23=6000，9000×师：第二题。重庆到宜昌约648km，客轮已航行全程的78，货轮已航行全程的1生：648×78−7.第二课时小结师：关键步骤能用三个字概括吗？生：找——找准单位“1”；析——分析数量关系；算——列式并检验。六、小结本课两课时，一条主线贯穿始终——单位“1”是谁。第一课时解决“连续求一个数的几分之几是多少”。教材把两个整体叠在一起：先求800m2的34是玫瑰地，再求玫瑰地的3第二课时解决折扣中的分数乘法。教材用农具打折的情境，把“几折”这个生活词语翻译成“十分之几”。学生在“300元够不够”的判断中把生活语言化成算式，再作判断；两种算法结果相同，让乘法分配律在分数范围内落了地；“34吨”与“3两课时合起来，完成一次问题提出训练：读信息、分整体、提问题、再解决。教师只做三件事——把提问的机会留给学生，把“单位‘1’是谁”问在每一步之前，把直观图用在说不清道理的地方。【板书设计】问题提出单位“1”的量×分率=对应量800×800×几折=十分之几 现价=原价×折扣50×3(50+15+320)×3整理与复习一、学情分析学生已经完成本单元新授课学习，能够掌握分数乘整数、分数乘分数的基本计算方法，初步理解分数乘法的两层意义，会解决简单的“求一个数的几分之几是多少”的实际问题。但学生的知识较为零散，没有形成结构化知识网络；部分学生算理理解浅薄，约分习惯不规范，容易出现约分错误、结果没有化成最简分数的问题；在解决实际问题时，最大难点是找准单位“1”，连续求一个数的几分之几的题型容易混淆每一步的标准量，分不清分率对应的数量。同时，学生已经具备自主整理、小组合作、画图分析的基础能力，适合借助思维导图、表格、线段图开展复习梳理，通过对比辨析，打通知识之间的联系，弥补认知漏洞，为后续分数除法、百分数学习打好基础。二、教材分析本节课是西南大学版2026秋新教材六上第一单元《分数乘法》最后的整理与复习板块，承接前面分数乘法意义、计算法则、倒数、分数乘法实际问题、折扣问题等内容，属于单元结构化复习课。教材编排分为两大板块：一是知识回顾梳理，引导学生自主回忆本单元知识点，沟通分数乘法和整数乘法的内在联系，感悟运算一致性；二是问题提出与巩固应用，依托教材例题原型、课堂活动、练习题，围绕计算辨析、积与因数大小关系、分数乘法实际问题展开，突出数形结合，借助面积图、线段图理解数量关系。教材不只是单纯巩固计算技能，更重在引导学生学会整理复习的方法，建立“意义—算法—应用”的完整逻辑链条，落实数与运算主题的教学要求，是单元知识内化、查漏补缺的关键一课。三、核心素养教学目标1.运算能力：梳理分数乘法的意义、计算法则，熟练进行分数乘整数、分数乘分数、分数连乘计算，掌握先约分再计算的简便策略，理解整数乘法运算律同样适用于分数乘法，能正确进行简便运算，感悟整数、分数运算的一致性，规范运算步骤，养成自觉约分、化简结果的习惯。2.推理意识：通过对比辨析，区分分数乘法两层意义，推理归纳积与因数大小变化规律；在分析实际问题的过程中，推理单位“1”、分率、对应量三者之间的关系，能说出列式依据，学会有理有据表达思考过程。3.几何直观：会用面积图理解分数乘分数的算理，会画线段图表示分数乘法实际问题中的数量关系，借助图形直观解释算式含义、分析分率关系，以形助数，化解抽象难点。4.模型意识：构建“单位‘1’的量×对应分率=对应量”的数学模型，能够识别一步、连续求一个数的几分之几、折扣等不同题型，运用模型分析、解决生活中的分数乘法问题。5.应用意识：在整理、交流、辨析的过程中，体会分数乘法在生活中的广泛应用，学会自主梳理单元知识的复习方法，主动发现自身知识漏洞，建立学好分数运算的信心。四、教学重难点教学重点：梳理分数乘法单元知识体系，熟练掌握分数乘法计算方法，理解分数乘法的意义，掌握分数乘法实际问题的解题思路。

教学难点：准确辨析分数乘法的意义，找准实际问题中的单位“1”，理解连续求一个数的几分之几的数量关系，灵活运用运算律简便计算。五、教学过程第一课时：梳理单元知识，复习分数乘法的意义与计算（一）情境导入，唤醒旧知教师：同学们，第一单元《分数乘法》我们已经全部学完了，今天我们一起来上一节整理与复习课。大家翻开教材，看一看本单元的标题，想一想，在这个单元里面，我们都学习了哪些内容？请大家先独立想一想，不用着急举手，可以在草稿纸上简单写一写关键词。

学生独立思考，简单记录。

教师：谁愿意来说一说，你想到了哪些知识点？

预设学生回答：分数乘整数、分数乘分数、分数乘法的意义、倒数、分数乘法应用题、折扣问题。

教师板书关键词：意义、计算、倒数、解决问题。

教师：大家想到的内容很多，但是知识点是零散的。今天我们第一步，就是把这些零散的知识串起来，形成完整的知识框架，弄明白分数乘法到底表示什么、该怎么算。

设计意图：开门见山，依托教材单元主题，唤醒学生原有记忆，让学生初步感知单元知识板块，明确本节课梳理知识的任务，为后续自主建构知识网络做好铺垫。（二）自主梳理，合作交流，搭建知识框架教师：请大家拿出准备好的学习单，我们可以用思维导图或者表格的形式整理本单元知识，同桌两人为一组，围绕两个问题展开整理：第一，分数乘法有哪两种形式，分别是什么意义？第二，分数乘法的计算方法是什么？整理的时候，可以举书上的例子辅助说明。给大家时间，同桌合作完成。

学生同桌合作整理，教师巡视，观察学生的整理方式，选取典型的思维导图、表格作品。

教师：我看到很多小组都完成了整理，现在请小组代表上台展示，说一说你们整理的内容。

小组1代表：我们分成了分数乘整数、分数乘分数两块。分数乘整数，比如教材上每人吃15个饼，4个人吃多少，算式15×4，表示4个15相加的和，和整数乘法意义一样，求几个相同加数的和的简便运算。分数乘分数，教材上耕地的例题35×12，表示求35的12是多少。

