2026-2027学年黑龙江省齐齐哈尔市克东县第一中学高二上学期第一次质量检测数学试卷（含解析）（含答案）

/数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.直线，，则“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3.已知空间向量，若共面，则实数的值为（）A.0 B.-1 C.1 D.4.在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（）A. B.C. D.5.已知点.若直线与线段相交，则的范围是（）A. B.C. D.6.如图，已知大小为的二面角的棱上有两点A、B，，，，，若，，，则CD的长为（）A.67 B.49 C.7 D.7.著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（）A.1 B. C. D.28.在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系，若任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：已知分别为“空间斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，以为基底建立“空间斜坐标系”，若，且与的夹角为，则（）A. B. C. D.2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若空间向量，，则在上的投影向量为B.已知，，则点到直线的距离为C.若对空间中任意一点有，则，，，四点共面D.若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则10.已知四面体满足，则（）A.直线与垂直B.二面角平面角的余弦值为C.向量在向量上的投影为D.四面体的体积为11.2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（）A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是B.将军在河边饮马的地点的坐标为C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是D.“将军饮马”走过的总路程为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.平行直线与之间的距离为_____．13.已知，，则的最小值为__________．14.在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点，则点到平面的距离是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．15.已知，.（1）求向量的坐标；（2）设向量，，求；（3）若，求的值.16.已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．（1）求点的坐标；（2）求直线的方程．17.如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，的中点为，底面.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.（1）已知直线，．若，求的值；（2）已知直线，点，求点关于直线的对称点的坐标；（3）已知直线，是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由．19.如图，在平面四边形中，为边长为2的正三角形，，点为的中点，沿将折起得到四棱锥，且.（1）证明：；（2）点为线段上的动点（不含端点），当平面与平面的夹角为时，求的值.

数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据直线方程和倾斜角定义求解.解答过程：直线为平行于轴的直线，所以倾斜角为.故选：B2.直线，，则“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要答案：C解析：思路：假设，结合平行的性质计算可得，再利用充分条件与必要条件定义即可得解.解答过程：若，则，即，解得或，当时，，，此时两直线重合，不符合；当时，，，符合要求；综上，可得，故“”是“”的充要条件.故选：C.3.已知空间向量，若共面，则实数的值为（）A.0 B.-1 C.1 D.答案：C解析：思路：根据空间向量共面的性质进行求解即可.解答过程：共面，，，解得.故选：C4.在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用向量的加减法运算和向量基本定理进行变形.解答过程：如图所示：，因为分别为，的中点，所以，，所以．5.已知点.若直线与线段相交，则的范围是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：先求直线恒过的定点，再应用两点式求斜率，根据斜率范围求参即可.解答过程：直线恒过定点，又，直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，，解得.故选：A.6.如图，已知大小为的二面角的棱上有两点A、B，，，，，若，，，则CD的长为（）A.67 B.49 C.7 D.答案：C解析：思路：过A作且，连接、，易得，通过线面垂直的判定定理可得平面，继而得到，即可求出答案．解答过程：过A作且，连接、，则四边形是平行四边形，因为，所以平行四边形是矩形，因为，即，而，则是二面角的平面角，即，因为，即为正三角形，所以，因为，，即，，，平面，所以平面，因为平面，所以，所以在中，，所以，．故选：C．7.著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（）A.1 B. C. D.2答案：B解析：思路：将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解．解答过程：由所求的式子的形式想到距离之差，，可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差，则（当且仅当三点共线时取等号），所以的最大值为．故选：B.8.在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系，若任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：已知分别为“空间斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，以为基底建立“空间斜坐标系”，若，且与的夹角为，则（）A. B. C. D.2答案：B解析：思路：由题意，根据新定义及空间向量的运算即可求解．