2026-2027学年湖北省某重点中学高一上学期分班考试数学试卷（含答案）

/数学一、填空题：15小题，每小题4分，共60分.1.要使分式有意义，则的取值范围为___.2.已知，则的算术平方根等于___.3.观察下列等式，从计算结果中找规律，用规律计算____.4.记为超过实数的最小整数，如，则满足不等式的的取值范围为_______.5.设满足关系式，则的最小值为_______.6.二次函数图象如图所示，则代数式：中，结果为正数的有_____个.7.在式子中代入不同的的值，得到对应的值，这些对应的值中，最小值是______.8.已知三角形三内角平分线相交于一点（记为三角形的内心），过作三角形边的垂线，垂足为，已知三角形的面积为18，周长为9，则____.9.在三角形纸片中，在边上取一点，以为折痕，使一部分与重合，与延长线上的点重合，则的长为_____.10.如图分别是双曲线在第一，三象限上的点，轴，轴，垂足分别为，与相交于M，记的面积为，则_______0（填，=，<)11.设正整数，且，则______，______12.已知三角形三边中垂线交于一点，称为三角形的外心，三角形三边高线交于一点，称为三角形的垂心.如图所示：分别是三角形的外心和垂心，则三角形外接圆的半径为_______.13.如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移个单位，与y轴，x轴分别交于两点，以线段长为边作等边三角形，若反比例函数图象恰好经过点，则的值为___.14.如图所示是一个信号灯装置，当时，在原点处的信号灯亮，按照如图所示的方向每隔一秒钟信号灯前进一格，即当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮.依此类推，当时，亮的信号灯的位置坐标为_____.15.如图，已知顶角为的等腰，为内一点，若的面积为4，则的最小值为______.二、解答题：6小题，共60分.解答题需在答题卡上写出必要的说明、推理或演算过程.16.已知关于x的一元二次方程有实数根（1）求实数k的取值范围.（2）设方程两个实根分别为，求的最大值.17.已知实数，满足，当的三边满足，求的周长和面积.18.设，求不超过s的最大整数，并求当时，的最大值.19.已知为整数，求使它们满足不等式，并判断以为边，能否构成三角形？如能，说明三角形的特征.20.如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接．（1）如图，当时，线段三者之间的数量关系式是．（2）如图，当时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（3）当点在射线上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段三者之间的数量关系式．21.1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提了个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位视角最大？此最大视角问题被称为“米勒问题”.已知点是的边上的两个定点，点是边上的一动点，通过研究得出：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大.如图；已知抛物线与轴交于两点，点均在抛物线上，抛物线顶点在直线上.（1）求抛物线的方程；（2）一动点从原点出发，在轴上沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度前进，运动时间为何值时最大？（3）若动点在轴上运动，点坐标为何值时最大？

数学一、填空题：15小题，每小题4分，共60分.1.要使分式有意义，则的取值范围为___.答案：且解析：思路：0的0次幂没有意义，偶次根号下被开方数为非负数，分母不能是0.解答过程：2.已知，则的算术平方根等于___.答案：9解析：解答过程：根据根式和绝对值的非负性，转化条件得，解得，，，所以的算术平方根等于9.3.观察下列等式，从计算结果中找规律，用规律计算____.答案：解析：思路：观察已知等式得到各个式子之间分母关系的共同规律，利用规律计算.解答过程：由，可得规律，所以，……，所以.4.记为超过实数的最小整数，如，则满足不等式的的取值范围为_______.答案：解析：解答过程：由题设，等价于，即.5.设满足关系式，则的最小值为_______.答案：解析：解答过程：令，则，故，则当时，取最小值.6.二次函数图象如图所示，则代数式：中，结果为正数的有_____个.答案：4解析：思路：根据二次函数的图象开口、对称性及特殊点的位置逐一判断即得.解答过程：由图可知时，图象在x轴下方，则，时，图象在x轴上方，即，时，图象在x轴上方，即，又因二次函数的对称轴介于0，1之间，即因，则可得，又因抛物线与轴交于负半轴，故则有.故结果为正数的有4个.7.在式子中代入不同的的值，得到对应的值，这些对应的值中，最小值是______.答案：6解析：思路：令，进行分类讨论，化简式子并结合图象判断最小值即可解答过程：令，则当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.作图象如下图：由图象可知最小值为.8.已知三角形三内角平分线相交于一点（记为三角形的内心），过作三角形边的垂线，垂足为，已知三角形的面积为18，周长为9，则____.答案：4解析：解答过程：根据角的平分线到角两边距离相等的性质，可知到三边距离相等，记为所以，即，则.9.在三角形纸片中，在边上取一点，以为折痕，使一部分与重合，与延长线上的点重合，则的长为_____.答案：解析：思路：先利用勾股定理求出，再根据折叠的性质得到，，进而求出．设，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解．解答过程：因为，所以由折叠的性质，得又，，且点在的延长线上，所以设，则在直角三角形中，由勾股定理得解得所以10.如图分别是双曲线在第一，三象限上的点，轴，轴，垂足分别为，与相交于M，记的面积为，则_______0（填，=，<)答案：=解析：解答过程：连接，记，则，同时减去，，即.11.设正整数，且，则______，______答案：①.21②.18解析：思路：对等式进行因式分解变形，令，由是质数，得到二元一次方程组，即可求解.