教师：说得非常清楚，我们一起来对照教材的例题，再次读懂这两层意义。大家看教材的主题情境图，分饼的例题，15×4，这里的4是份数，它代表相同分数相加，这是分数乘整数的意义；耕地例题教师板书计算法则，同步出示表格：类型意义计算方法教材示例分数乘整数求几个相同分数相加的和分子×整数，分母不变，能约分先约分1分数乘分数求一个数的几分之几是多少分子乘分子，分母乘分母，交叉约分3教师：大家看，教材例题里面，不管是分数乘整数还是分数乘分数，都提示我们先约分，再计算，谁来说一说，为什么要先约分？

预设学生回答：先约分，数字变小，计算更简单，不容易算错。

教师：没错，先约分是分数乘法非常重要的计算技巧，约分的时候，只能分子和分母交叉约分，整数只能和分母约分，不能和分子约分，这是大家最容易出错的地方。

教师：我们再来看倒数，教材专门安排了倒数的认识，倒数是为后面哪个知识做准备？

学生：分数除法。

教师：对，倒数是本单元的辅助知识点，我们只需要记住定义，会找一个数的倒数就可以。

设计意图：借助教材例题原型，让学生自主整理、合作交流，以表格、思维导图可视化呈现知识，把零散的知识点归类，打通意义和算法之间的联系，在辨析中抓住算理核心，落实运算能力、推理意识的培养。（三）结合教材习题，辨析计算，探究积与因数的规律教师：翻开教材整理与复习板块的算一算，我们一起来完成这一组算式：23×6、58×415、12×34、49×38。请四名同学板演，其余同学在练习本独立完成。

学生独立计算，板演完成后，全班一起订正。

教师：我们一起来看板演的四道题，先看23×6，这位同学是6和3先约分，得到2，再用2乘分子2，结果是4，这样做对不对？

学生：对。

教师：再看58×415，5和15约分，4和8约分，约分之后再相乘，结果是16。老师发现有同学没有先约分，直接分子乘分子、分母乘分母，算出来之后再约分，两种方法都可以，但是哪一种更简便？

学生：先约分。

教师：接下来我们再对比一组算式，大家观察：34×43、34×1、34×12，先算出结果，再对比积和第一个因数34的大小，小组讨论，你发现了什么规律？

学生计算、讨论，之后汇报。

预设学生：34（四）第一课时小结教师：这一节课，我们梳理了分数乘法的两大意义、计算法则、倒数的知识，还找到了积与因数的大小规律，学会了用运算律简便计算。下一节课，我们重点复习分数乘法解决实际问题，也就是教材里面的问题提出板块，一起来研究怎么找准单位“1”，用分数乘法解决生活问题。第二课时：分数乘法实际问题复习，模型建构与辨析（一）复习回顾，衔接旧知教师：上一节课，我们整理了分数乘法的意义和计算方法，谁来说一说，什么时候用分数乘法解决问题？

预设学生：求一个数的几分之几是多少的时候，用乘法。

教师：非常关键，一句话抓住了分数乘法应用题的核心。今天我们聚焦教材的“问题提出”板块，专门复习分数乘法的实际问题，这类题的关键就是找准单位“1”，我们先回忆，怎么找单位“1”？

学生：“是、占、相当于”后面的量，就是单位“1”。

教师：没错，单位“1”是标准量，找到单位“1”之后，我们就可以用一个数量关系式：单位“1”的量×对应分率=对应的量，这就是我们解决这类问题的模型。今天我们结合教材例题原型，分三类题型来梳理：一步计算、连续求一个数的几分之几、折扣问题。

设计意图：快速回顾上节课核心结论，引出本节课主题，抛出数量关系模型，为本节课的应用题复习搭建思维支架。（二）依托教材例题，分步复习三类实际问题教师：我们先看教材第一类基础题型，一步计算：一块菜地总面积800平方米，其中35用来种玫瑰，种玫瑰的面积是多少平方米？请大家先找出题目里的单位“1”，再试着画线段图，然后列式。

学生独立画图，列式，教师巡视。

教师：谁来说一说，这道题的单位“1”是谁？

学生：菜地总面积800平方米，是单位“1”。

教师：我们一起画线段图，先画一条线段，表示总面积800平方米，把它平均分成5份，取其中3份，就是种玫瑰的面积。算式怎么列？

学生：800×35=480（平方米）

教师：大家思考，为什么用乘法？

学生：求800的35是多少，所以用乘法。

教师：这是最基础的一步分数乘法问题，只要单位“1”已知，求它的几分之几，直接用单位“1”乘分率。我们再看教材里面的第二类，也是最难的题型：连续求一个数的几分之几。出示教材原题：学校图书室有故事书360本，科技书的本数是故事书的56，连环画的本数是科技书的34，连环画有多少本？

教师：这道题里面有两个分率，大家找一找，两个分率对应的单位“1”一样吗？同桌互相说一说。

学生讨论之后汇报。

学生：第一个分率56，单位“1”是故事书；第二个分率34，单位“1”是科技书。

教师：这就是连续求一个数的几分之几最容易错的地方，每一个分率，都有它对应的单位“1”，标准量在发生变化。我们可以分步列式，第一步先求科技书：360×56=300（本）；第二步，科技书是新的单位“1”，求连环画：300×34=225（本）。也可以列综合算式：360×56×34。

教师：我们一起画两条线段图，第一条线段代表故事书360本，求出科技书；第二条线段以科技书为标准，再求连环画。大家看，连续求几分之几，就是用原始的总量依次乘对应的分率。

教师：老师这里有一个易错辨析，很多同学会直接用360乘34，大家说一说，错在哪里？

学生：34的单位“1”不是故事书，是科技书，不能直接相乘。

教师：说得很好，做这类题，一定要做到：读一句，找一个单位“1”，分析一组数量关系，不能混淆标准量。

教师：接下来我们复习教材里的折扣问题，折扣本质也是求一个数的几分之几。教材例题：一件衣服原价240元，现在按原价的78（三）对比辨析练习，区分易混题型教师：我们来看教材整理与复习板块的对比题，大家仔细读题，对比两道题的不同：