解答过程：设分别为与同方向的单位向量，则．得，，由题可得，即，即，解得．故选：B方法提示：方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若空间向量，，则在上的投影向量为B.已知，，则点到直线的距离为C.若对空间中任意一点有，则，，，四点共面D.若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则答案：AC解析：思路：对于A，应用求解即可；对于B，应用求解即可；对于C，转化为即可判断；对于D，可证得，但线面关系可有两种情况.解答过程：解：对于A项：在上的投影向量为，故A正确；对于B项：，故B错误；对于C项：因为，所以，所以，即，所以，，，四点共面，故C正确；对于D项：因为，所以，则或，故D错误；故选：AC10.已知四面体满足，则（）A.直线与垂直B.二面角平面角的余弦值为C.向量在向量上的投影为D.四面体的体积为答案：AD解析：思路：构造长方体，由长方体的特征可判定A项，建立空间直角坐标系，借助空间向量可判定B、C项，利用割补法计算体积可判定D项.解答过程：如图，构造长方体，因，则可得，此时四面体符合题目条件.建立空间直角坐标系，则，对于A，由长方体的特征可知，又底面为正方形，即，所以，故A正确；对于B，易知，设平面和平面的法向量分别为，则故可取；则，故可取.设锐二面角的平面角为，则，故B错误；对于C，易知，则在上的投影为，故C错误；对于D，由图易知四面体的体积等于长方体的体积减去四个大小相同的小三棱锥的体积，即，故D正确.故选：AD11.2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（）A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是B.将军在河边饮马的地点的坐标为C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是D.“将军饮马”走过的总路程为答案：BD解析：思路：求出点关于直线的对称点为，直线的方程为即为从出发点到河边的路线，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为，可得B正确；直线的方程为即为从河边回军营的路线，可得C错误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为，可知D正确.解答过程：由题可知在的同侧，设点关于直线的对称点为，如下图所示：则，解得；即.将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又，所以直线的方程为，故错误；设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点，联立两直线方程解得，故B正确；将军从河边回军营的路线所在直线为，又，所以直线的方程为，故C错误；总路程，所以“将军饮马”的总路程为，故D正确.故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.平行直线与之间的距离为_____．答案：##解析：思路：首先将两方程的、前面的系数化成一致，再由距离公式计算可得.解答过程：因为直线，即，所以平行直线与之间的距离.故13.已知，，则的最小值为__________．答案：解析：思路：将题中所给的问题转化为几何问题，再进行求解即可.解答过程：由题可知，，表示边长为1的正方形区域内点的集合.表示动点到定点四点的距离之和,于是题目转化为求该距离的最小值.因为两点之间线段最短，所以到的距离之和的最小值为正方形对角线长度.同理，到的距离之和的最小值为正方形对角线长度.此时原式最小值为.当且仅当为正方形对角线交点，即时等号成立.14.在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点，则点到平面的距离是__________.答案：##解析：思路：建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.解答过程：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，，设平面的一个法向量为，则，令，可得，又因为，所以点到平面的距离为.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．15.已知，.（1）求向量的坐标；（2）设向量，，求；（3）若，求的值.答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）利用向量的坐标运算求出.（2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解.（3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出.（1）由，得；（2）由（1）得，而，因此，所以；（3）由（1）知，，由，得，所以.16.已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．（1）求点的坐标；（2）求直线的方程．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）由垂直关系求出直线的方程，再求出两直线的交点坐标即得.（2）设出点的坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，再利用两点式求出直线方程.（1）由边上的高线所在的直线方程为，得直线的斜率为1，直线方程为，即，由，解得，所以点的坐标是.（2）由点在直线上，设点，于是边的中点在直线上，因此，解得，即得点，直线的斜率，所以直线的方程为，即.17.如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，的中点为，底面.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）因为平面，又平面，所以，因为底面为等腰直角三角形，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以侧面为菱形，所以又，平面，所以平面．（2）．解析：思路：（1）由线面垂直的性质定理得到，即可得到平面，从而得到，再说明，即可得证；（2）取的中点，连接，即可得到面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.（1）略（2）取的中点，连接，则，所以面，以为坐标原点，所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，所以，则，所以，，由（1）可知平面，所以平面的一个法向量，所以，所以直线与平面所成角正弦值．18.（1）已知直线，．若，求的值；（2）已知直线，点，求点关于直线的对称点的坐标；（3）