解答过程：，所以，即，因为，为正整数，所以或，即，或（舍），令，因为，所以，，所以，因为是质数，则，，，，.12.已知三角形三边中垂线交于一点，称为三角形的外心，三角形三边高线交于一点，称为三角形的垂心.如图所示：分别是三角形的外心和垂心，则三角形外接圆的半径为_______.答案：解析：思路：本题结合定义，利用直径所对的圆周角是以及同弧所对的圆周角相等解答即可.解答过程：连结并延长交圆于，则为直径，易知，均垂直于，，均垂直于，所以四边形为平行四边形.所以，又，又因为,所以,.13.如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移个单位，与y轴，x轴分别交于两点，以线段长为边作等边三角形，若反比例函数图象恰好经过点，则的值为___.答案：解析：解答过程：平移后直线变为，则,故，因三角形是等边三角形，则，于是由勾股定理，，则点的横坐标为,纵坐标为,即，又因反比例函数图象恰好经过点，则得.14.如图所示是一个信号灯装置，当时，在原点处的信号灯亮，按照如图所示的方向每隔一秒钟信号灯前进一格，即当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮.依此类推，当时，亮的信号灯的位置坐标为_____.答案：解析：解答过程：到达位置时，共前进1格，到达位置时，共前进9格，到达位置时，共前进25格，依此类推，到达时，共前进225格，再向右前进5格，当时，坐标为15.如图，已知顶角为的等腰，为内一点，若的面积为4，则的最小值为______.答案：解析：思路：利用的面积求出三角形的腰的长，利用旋转将化为，结合F，E，P，C四点共线时和最小，即可求得答案.解答过程：如图，，设，则腰上的高为.则，解得将AB绕A顺时针旋转，B旋转到F，P旋转到E，则为等边三角形，且，所以等于，由图可知，当F，E，P，C四点共线时和取得最小值.又，即为等腰直角三角形，故，即的最小值为.二、解答题：6小题，共60分.解答题需在答题卡上写出必要的说明、推理或演算过程.16.已知关于x的一元二次方程有实数根（1）求实数k的取值范围.（2）设方程两个实根分别为，求的最大值.答案：（1）且（2）解析：思路：（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可；（2）利用韦达定理代入计算，再根据二次函数的性质求出最值.（1）因为方程是x的一元二次方程，所以，又有实数根，所以判别式即，即，解得所以实数k的取值范围且；（2）因为方程两个实根为，则即且，由韦达定理得则，该抛物线的对称轴为，且开口向上，因且，故当时，二次函数取得最大值为，即的最大值为.17.已知实数，满足，当的三边满足，求的周长和面积.答案：周长为；面积为解析：思路：根据条件可得为方程的两个实根，利用韦达定理与勾股定理判断三角形的形状，结合三角形周长与面积公式计算即得.解答过程：，则为方程的两个实根，由韦达定理得，，，又则是以为直角的直角三角形，因，则的周长为，面积为.18.设，求不超过s的最大整数，并求当时，的最大值.答案：，1解析：解答过程：当为正整数时，，则，故，因为在时随着的增大而减小，所以当时，的最大值为.19.已知为整数，求使它们满足不等式，并判断以为边，能否构成三角形？如能，说明三角形的特征.答案：，能构成等腰三角形.解析：思路：利用为整数这一条件，将严格不等式转化为整数不等式，再通过配方将其化为若干平方项之和，利用平方的非负性确定的值，最后判断三边能否构成三角形．解答过程：因为均为整数，所以与均为整数．由可得移项并配方，得而又所以三个平方项均为，即解得因为所以以为三边能构成三角形，且有两边相等，因此该三角形为等腰三角形．20.如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接．（1）如图，当时，线段三者之间的数量关系式是．（2）如图，当时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（3）当点在射线上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段三者之间的数量关系式．答案：（1）（2）结论仍然成立；如图过点作//交的延长线于点，//，，，，，，，，且，，，，.（3）不成立，当点在线段上时，；当点在延长线上时，解析：思路：（1）本小问设置特殊位置，可推导出四边形为正方形.设边长进行计算，能够得到.本题由特殊图形得到线段猜想，起到投石问路的作用，为第（2）问一般情况的证明指明待证结论.（2）结论依旧成立.作//，构造等腰直角三角形，得到.通过角度运算证，结合旋转条件证明，等量代换，将两条线段拼接在同一直线上完成推导.（3）点落在射线上，图形发生变化，原等式不再成立.需要分两种位置讨论：在线段上时；在延长线上时.解题构造全等思路不变，侧重考查动点分类讨论能力.（1）是等腰直角三角形，，，，，，，，，，将绕点逆时针旋转，得到线段，，，，//，四边形是平行四边形，且，四边形是矩形，且，四边形是正方形，，，.（2）略（3）不成立，当点在线段上时，如图，过点作//，，，，，，，，且，，，，；当点在的延长线上时，如图，过点作//，交延长线于点，，，，，，，，且，，，，，．21.1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提了个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位视角最大？此最大视角问题被称为“米勒问题”.已知点是的边上的两个定点，点是边上的一动点，通过研究得出：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大.如图；已知抛物线与轴交于两点，点均在抛物线上，抛物线顶点在直线上.（1）求抛物线的方程；（2）一动点从原点出发，在轴上沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度前进，运动时间为何值时最大？（3）若动点在轴上运动，点坐标为何值时最大？答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）本小问为基础计算.由纵坐标相等，得到抛物线对称轴；结合顶点在直线求得顶点横坐标与纵坐标关系，再利用抛物线建立方程组求解系数.求出解析式后确定坐标，为后面米勒视角最值问题提供定点坐标支撑.（2）本题直接应用题干给出的米勒最大视角结论.为轴定点，在轴正半轴，当外接圆与轴相切