题1：果园有梨树120棵，桃树是梨树的23，桃树有多少棵？

题2：果园有梨树120棵，桃树比梨树多23，桃树比梨树多多少棵？

教师：请大家独立完成，做完之后说一说两道题的区别。

学生独立完成，汇报。

学生：第一题，23对应的是桃树的总数，120×23=80棵；第二题，23对应的是多出来的部分，求多多少，120×23=80棵。

教师：两道题单位“1”都是梨树，但是分率对应的数量不一样，审题的时候，一定要看清分率对应的是哪个量，画图是帮助我们分清的好办法。

教师：老师再出示一道判断题，大家判断对错：一个数乘分数，积一定比这个数小。（四）综合练习，教材配套巩固教师：我们一起来完成教材问题提出后面的综合练习题：农场有山羊240只，绵羊的只数是山羊的56，小羊的只数是绵羊的35，小羊有多少只？大家先独立找单位“1”，画图，列式。

学生独立完成，指名汇报思路：先求绵羊，再求小羊，综合算式240×56×35六、全课小结教师：两节课的整理与复习到这里就结束了，我们一起来回顾整个单元的知识脉络。第一课时我们梳理了分数乘法的意义、计算法则、倒数、积与因数的大小规律、简便运算；第二课时我们重点研究分数乘法实际问题，提炼出“单位‘1’的量×对应分率=对应量”的模型，区分一步、连续求一个数的几分之几、折扣三类题型，知道了画图、找单位“1”是解题关键。

