2026-2027学年湖北省荆州市荆州中学高一上学期9月月考数学试卷（含答案）

/数学一、单选题（每题5分，共计40分）1.集合可化简为（）A. B. C. D.2.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（）A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数，使C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数，使3.有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（）A.①③ B.②④⑤ C.①②⑤⑥ D.③④4.已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（

）A. B.C.或 D.5.设a，b是实数，则""是""的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知，且，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.7.已知正数满足，则的最小值是（）A.17 B.16 C.15 D.148.当时，的最小值是（）A. B. C. D.二、多选题（每题6分，共计18分）9.已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（）A. B. C. D.10.已知集合为全集，集合均为的子集．若，，，则（）A. B.C. D.11.非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（）A.若A为一个“封闭集”，则B.若A为一个“封闭集”，且，则C.若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或D.若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或三、填空题（每题5分，共计15分）12.已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是__________．13.已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.14.已知表示中的最小值，若，则的最大值是__________.四、解答题（共5题77分）15.设，且，试比较与的大小．16.已知集合，.（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围.17.已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立.（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若q和p一真一假，求实数m的取值范围.18.已知正数满足.（1）求证：；（2）求的最小值；（3）求的最小值.19.已知集合．（1）若，求；（2）设中所有的元素均为正数，中元素的个数为，求的最小值；（3）若，求．

数学一、单选题（每题5分，共计40分）1.集合可化简为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据集合的概念直接求解.解答过程：由，解得或，又因为，所以，所以集合可化简为.故选：C2.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（）A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数，使C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数，使答案：B解析：思路：判断ACD为假命题，B是存在量词命题又是真命题，得到答案.解答过程：对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题；对选项B：是存在量词命题，当时，成立，所以B正确；对选项C：，故C为假命题；对选项D：对于任何一个负数，都有，所以D为假命题.故选：B3.有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（）A.①③ B.②④⑤ C.①②⑤⑥ D.③④答案：D解析：思路：根据集合相等的定义、子集的定义、空集的性质，结合元素与集合的关系进行判断即可.解答过程：对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；对②：因为集合，故正确，即②正确；对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确；对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；对⑥：显然成立，因此⑥正确．综上，本题不正确的有③④，故选：D4.已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（

）A. B.C.或 D.答案：B解析：思路：利用集合的交集、补集运算得到答案.解答过程：由图可知，阴影部分表示的集合为，因为或，所以，因为，所以，故选：B.5.设a，b是实数，则""是""的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：D解析：思路：举出反例，得到充分性和必要性均不成立，得到答案.解答过程：充分性，不妨令，此时满足，但，充分性不成立，必要性，不妨令，此时满足，但，必要性不成立，故是的既不充分也不必要条件.故选：D6.已知，且，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：由，且可得，且因为，所以又因为，所以，所以7.已知正数满足，则的最小值是（）A.17 B.16 C.15 D.14答案：A解析：思路：先凑配，再利用基本不等式求解即可.解答过程：，当且仅当，即时，取得最小值，故取得最小值.故选：A.8.当时，的最小值是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：当时，，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，的最小值是.二、多选题（每题6分，共计18分）9.已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（）A. B. C. D.答案：CD解析：思路：由成立的充要条件求出对应的参数的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解.解答过程：当且仅当是的子集，当且仅当，即，对比选项可知使得成立的充分不必要条件有，.故选：CD.10.已知集合为全集，集合均为的子集．若，，，则（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：根据题意列出韦恩图，根据集合间的关系逐个判断即可.解答过程：如图所示：由图可得，故A正确；集合不是的子集，故B错误；，故C错误；，故D正确．故选：AD.11.非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（）A.若A为一个“封闭集”，则B.若A为一个“封闭集”，且，则C.若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或D.若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或答案：ABD解析：思路：对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确.解答过程：对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确．对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确．对于C，不妨取“封闭集”，则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误．对于D，充分性：都是“封闭集”，若或，则或，则是“封闭集”．必要性：若是“封闭集”，令，假设或不成立，则存在，同时，因为是“封闭集”，所以，分两类情况讨论，若，又当时，，所以，这与假设矛盾，若，又当时，，所以，这与假设矛盾，故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确．故选：ABD.三、填空题（每题5分，共计15分）12.已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是__________．答案：解析：思路：先求出命题为真命题时的取值范围，则可求出命题为假命题的范围，即可选出答案．解答过程：若命题为真命题则，，，即，即，又是真命题，即命题为假命题，即.13.已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.答案：解析：思路：是的必要条件，即，分，两种情况讨论分析，即得解解答过程：设或，或若是的必要条件，则（1）当时，即，此时，成立；（2）当时，即，若，此时，无解.综上：故14.已知表示中的最小值，若，则的最大值是__________.答案：##解析：思路：令，则可得，对变形后利用基本不等式可求出其最大值，从而可求出的最大值.解答过程：令，因为，，则，，可得，当且仅当时取等号，又因为，当且仅当，即时取等号，所以当且，即时，的最大值为，所以的最大值是.故答案为.四、解答题（共5题77分）15.设，且，试比较与的大小．答案：当时，；当时，．解析：解答过程：解：因为，且，所以，令，解得，又因为且，所以，即当时，；同理可得当时，．16.已知集合，.（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据补集和并集的运算法则列出不等式组，解不等式可得到a的取值范围.（2），则，分与两种情况，根据集合的关系列不等式组，解不等式可得到a的取值范围.（1）因为，所以或，又因为且，所以解得，故a的取值范围为.（2）因为，则，若，则，解得，若，则解得，综上所述a的取值范围为.17.已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立.（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若q和p一真一假，求实数m的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）对，不等式恒成立，转化为令，则，求出，解不等式即可得出答案.（2）若q为真命题，则存在，使得成立，所以，即可求出q为真命题时m的取值范围，再讨论q和p一真一假的情况，即可得出答案.（1）对，不等式恒成立，令，则，当时，即，解得.因此，当p为真命题时，m的取值范围是.（2）若q为真命题，则存在，使得成立，所以；故当命题q为真时，.又∵p，q中一个是真命题，一个是假命题.当p真q假时，由，得；当p假q真时，由或，且，得.综上所述，m的取值范围为.18.已知正数满足.（1）求证：；（2）求的最小值；（3）求的最小值.答案：（1）因为正数满足，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以；（2）24（3）50解析：思路：（1）根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可；（2）由可得，利用分式的性质变形结合基本不等式求解最值即可；（3）由，可得，又，从而将所求最值转化为即可得最值.（1）略（2）由可得，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为24；（3）因为，所以，当且仅当时等号成立，又，所以，则的最小值为50.19.已知集合．（1）若，求；（2）设中所有的元素均为正数，中元素的个数为，求的最小值；（3）若，求．答案：（1）（2）3（3）解析：思路：（1）根据题设分类讨论求解即可；（2）设，可得，即可得到，再令，分析可得此时，即可