2026-2027学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高三上学期9月月考性考试数学试卷（含解析）（含答案）

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求1.已知是虚数单位，若复数，则的虚部为（）A. B. C. D.2.函数，则函数的定义域为（）A. B.C. D.3.已知向量满足，且，则的值为（）A. B. C. D.04.正项等差数列的公差为，已知，且，，三项成等比数列，则（）A. B.3 C.1 D.5.将图象向左移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则（）A. B. C. D.16.圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A.30m B.20m C. D.7.已知等比数列的公比为，其前项积为，且满足，，，则（）A. B.C.是数列中的最小项 D.若，则的最小值为40538.若函数的最小值为，则（）A.1 B. C.e D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有（）A.设，，则“”是“”的充分不必要条件B.若，则C.若，，则D.当时，的最小值是210.已知平面向量，满足，且．设实数，，，则（）A. B.C.，的夹角为钝角 D.的最大值为211.已知，记数列的前项和为，则下列说法正确的有（）A.对任意， B.C.若，则 D.当数列是等差数列时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设平面向量，，且，则______．13.已知数列满足，，则______．14.在中，内角，，的对边分别为，，，点是边上靠近的三等分点．若，，则的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，正三棱柱中，为中点．（1）求证：平面；（2）若，点在棱上，且，求直线与平面所成角的正弦值．16.已知数列满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求的前项和．17.把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数1，，，（为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为．（1）计算的值；（2）用表示“”这一事件，求事件的概率；（3）设复数的实部为，求的分布列及数学期望．18.已知（其中，），函数相邻的极小值点和极大值点分别为和．直线为函数在轴右侧与轴距离最近的对称轴，且分别交函数的图象和轴于，两点，点为线段上一动点．（1）求函数的表达式，并写出其增区间；（2）设的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求的取值范围；（3）设，记，请写出关于的函数表达式，并求的最小值．19.牛顿在《流数法》一书中，利用迭代思想给出了一种求高次代数方程近似解的方法：牛顿法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解，称数列为函数的牛顿数列.（1）若的零点为，请用牛顿法求的2次近似值.（2）设函数的两个零点分别为，数列为函数的牛顿数列且.已知数列满足.（i）求和的关系；（ii）证明.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求1.已知是虚数单位，若复数，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，则的虚部为.2.函数，则函数的定义域为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：先求的定义域,再结合复合函数定义域的方法求解即可.解答过程：要使函数有意义，则，即，解得或，所以函数的定义域为对，令，则，所以或，解得或所以定义域为.3.已知向量满足，且，则的值为（）A. B. C. D.0答案：A解析：思路：根据向量数量积进行求解，判断选项.解答过程：根据题意可得，.故选：A.4.正项等差数列的公差为，已知，且，，三项成等比数列，则（）A. B.3 C.1 D.答案：B解析：思路：利用等比中项性质可知，，再应用等差数列的性质即可求解.解答过程：因为，，三项成等比数列，所以，故，结合可得，解得或（负值舍去）.5.将图象向左移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则（）A. B. C. D.1答案：A解析：思路：三角函数图像平移遵循“左加右减”，正弦型函数为偶函数的核心条件是相位为，由此锁定，再代入计算即可．解答过程：由题，，因为为偶函数，所以，即，又，所以，则．6.圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A.30m B.20m C. D.答案：C解析：思路：在中由正弦得出AM，再结合中由正弦定理得到CM，进而能求CD．解答过程：由题意知：，则，在中，，在中，由正弦定理得，所以，且在中，(m)．故选：C．7.已知等比数列的公比为，其前项积为，且满足，，，则（）A. B.C.是数列中的最小项 D.若，则的最小值为4053答案：D解析：思路：根据已知分析得且，结合等比数列的性质及的定义依次判断各项的正误．解答过程：已知等比数列，，，说明与异号，即一项大于1，一项小于1，又，故同号，则，故A错误；结合，若，则，矛盾，因此，数列单调递减，由此得，，故B错误；是数列中的最大项，故C错误；，，又，则，所以若，则的最小值为4053，故D正确．8.若函数的最小值为，则（）A.1 B. C.e D.答案：D解析：思路：设函数在处取得最小值，其中，故有，进而可得，即，然后可得，再检验即可．解答过程：设函数在处取得最小值，其中，故有．由，得．又，所以，整理得．因为，所以，从而．当时，．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以在处取得最小值，且，符合题意．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有（）A.