教师：分数乘法是分数除法、百分数学习的基础，今天我们不仅巩固了知识，还学会了用思维导图、表格整理单元知识的复习方法。课后大家可以继续完善自己的知识框架，把还没有弄懂的地方标记出来，及时查漏补缺。第二单元圆圆的认识一、学情分析六年级学生已学过长方形、正方形、三角形等直线图形，掌握周长和面积的含义，低年级直观辨认过圆，生活中对钟面、硬币、车轮比较熟悉，也有折、量、比研究图形的经验。困难有三处：用圆规画圆时针尖固定不住、两脚间距变化，圆画不封闭；判断直径时漏掉“通过圆心”；表述特征时丢掉“在同一个圆里”。“半径有无数条”也易变成机械记忆。二、教材分析本课是第二单元“圆”的起始课，属“图形与几何”领域，是小学阶段第一次系统研究曲线围成的平面图形。教材以主题图呈现校园里的圆形花坛、水池、拱门装饰和车轮；例1“说一说，画一画”由钟面、圆桌、车轮三幅实物图抽象出圆，再借圆规的“自我介绍”学习画圆；例2“认识圆”给出圆心、半径、直径的定义，并通过“议一议”——剪圆对折、量一量、比一比——发现半径和直径都有无数条、同一圆内长度分别相等、d=2r、圆是轴对称图形。两个课堂活动安排画同心圆与等圆、画半径2.5cm的圆并标注、画圆的对称轴。教材不给圆下定义，重在操作中发现，为后面圆的周长、面积和扇形的认识打基础。三、核心素养教学目标1.会用数学的眼光观察现实世界。能从钟面、车轮等实物中抽象出圆，说出圆是由一条曲线围成的封闭图形，发展几何直观和空间观念。2.会用数学的思维思考现实世界。经历折、量、画、比的过程，发现同一圆内半径与直径的特征及d=2r，能说明圆上任意一点到圆心的距离都相等，发展推理意识。3.会用数学的语言表达现实世界。能用字母O、r、d标注圆各部分，用“在同一个圆里，所有的半径都相等”规范表述，并解释车轮、井盖等现象，发展应用意识。4.养成先想后做、做完检验的习惯，体会圆在生活中的应用价值。四、教学重难点教学重点：认识圆心、半径、直径，掌握用圆规画圆的方法，理解同一圆内半径与直径的关系。教学难点：理解“圆规两脚间的距离就是所画圆的半径”；理解“在同一个圆里”这一前提的必要性。五、教学过程第一课时从生活中的圆到圆规画圆课前准备：圆规、直尺、剪刀、一张稍大的纸，以及瓶盖、硬币等圆形实物。（一）情境导入，从生活中找圆师：翻开课本第40页，看单元主题图。这是我们熟悉的校园，找一找，哪些地方藏着圆？生：花坛、水池是圆的，“连心桥”拱门上有圆形装饰，车轮也是圆的。师：课前请大家找圆，谁再补充？生：钟面、硬币、瓶盖、水杯口、餐桌转盘。师：圆在身边随处可见，这个单元就专门研究圆。（板书：圆的认识）看到课题，你想知道什么？生：圆怎么画？圆里面有什么？周长、面积怎么算？师：画法和圆里面的秘密，今天两节课解决；周长和面积后面研究。【设计意图】从主题图引入，把“生活里的圆”引向“数学里的圆”，让学生自己提出研究问题。（二）探究一：不用圆规，也能画出一个圆师：看例1“说一说，画一画”。（出示钟面、圆桌、车轮）圆在哪里？生：钟面的边缘、桌面的边沿、车轮的外圈。师：老师在黑板上画一个圆，它能代表你们说的这些圆吗？生：能，都是圆，只是大小不同。师：把轮廓描下来都是一个圆，所以圆是平面图形。只给一个点，你能画一个圆吗？（学生用瓶盖描圆，或用线一端固定、一端系笔旋转）师：怎么画的？两种画法有什么共同点？生：我用瓶盖沿边描一圈；用线按住一头，拉直转一圈。都有一个点不动，笔尖到那点的距离没变。师：点不动、距离不变，转一周就是圆。可用瓶盖描，大小由瓶盖定；要画任意大小的圆，得请专门的“帮手”。【设计意图】让学生自主画圆，在“点不动、距离不变”的经验中埋下圆的本质特征，并由实物画圆的局限引出圆规。（三）探究二：认识圆规，学会用圆规画圆师：看书上圆规的自我介绍：“我的一只脚固定在一点上，另一只脚绕着这个点旋转1圈，就画出了一个圆。”两只脚各有什么用？生：针尖固定，装铅笔的脚画圆。师：看清三个动作：针尖固定不动；量出两脚张开的距离，画时不能再变；绕针尖旋转一周。用三个字概括——生：定、量、转。师：（板书：定点、定长、旋转一周）照这样画三个圆。（学生画圆，教师巡视）师：有几位同学的“圆”缺口了，或成了“鸡蛋”，什么原因？生：针尖没按稳；两脚距离变了，圆规也斜了。师：针尖一动，圆心就变；两脚距离一变，大小就变。“定点”“定长”，一步都不能松。【设计意图】把画圆分解为可检查的三个动作，用真实的失误反推操作要点。（四）探究三：认识圆心、半径、直径师：看例2“认识圆”。画圆时针尖固定的点叫圆心，用字母O表示，请标出圆心。针尖换个位置，圆的位置会怎样？生：圆跑到别处去了，圆心决定圆的位置。师：从圆心到圆上任意一点的线段叫半径，用字母r表示。半径和圆规有什么关系？生：半径就是圆规两脚张开的距离，半径决定圆的大小。师：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径，用字母d表示。缺了“通过圆心”“两端都在圆上”中的一条，就不是直径。师：同桌互相考一考。（出示一组线段）哪条是半径？哪条是直径？为什么？生：从圆心到圆上的是半径。生：通过圆心、两头都到圆上的是直径；这条虽两头在圆上，没通过圆心，不是直径。师：判断直径，先看有没有通过圆心，再看两头是否都落在圆上。【设计意图】用“定义—标注—辨析”落实概念，把直径的两个必要条件放进反例中比较。（五）课堂活动：圆心定位置，半径定大小师：完成课堂活动第1题第（1）小题，画几个圆心在同一点、半径不相等的圆。（学生操作，展示一幅）师：位置怎样？大小怎样？由什么决定？生：位置相同，大小不同，由半径决定。师：再画几个圆心不同、半径相等的圆。大小、位置一样吗？生：大小一样，因为半径相等；位置不同，因为圆心不同。师：合起来说——圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。师：完成第（2）小题，画半径2.5cm的圆，标出圆心、半径、直径。两脚张开多少？怎么量？生：张开2.5cm，用直尺0刻度对准针尖，铅笔尖对准2.5cm。（学生画圆、标注）师：怎么检验画得准不准？生：从圆心到圆上任意一点量，应是2.5cm；直径应是5cm。师：为什么直径是5cm？生：直径是两个半径，2.5加2.5等于5。师：这个发现很重要，下节课专门研究。【设计意图】两个“画”把“圆心定位置、半径定大小”变成看得见的对比实验，并由“直径5cm”引出第二课时。（六）第一课时小结师：第一节课做了三件事：抽象出圆、用圆规画圆、认识圆心半径直径。圆和长方形、正方形有什么不同？生：长方形、正方形由线段围成，有顶点；圆由一条曲线围成，没有顶点，圆心到圆上任意一点的距离都相等。师：下节课把圆剪下来，折一折、量一量，看圆里还藏着什么。第二课时发现圆的特征课前准备：第一课时画好的圆、剪刀、直尺、练习本。（一）复习导入师：画圆哪三步最关键？生：定点、定长、旋转一周。师：这个圆里，圆心、半径、直径分别在哪里？请一位同学上来指一指、写一写。（学生板演）师：上节课留下一个问题：直径和半径有什么关系？今天弄清楚。（二）探究四：折一折、量一量，发现半径和直径的特征师：看例2下面的“议一议”：圆心到圆上任意一点的距离相等吗？先猜一猜。生：相等。师：猜了还要有依据。请在圆上从圆心向不同方向量出5条线段，记下长度。（学生测量、记录）师：说说数据。为什么都相等？生：我量了5条，都是2.5cm。半径就是连接圆心和圆上任意一点的线段，圆的边到圆心的距离处处一样。生：圆规画圆时两脚距离没变，圆上每个点到针尖的距离都相等。师：所以圆上任意一点到圆心的距离都相等。反过来说，各点到某一点的距离都相等，它就是圆。师：把圆剪下来，对折、展开，换方向再对折，折三四次。观察折痕，你发现了什么？生：每条折痕都经过圆心，两头都在圆上，都是一条直径。师：再折下去，折痕有多少条？直径、半径各有多少条？生：都是无数条。圆上有无数个点，每个点连到圆心都是一条半径。师：沿折痕对折，两条半径重合吗？多比几组，得出什么结论？（学生操作、比较）生：重合，一样长。在同一个圆里，所有半径都相等，所有直径也都相等。师：注意“在同一个圆里”。（出示一大一小两个圆）大圆半径3cm，小圆半径2cm，能说“所有圆的半径都相等”吗？生：不能，得说“在同一个圆里”。【设计意图】把“相等”从测量数据引向定义与画圆原理，“无数条”由“圆上有无数个点”推出，并用反例凸显前提。（三）探究五：直径和半径的关系师：一条直径被圆心分成几段？生：两段，都是半径。师：直径和半径是什么关系？用字母表示。生：直径是半径的2倍，d=2r；反过来r=d÷2。师：验证：半径2.5cm的圆，直径多少？直径8dm，半径多少？半径1.5m，直径多少？生：5cm；4dm；3m。师：这两个关系式只在同一个圆或相等的圆里才能用。请填空：r=2cm，d=（）；d=10cm，r=（）；r=0.8m，d=（）。（四）探究六：圆是轴对称图形师：沿一条折痕，也就是一条直径，把圆对折，两边能完全重合吗？这样的图形叫什么？生：能完全重合，是轴对称图形，折痕所在的直线是对称轴。师：圆的对称轴是什么？有多少条？生：直径所在的直线，有无数条，因为直径有无数条。师：是“直径所在的直线”，不是“直径”这条线段。正方形、长方形、等腰三角形、圆各有几条对称轴？生：4条、2条、1条、无数条。师：完成课堂活动第2题，画出两个圆的一条对称轴。这条直线必须经过哪里？生：圆心。师：如果圆没标出圆心，怎么找？生：对折两次，折痕交点是圆心；画两条直径，交点也是圆心。师：都对，用的就是“直径都经过圆心”。【设计意图】由折纸得出轴对称，再与已学图形对照；“找圆心”把特征转化为可操作的方法。（五）应用：用圆的特征解释生活现象师：车轮为什么做成圆形？车轴装在哪里？生：车轴装在圆心。师：行驶时，车轴到地面的距离是什么？变不变？生：是半径，不变。所以车走起来平稳，不忽高忽低。师：车轮做成正方形呢？生：会一颠一颠，因为边上的点到中心距离不一样。师：井盖为什么做成圆形？生：直径处处相等，怎么放都掉不下去。师：只要井口比井盖小一点，转到哪个方向都卡得住。圆桌也如此：桌心到桌边距离相等，夹菜方便，还没有尖角，更安全。（六）第二课时小结师：两节课下来，关于圆你知道了什么？生：圆由一条曲线围成；圆心定位置，半径定大小；同一圆里半径都相等、直径都相等，d=2r；圆是轴对称图形，有无数条对称轴。师：这些结论是怎么得到的？生：先看生活中的圆，再画圆，然后折一折、量一量、比一比。师：观察、操作、发现、验证，就是研究图形的方法。圆是曲线图形，很多结论要加“在同一个圆里”。下一节课研究圆的周长。六、小结两课时完成了“圆的认识”。第一课时从主题图和例1的钟面、圆桌、车轮中抽象出圆，认识圆是由一条曲线围成的封闭图形，通过圆规的“自我介绍”掌握“定点、定长、旋转一周”的画法，再借例2认识圆心、半径、直径，在课堂活动中体会“圆心定位置，半径定大小”；第二课时围绕“议一议”展开，量一量、折一折、比一比，发现圆上任意一点到圆心的距离都相等、半径和直径都有无数条、同一圆内长度分别相等、d=2r，并由对折重合认识圆是轴对称图形，最后用特征解释车轮、井盖等现象。主线是“看圆—画圆—识圆—探圆—用圆”，知识由具体到抽象、由操作到推理。学生获得的除了三个名词和一条关系式，还有研究曲线图形的经验：观察实物、动手操作、提出猜想、测量推理、解释现象，这套经验将用于圆的周长、面积和扇形的认识。教学把握三点：画圆技能当堂练到位，巡视中逐个纠正针尖固定与两脚距离；“在同一个圆里”在反例中强调；“无数条”“都相等”让学生说出理由。圆的周长一、学情分析六年级学生已认识长方形、正方形等直线图形，理解周长的含义，会计算这些图形的周长；在本单元“圆的认识”中已掌握圆心、半径、直径，知道d＝2r。学生也有直尺测量、小组记录数据、使用计算器的经验，具备开展本课实验的条件。困难集中在三处：曲线不能直接用直尺量，不易想到“把曲的变成直的”；对“商是固定数”缺乏经验，容易把测量误差当成圆的差别；对π的近似处理、已知周长求直径和半径比较生疏。学生爱动手，但容易停在“量完、算完”。本课以“操作—记录—比较—归纳—应用”为主线。二、教材分析本课是第二单元“圆”的第2节，在“圆的认识”之后、“圆的面积”之前，是学生第一次研究曲线图形的周长，也是周长概念由直线图形向曲线图形的拓展。教材以“滚铁环”引入：大小铁环滚一周走的距离不等，由此引出圆的周长有长有短，进而追问“圆的周长与什么有关”。本节安排3个例题、1个课堂活动和练习四。例1承担公式的探索：教材给出记录表，让学生自选几个大小不同的圆形物品，用绕绳或滚动量出周长和直径，算出周长除以直径的商并保留两位小数，从多组数据中发现“圆的周长总是直径的3倍多一些”，进而揭示圆周率，得出C＝πd、C＝2πr；材料不作统一规定，体现了探究的开放性。例2以车轮外直径0.71m求转一周前进的米数，示范“π取3.14参与计算、结果保留两位小数、用倍数关系估算检验”；例3以水池周长31.4m求直径和半径，引导用C＝πd列方程。