设，，则“”是“”的充分不必要条件B.若，则C.若，，则D.当时，的最小值是2答案：ABC解析：思路：对A由充分不必要条件的定义可以判断得出；对B由存在量词命题的否定可得结果；对C由不等式的性质可得结果；对D可用基本不等式判断.解答过程：对于A：“”时一定有“”，但“”不能推出“”，故“”是“”的充分不必要条件，A正确；对于B：存在量词命题的否定是全称量词命题，若，则有，故B正确；对于C：由，得，又，由同向不等式可加性有，所以C正确；对于D：因为，有，所以，当且仅当，即时等号成立，故当时，的最小值是3，D不正确.10.已知平面向量，满足，且．设实数，，，则（）A. B.C.，的夹角为钝角 D.的最大值为2答案：ABD解析：思路：根据给定条件，利用向量线性运算判断A；利用数量积的运算律及夹角公式求解判断BCD.解答过程：对于A，，故正确；对于B，所以，即，故正确;对于C，因为，，故与夹角为锐角，不是钝角，故错误;对于D，因为，开口向下，对称轴，所以,故正确.11.已知，记数列的前项和为，则下列说法正确的有（）A.对任意， B.C.若，则 D.当数列是等差数列时，答案：ACD解析：思路：对于A，将原递推公式的替换为,得，再利用递推公式即可判断；对于BC，使用分组求和解决；对于D，利用等差数列的性质，先求出通项公式，再求出.解答过程：对于A，将原递推公式的替换为,得，又，两式相减可得，故A选项正确；对于B，，故B选项错误；对于C，，故C选项正确；对于D，当数列是等差数列时，设公差为，则，，令，则即，，所以，，故D选项正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设平面向量，，且，则______．答案：##解析：思路：由向量平行坐标表示结合同角三角函数关系可得答案.解答过程：因，则.13.已知数列满足，，则______．答案：4解析：思路：根据递推关系，求出数列的前5项，得到数列的周期，根据周期性求出问题.解答过程：由题意得，由于递推关系是相邻两项的关系，所以数列是周期为3的周期数列，故.14.在中，内角，，的对边分别为，，，点是边上靠近的三等分点．若，，则的最大值为______．答案：解析：思路：设，，在和中利用余弦定理得，构造函数利用三角换元求最值即可.解答过程：设，因D是AB上靠近B的三等分点，故记，已知，，则，在中：由余弦定理，得，则，在中：由余弦定理，得，则有，由，得，解得，则有，求的最大值，由且可知，取，设，令，，满足且，则有，所以，当时，，，所以的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，正三棱柱中，为中点．（1）求证：平面；（2）若，点在棱上，且，求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明：连接交于，连接，为中点，为中点，，而平面，平面，平面．（2）解析：思路：（1）利用中位线找到线线平行，依据线面平行判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面法向量与直线方向向量，代入线面角向量公式计算正弦值.（1）略（2）取的中点，由正三棱柱得，则平面.为等边三角形，为的中点，.以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，则，，，设平面的法向量为，即令∴平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，，即直线与平面所成角的正弦值为．16.已知数列满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求的前项和．答案：（1）（2）解析：解答过程：（1）因为，所以，所以数列为以为首项，4为公比的等比数列，所以，所以；（2）由（1）可知，设数列的通项公式为，前项和为，数列的通项公式为，前项和为，则，所以，则，所以，又，所以．17.把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数1，，，（为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为．（1）计算的值；（2）用表示“”这一事件，求事件的概率；（3）设复数的实部为，求的分布列及数学期望．答案：（1）（2）（3）01解析：思路：(1)利用虚数单位i的幂次周期为4的性质，每连续四项相加和为0，对2027项分组，余下几项单独计算；(2)连续抛两次，总基本事件共16个，枚举满足的组合，用古典概型求概率；(3)先求出的所有可能取值，分别数对应基本事件个数写出分布列，再按期望公式计算.（1）因为i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1，所以i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝0(n∈N)，因为，所以.（2）所有的基本事件个数有（个），包含的基本事件有、、、共4个，所以．（3）由题意可知，随机变量的可能取值为-1、0、1，所包含的基本事件有：、、、，共4个，所包含的基本事件有：、、、、、、、，共8个，所包含的基本事件有：、、、，共4个，所以，，，，的分布列为01所以．18.已知（其中，），函数相邻的极小值点和极大值点分别为和．直线为函数在轴右侧与轴距离最近的对称轴，且分别交函数的图象和轴于，两点，点为线段上一动点．（1）求函数的表达式，并写出其增区间；（2）设的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求的取值范围；（3）设，记，请写出关于的函数表达式，并求的最小值．答案：（1），（2）（3），解析：思路：（1）根据相邻的极值点间的距离为求出，再代入极值求出解析式；（2）根据求出，再根据余弦定理及基本不等式求出的范围；（3）利用的三角函数表示出，再利用导数判断其单调性，从而求出最小值.（1）设的最小正周期为，则由题可知，，而，解得，则；在处取得极大值，，，又因为，故，，则令，，解得，即的增区间为（2）因为，因为，所以，又因为，所以由余弦定理，即，即．而，当且仅当时取等号，所以，即，又因为，所以，即．（3）由题可知，为轴右侧最接近轴的极大值点，而正弦型函数的极值点同时也是其对