课堂活动三项指向倍数比较、测量反求直径和半径、半圆与四分之一圆的变式辨析。教材编排有两个特点：一是先做后说，公式由学生在测量与计算之后归纳得出；二是正视误差，各组商不完全相同，正好成为讨论“固定数”的素材。本课是后续学习圆的面积、圆柱与圆锥的基础，分两课时实施，第一课时重在探究与建构，第二课时重在运用与提升。三、核心素养教学目标依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》“图形的认识与测量”主题的要求，确定如下目标。（1）会用数学的眼光观察现实世界。能从滚铁环、车轮、标志牌、水池等情境中识别出“围成圆的曲线的长”，说明圆的周长含义，发展空间观念。（2）会用数学的思维思考现实世界。经历“猜想—测量—计算—比较—归纳”，通过多组数据发现圆的周长总是直径的3倍多一些，理解圆周率是周长与直径的固定比值，由“周长÷直径＝π”推出C＝πd和C＝2πr，发展推理意识和数据意识；在绕绳、滚动中体会“化曲为直”。（3）会用数学的语言表达现实世界。能用字母公式表达圆的周长计算方法，说明“已知直径求周长”“已知周长求直径、半径”的条件与算法，规范列式或列方程，能用估算判断结果是否合理，发展运算能力与应用意识。（4）通过祖冲之与圆周率的史料，知道我国古代圆周率研究的成就，增强文化自信。四、教学重难点教学重点：理解圆的周长的意义；经历探索过程，理解圆周率的意义，掌握C＝πd、C＝2πr，并能正确计算圆的周长。教学难点：理解圆周率是周长与直径的固定比值，体会“化曲为直”；已知周长求直径、求半径时的逆向思考与列方程。五、教学准备教师：铁环实物或滚铁环视频、课件、大圆片、皮尺、圆规、数据汇总表。学生：每组大小不同的圆形物品4～5件（1元硬币、瓶盖、圆形纸片、纸筒等）、细绳、直尺、记号笔、计算器、记录表。六、教学过程第一课时探索圆的周长与直径的关系（一）从滚铁环说起，认识圆的周长师：请看教材上的图，两个同学在滚铁环。铁环滚一圈，走了多远？生：走的就是铁环一圈的长度。师：这一圈的长度，在数学上叫什么？生：叫周长。师：长方形的周长指的是四条边的总长。那这个铁环的一圈在哪里？谁愿意上来指一指？（一名学生上台，用手指沿铁环边缘走一圈。）师：他指的这一条，是一条什么样的线？生：是一条弯的曲线。师：请拿出桌上的圆片，同桌互相指一指，圆片的周长是哪一部分。（同桌互指，教师巡视，纠正只指半圈或指到圆面上的情况。）师：谁能用自己的话说一说，什么是圆的周长？生：围成圆的这条曲线的长。师：也可以说成一圈的长度。围成圆的曲线的长，叫做圆的周长。（板书：围成圆的曲线的长，叫做圆的周长。）师：图上两个铁环一大一小，滚一圈走的距离一样吗？生：不一样，大铁环一圈长，走得远。师：圆有大有小，圆的周长也有长有短。那么，圆的周长跟圆的什么有关？这就是今天要研究的问题。（板书课题：圆的周长。）【设计意图】把“滚一圈的距离”与“周长”对应起来，借指一指、说一说，让直线图形周长的旧经验迁移到曲线图形。（二）曲线不能直接量，想办法把它拉直师：我们会用直尺量长方形的周长。圆片的边是弯的，直尺能直接量吗？生：不能，直尺是直的。师：弯的边不能直接量，能不能想办法把它变成能直接量的？各小组用袋子里的材料试一试。（小组操作，教师巡视，关注绳是否贴紧圆边、是否绕满一周、直径是否量在最宽处。）师：哪个小组先来介绍？生：我们用绳子绕圆片一圈，在接头处做记号，再把绳子拉直量长度，就是圆片的周长。师：这叫绕绳法。绕的时候要注意什么？生：绳子要贴紧圆边，不松也不重叠，要绕满一整圈。生：也可以把圆片放在直尺上做个记号，从0刻度滚一圈，记号再次对着的刻度就是周长。师：这叫滚动法。要滚满一圈，不能滑动。师：大家看，绕也好，滚也好，最后我们量到的都是一条什么线？生：一条直的线段。师：我们把弯曲的曲线变成直的线段再量，这叫“化曲为直”。（板书：绕绳法、滚动法→化曲为直。）师：量学校圆形花坛的周长，绕绳、滚动方便吗？生：不方便，花坛太大，绳不够长，也没法滚。师：所以要找不用量、直接算的方法。要算，先得弄清圆的周长和什么有关。【设计意图】“怎么量”交给学生，绕与滚操作不同，数学上却指向同一件事——把曲线拉直，转化思想由此自然浮现。（三）实验探究：圆的周长与直径有什么关系师：大胆猜想，圆的周长可能和什么有关？生：和直径有关，直径越长，圆越大，周长越长。师：半径和直径有2倍关系，研究其中一个就够了。今天研究圆的周长和直径是几倍的关系。师：研究两个数量的关系，可以怎么做？生：看看一个数是另一个数的几倍。师：那就量出周长和直径，再算周长除以直径的商。教材给了记录表，填物品名称、圆的周长、圆的直径、周长除以直径的商，商保留两位小数。师：直径怎么量？生：把圆片对折，量折痕；也可以用两把直尺夹住圆片，量中间最宽处。师：直径是圆内最长的线段，必须量最长处。周长用绕绳或滚动，测量用毫米作单位，商保留两位小数。（小组测量、计算、填表；教师汇总各组数据。）表1圆的周长与直径的关系实验记录（学生汇总数据示例）圆形物品圆的周长/mm圆的直径/mm周长除以直径的商1元硬币78253.12瓶盖94303.13圆形纸片157503.14圆形纸筒251803.14结论圆的周长总是直径的3倍多一些，这个商是一个固定的数，即圆周率π。师：观察这张表，你发现了什么？先自己看，再和同桌说一说。生：每个圆的周长都比直径的3倍多一点，商都在3.1左右。圆变大，周长和直径也变大，商却差不多。师：有的商是3.12，有的是3.14，为什么不一样？生：绳子拉得松紧不同，刻度也看得不准，圆片还剪得不太圆。师：这是圆本身变了吗？生：不是，是测量带来的误差。师：如果工具更精密、量得更仔细，这个商会怎样？生：会越来越接近同一个数。师：数学家做了精确测量，发现不管圆多大多小，圆的周长除以直径的商都是一个固定不变的数，这个数叫做圆周率，用希腊字母π表示。（板书：圆的周长÷直径＝π。）师：π是一个无限不循环小数，π＝3.1415926……，写不完也不循环，计算时取它的近似值3.14。（板书：π≈3.14。）师：π表示什么意思？生：周长是直径的π倍。【设计意图】汇总数据让“固定数”从个别走向集体证据。学生亲历并解释误差，才能把“商不一样”归因于量得不准，而不是圆不一样。（四）读一段数学史：祖冲之与圆周率师：说到圆周率，要认识一位中国数学家。请翻到单元末“数学文化”，读一读“我国古代杰出的数学家——祖冲之”。师：祖冲之算出的圆周率在3.1415926和3.1415927之间，精确到小数点后第七位，领先世界约一千年。月球上有一座环形山以他命名。师：一千五百多年前没有计算器，只有笔和算筹，把π算到七位小数，你感受到什么？生：很了不起，我国古代数学很发达。师：今天按一下计算器就得到3.14，背后是上千年的推算。【设计意图】史料紧接π出现，让学生在知道3.14后追问它从哪来，文化自信有具体的知识落点。（五）由倍数关系写出公式师：既然周长总是直径的π倍，就可以用式子表示。用C表示周长，d表示直径，C等于什么？生：C＝πd。师：如果知道的是半径r呢？生：因为d＝2r，所以C＝π×2r＝2πr。（板书：C＝πd；C＝2πr。）师：计算圆的周长需要知道什么条件？只要知道直径或半径就能算，不必再量那条弯边，这就是公式的作用。生：知道直径或者半径。（六）课堂活动与练习师：课堂活动第1题，正方形边长和圆的直径相等，谁周长长？先不量。生：正方形周长是边长的4倍，圆周长是直径的3倍多一些，所以正方形长。师：用倍数关系就判断出来了，这是推理。师：练习四第1题：一块“禁行”标志牌的直径是50cm，周长是多少厘米？生：3.14×50＝157（cm）。师：估一估：50的3倍是150，结果应比150大一些，157合理。师：第3题：分针尖端到钟面中心15cm，分针转1周，尖端走过多少厘米？尖端转出的圆，半径是多少？生：半径是15cm，就是分针长；C＝2×3.14×15＝94.2（cm）。师：为什么用2πr不用πd？生：题目给的是半径。师：第4题在树干1.2m高处量得周长125.6cm，求直径，就不能再用乘法了，用除法，125.6÷3.14＝40（cm）。这类问题下一节课继续研究。第二课时用圆的周长公式解决问题（一）复习公式，提出新问题师：上节课得到两个公式，谁来说一说？生：C＝πd，C＝2πr。师：π取多少？为什么？生：取3.14，因为π是无限不循环小数，取近似值便于计算。师：上节课求树干直径用的是除法。今天把“已知周长求直径、半径”这类问题弄清楚。先看例2。（二）教学例2：车轮转一周前进多少米师：读题：自行车车轮的外直径是0.71m，车轮转1周，自行车前进多少米？得数保留两位小数。师：转1周前进的距离，和车轮的什么有关？生：就是车轮转一圈的长度，也就是车轮的周长。师：已知外直径0.71m，要求车轮的周长，怎么列式？生：3.14×0.71。（学生独立计算：3.14×0.71＝2.2294。）师：保留两位小数看哪一位？生：看第三位，是9，向前进1，得2.23。师：结果合理吗？估一估。生：0.71的3倍是2.13，周长比2.13大一些，2.23差不多。师：书写注意两点：π已取3.14作为数值参与计算，第一步不写“≈”；题目要求保留两位小数，最后一步用“≈”。（板书：3.14×0.71≈2.23（m）。答：车轮转1周，自行车约前进2.23m。）师：如果车轮转100周，前进多少米？生：2.23×100＝223（m）。用一个周长乘周数。【设计意图】先解决“求什么”再解决“怎么算”，“转一周的距离就是一个周长”才不停在字面。估算作为检验手段，逐步成为习惯。（三）教学例3：已知周长求直径和半径师：看例3：一个圆形水池的周长是31.4m，直径是多少米？半径是多少米？师：和例2比，已知和所求有什么变化？已知周长求直径，怎么做？生：例2已知直径求周长，这里倒过来，31.4÷3.14＝10（m）。师：还有别的方法吗？生：可以列方程。设直径是dm，根据C＝πd，列3.14d＝31.4。（学生解方程：3.14d＝31.4，d＝10；r＝10÷2＝5。）师：两种方法都对。列方程把公式当现成的等量关系用，思路更清楚。说说每一步的意思。生：3.14d＝31.4是代入公式；d＝10求直径；r＝5用直径求半径。师：检验一下：直径10m的圆，周长是3.14×10＝31.4（m），与题目条件相符。所以直径10m，半径5m。师：如果题目直接问半径，可以怎样列式？生：31.4÷3.14÷2＝5（m）。师：也可以写成31.4÷(3.14×2)。注意运算顺序，先求直径，再除以2求半径。【设计意图】例3的价值在让学生看到公式可以正用也可逆用，方程把逆用变成顺向的等量关系；两种写法并列，照顾不同水平。（四）课堂活动：测量、反求与变式辨析师：课堂活动第2题：测量一个圆形物品的周长，再算出它的直径和半径。量的时候用什么单位？生：用毫米，结果准一些。（学生操作，如量得瓶盖周长220mm：直径220÷3.14≈70mm，半径70÷2＝35mm。）师：算出的直径和直尺量出的比一比，接近吗？差别来自哪里？生：很接近，差一两毫米，是绳没贴紧或滚动时滑了一点。师：公式结果可靠，差别来自测量。树干、大水池不便量直径，量周长再算更方便。师：课堂活动第3题，这两个图形的周长包括哪几条线？半圆的周长是圆周长的一半吗？生：半圆是一条直径加一条弧，还要加上直径；四分之一圆是两条半径加一段弧，要加上两条半径。（学生测量、计算、汇报，教师板演：3.14×d÷2＋d。）师：解决这类图形，第一步要做什么？生：先看清周长由哪几条线围成。【设计意图】易错处不在计算，而在“周长指哪条线”。用“包括哪几条线”把错误提前暴露，比事后纠错有效。（五）练习四第4～7题师：第5题：每个铁环用1.5m铁条做成，直径多少米？保留一位小数。生：1.5÷3.14≈0.5（m）。师：为什么是除不是乘？生：1.5m是一圈的长度，已知周长求直径，用除法。师：第6题：车轮直径0.6m，走过47.1m钢丝，车轮转多少周？先求什么？生：先求周长3.14×0.6＝1.884（m），再算47.1÷1.884＝25（周）。师：为什么用除法？生：总路程里有几个车轮周长，就转几周。师：第7题：直径10m的圆形展区，半径向外延伸2m，新展区周长多少米？最容易错在哪？生：容易把直径算成10＋2。师：延伸的是半径，而且一圈都向外延伸，两边各加2m。新的直径是多少？生：10＋2＋2＝14（m），周长3.14×14＝43.96（m）。师：也可以先求半径10÷2＋2＝7（m），再算2×3.14×7＝43.96（m）。画个草图把延伸部分标出来，就不会错。【设计意图】四题分别指向已知周长求直径、周长乘周数、总路程除以周长、半径变化引起周长变化，审题重点在条件的变化。（六）课堂小结师：两节课下来，我们做了哪些事？按顺序说一说。生：先认识圆的周长是围成圆的曲线的长，再用绕绳、滚动把曲线拉直量出来。生：然后量周长和直径算商，发现周长总是直径的3倍多一些，认识π≈3.14，得到C＝πd和C＝2πr。生：最后用公式算车轮、标志牌、水池，还倒过来求直径和半径。师：用一句话概括这两节课的方法。生：曲的拉直来量，量了找规律，找到规律用公式算。师：用公式要看条件：已知直径用C＝πd，已知半径用C＝2πr；已知周长求直径用周长÷π，求半径再除以2，也可列方程。先想清楚要求的是哪条线。（板书形成关系式：C＝πd与d＝C÷π；C＝2πr与r＝C÷π÷2。）七、板书设计圆的周长围成圆的曲线的长，叫做圆的周长。绕绳法滚动法→化曲为直圆的周长÷直径＝ππ≈3.14（无限不循环小数）C＝πdC＝2πrd＝C÷πr＝C÷π÷2例23.14×0.71≈2.23（m）例33.14d＝31.4d＝10r＝5八、教学小结本课以“量—算—比—用”串起两课时。第一课时解决“圆的周长是什么、怎么量、与什么有关”，第二课时解决“公式怎么用、反过来怎么求”。这一分工来自教材编排：例1探索公式，例2、例3应用与逆用，课堂活动和练习四分别配套。教学中要守住三件事：把测量的权利交给学生，绕绳、滚动是学生在“直尺量不了弯边”的困境中想出来的；把误差摆到桌面上讨论，各组的商不同不是干扰，而是理解“固定数”的最好素材；把公式的两个方向讲透，C＝πd与d＝C÷π、C＝2πr与r＝C÷π÷2本质是同一关系的两种用法。学生易错处集中在三处：把π取3.14与“保留两位小数”混在一起，多写或少写“≈”；已知周长求半径时忘了再除以2；算半圆、四分之一圆时漏掉直的边。这些不是公式记不住，而是条件看不清、步骤不完整。后续练习应坚持先说“已知什么、求什么、求哪条线”，再列式并检验结果。本课的探究经验可直接迁移到下一节“圆的面积”：同样是先估、再量、后归纳，同样需要把未知转化为已知。因此本课不必把结论讲满，留一点“周长能算，面积能不能算”的悬念，正是单元推进的接口。圆的面积一、学情分析六年级学生已学过圆的认识与圆的周长，知道半径决定圆的大小，能用C=πd、C=2πr求周长；在平行四边形、三角形、梯形的面积学习中经历过“割补—转化—推导”的全过程，有剪拼经验和转化意识，也用过方格纸估算面积。本课有三处障碍。一是圆由曲线围成，学生难以自主想到“化曲为直”，剪拼时易把“近似”说成“就是”，说不清面积不变的前提。二是份数增加使图形越来越接近长方形，这一变化需要空间想象支撑，部分学生停留在操作层面，找不出长、宽与圆周长的一半、半径的对应关系。三是应用中常把直径直接代入公式、把r²算成2r、已知周长求面积时漏除以2，这些错误源于“求面积必须先有半径”这一前提尚未稳固。因此第一课时要把剪拼和标注做实，宁可少讲一题，也要让人人经历一次从曲线到直线的转化；第二课时用具体算式纠正三类典型错误。二、教材分析《圆的面积》是第二单元《圆》的第3节，也是小学阶段平面图形面积计算的收官内容，上承圆的认识与周长，下启圆柱、圆锥的表面积与体积，在知识链条上具有“由直到曲、再由曲到直”的转折意义。教材分两段编排。第一段重猜想与推导：先以喷灌设备旋转一周形成圆形草坪为情境，把“求喷灌面积”还原为“求圆的面积”；再以半径为边长画正方形，通过“比2个r²大、比4个r²小”的比较和方格纸计数（一个r²是16格，四分之一圆约13格，整圆约52格，52约是16的3倍多），得到“圆的面积是r²的3倍多”；随后把圆平均分成8、16、32、64份，剪拼成近似平行四边形、近似长方形，发现“份数越多越接近长方形”，再由“长相当于圆周长的一半、宽相当于半径”推出S=πr²。第二段重应用：由射程求喷洒面积，由水缸口直径求盖子面积，由场地周长求占地面积，把三种条件统一到“先求半径”。教材有两条暗线：一是转化思想与极限思想的初步渗透，教材不出“极限”一词，而用“份数越多越接近”让学生感受；二是模型建构，即从图形对应关系抽象出S=πr²。方格纸估算不是过场，它是公式出现前的量的预期，缺了它，公式就成了天上掉下的结论。四、核心素养教学目标1.几何直观。能借助正方形、方格纸和剪拼后的近似长方形，直观说明圆的面积与r²的倍数关系，能在图上指出长、宽对应的部分。2.空间观念与推理意识。在8、16、32、64份的等分与拼接中，想象“份数增多、曲线渐直”的变化，形成曲直互化的空间表象；能有依据地由长方形面积公式推出S=πr²，说清“面积不变”“长是πr”“宽是r”每一步的道理。3.模型意识。理解S=πr²是刻画圆的大小的数学模型，能说明各字母的含义、运算顺序和适用条件。4.运算能力与应用意识。能正确计算πr²，能由半径、直径或周长先求半径再求面积，解决喷灌、做盖子等实际问题并解释结果。五、教学重难点教学重点：理解并掌握圆的面积公式S=πr²，能正确计算圆的面积。教学难点：理解“化曲为直”的转化过程，说清剪拼后长方形的长、宽与圆周长的一半、半径的对应关系，从而有依据地推导公式。突破办法是三级台阶：方格纸估算让“3倍多”成为看得见的数；8至64份的拼图对比让“近似”成为可比的事实；用彩笔在长方形上标“长”“宽”、到圆片上找对应部分，把对应关系固定在图形上。本课易错点为直径直接代入、r²算成2r、已知周长求面积漏除以2π。前两处随第一课时例题即时纠正，第三处第二课时集中辨析。六、教学准备教师：课件（喷灌情境、方格纸图、8至64等份剪拼动画）、8等份与16等份圆片各一个、圆规、直尺、剪刀、磁性贴板。学生：每人两张半径5厘米的圆形纸片、方格纸、剪刀、直尺、彩笔。七、教学过程（一）第一课时：圆的面积公式的推导1.情境引入，揭示课题师：看屏幕，草坪上有一个自动喷灌装置。喷头转动一周，水洒过的地方是什么形状？生：圆形。师：喷头到最远处水珠落点的距离是5米，相当于圆的什么？生：半径。师：要知道这个喷头一次能浇灌多大面积的草坪，就是求什么？生：求圆的面积，也就是圆所占平面的大小。师：前面我们学过圆的周长，那是曲线的长度；今天研究的是圆所占平面的大小。（板书课题）回忆一下，学平行四边形、三角形、梯形的面积时用的是什么办法？生：把它们转化成学过的图形，再推出公式。师：对，是转化。今天能不能把圆也转化成会算面积的图形？先不急着剪，先估一估圆的面积有多大。【设计意图】用喷灌情境把求面积变成真实需求，用一句回忆把转化提到前台，为剪拼定向，避免学生拼完不知要干什么。2.借助正方形，估出“3倍多”师：以圆的半径为边长画一个正方形，它的面积是多少？生：r×r，也就是r²。师：这样的正方形，圆里能放下几个？生：2个肯定放得下，4个放不下。师：所以圆的面积比2个r²大，比4个r²小。到底相当于几个r²？把半径