2026-2027学年湖北省随州市曾都区第一高级中学高三上学期9月月考数学试卷（含答案）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数为纯虚数，则（）A. B. C. D.3.在中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知等比数列满足.设，记数列的前项和为，则（）A.149 B.153 C.155 D.1575.函数图象上的点到直线的距离的最小值为（）A. B. C. D.6.已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（）A. B. C. D.7.已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8.已知正实数满足，则的大小关系为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有（）A.若，则B.若，且，则C.已知事件，互斥，，，则D.已知事件，相互独立，，，则10.已知，则（）A. B.C. D.11.已知定义在上的函数满足，，且当时，．若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（）A.函数的图象关于直线对称B.当时，C.当时，单调递减D.实数的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设函数，则______.13.函数与函数在公共点处切线相同，则_______．14.函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某科技园区有甲、乙、丙三家企业，产出的模型数量之比为，三家企业的模型出现代码漏洞的概率分别为3%、2%、1%，现从园区所有产出的模型中随机抽取1个模型.（1）求随机抽取的这个模型存在代码漏洞的概率；（2）如果抽到的模型存在代码漏洞，求该模型出自甲企业的概率.16.已知数列的前n项和为，且满足，，，数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式.（2）求数列的前n项和.17.如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点在线段上.（1）求证：平面平面；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求.18.已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数的最小值为0，求的值.19.椭圆的离心率为，曲线过椭圆的左顶点．（1）求椭圆的方程；（2）过坐标原点的直线与相交于点，（异于），直线，分别与相交于，，①证明：；②记，的面积分别是，，求的最小值及此时直线的方程．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意，集合，而，因为，所以.2.若复数为纯虚数，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，因为z为纯虚数，所以，解得.3.在中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：结合同角三角函数关系、诱导公式，分别从充分性、必要性两方面来说明即可.解答过程：一方面：，另一方面：，但，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.已知等比数列满足.设，记数列的前项和为，则（）A.149 B.153 C.155 D.157答案：B解析：思路：根据等比数列的通项公式求解，从而可得的通项公式，根据分组求和可得的值.解答过程：设等比数列的公比为，则，则，可得，所以，则，所以.故选：B.5.函数图象上的点到直线的距离的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：通过求与直线平行的切线到该直线的距离求解答案.解答过程：由题意，，令，得（负值已舍去）．因为，所以曲线在点处的切线与直线平行．因为点到直线的距离为，所以所求最小值为．故选：C.6.已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题可得，从而得，代入椭圆方程可得，再由及离心率公式求解即可,解答过程：由题意，抛物线的焦点为，则.抛物线方程为.因为轴且点在第一象限，所以点的横坐标为.将代入抛物线方程得，故.又点在椭圆上，且椭圆过焦点的通径半长为，因此.由代入得.两边同除以并设离心率，得.解得（负根已舍去）.7.已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是，则根据指数函数的性质，列式求实数的取值范围.解答过程：时，，时，，若要使得存在最小值，只需要，即.故选：D.8.已知正实数满足，则的大小关系为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由题意构造函数，结合指数函数单调性以及定点画出函数图象即可得解.解答过程：由题意，所以令，所以问题等价于比较的图象分别与的图象三个交点横坐标的大小关系，而均过点，则由指数函数单调性可知，的图象分别与的图象三个交点横坐标如图所示：则.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有（）A.若，则B.若，且，则C.已知事件，互斥，，，则D.已知事件，相互独立，，，则答案：AC解析：解答过程：对于A，若，则，即A正确；对于B，若，且，则；因此可得，解得，即B错误；对于C，由事件，互斥且，，则；即C正确；对于D，由事件，相互独立可知也相互独立，根据，可得则；因此D错误.10.已知，则（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：ABD选项，利用基本不等式求最值即可；C选项，利用特殊值判断.解答过程：，即，解得，当且仅当时等号成立，故A错；可整理为，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；当，时，，故C错；，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：BD.11.已知定义在上的函数满足，，且当时，．若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（）A.函数的图象关于直线对称B.当时，C.当时，单调递减D.实数的取值范围是答案：ABD解析：思路：先根据题意得函数是偶函数，且是周期为2的周期函数，进而利用数形结合思想讨论各选项即可得答案．解答过程：根据题意得：由知是偶函数，由知是周期为2的周期函数，因为当时，，所以函数图象如图所示，对于A：由图可知图象关于对称，所以A正确；对于B：当时，，所以，所以B正确；对于C：当时，由图象可知单调递增，所以C错误；对于D：设，则函数在上至少有三个不同的零点，等价于函数与图象在上至少有三个不同的交点，若，则函数与图象在上无交点，所以，如图所示，结合图象可知，有，即，解得，所以D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设函数，则______.答案：2解析：解答过程：因为，所以.13.函数与函数在公共点处切线相同，则_______．答案：解析：解答过程：由题意得，设与的公共点为，，，根据两条直线斜率相等可得，解得则在公共点处切线方程为，．14.函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是______．答案：解析：思路：先通过在区间上单调递减，得到其导函数不大于零恒成立，通过参变分离求最值得的范围，再通过在区间上单调递增，得到其导函数不小于零恒成立，通过单调性求得的范围，综合可得答案.解答过程：对于函数，，令，则，因为在区间上单调递减，所以恒成立，即恒成立，又，所以，又在区间上单调递增，所以恒成立，所以，解得，综合得.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某科技园区有甲、乙、丙三家企业，产出的模型数量之比为，三家企业的模型出现代码漏洞的概率分别为3%、2%、1%，现从园区所有产出的模型中随机抽取1个模型.（1）求随机抽取的这个模型存在代码漏洞的概率；（2）如果抽到的模型存在代码漏洞，求该模型出自甲企业的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据条件，利用全概率公式，即可求解；（2）利用（1）中结果，再由条件概率公式和贝叶斯公式，即可求解.（1）设事件、、分别表示抽取的AI模型出自甲、乙、丙三家企业，事件表示抽取的AI模型存在代码漏洞，由题设条件可知，，，由全概率公式得.（2）由（1）知，，，所以.16.已知数列的前n项和为，且满足，，，数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式.（2）求数列的前n项和.答案：（1）（2）解析：（1）根据题意，数列的前n项和为，且，即，也就是，所以数列为首项为1，公差为2的等差数列，则，（2）由（1）可得：，所以，可得，两式相减得所以；17.如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点在线段上.（1）求证：平面平面；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求.答案：（1）证明：由正方形有，又平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，过点作，则，，，所以，所以，即，又，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）或解析：思路：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，设即可求得点的坐标，利用夹角公式即可求解.（1）略（2）由（1）知两两互相垂直，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图：则有，设，则，设，则有，解得，得，所以，设平面的法向量为，则有，令，得，设直线与平面所成角为，所以，解得或，所以或.18.已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数的最小值为0，求的值.答案：（1）有极小值，无极大值；（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减.（3）解析：思路：（1）利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值；（2）求得，分、、、四种情况讨论，分析导数的符号变换，由此可得出函数的增区间和减区间；（3）分，两种情况分类求出最小值即可列式求参.（1）当时，，则，当时，，当时，，所以，在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，有极小值，无极大值.（2）若，则时单调递减，时单调递增；若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增；若，则时单调递增；若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增综上，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减.（3）令，当时，，函数在上单调递增，故无最小值所以，由得，所以时单调递减，时单调递增，所以，所以.19.椭圆的离心率为，曲线过椭圆的左顶点．（1）求椭圆的方程；（2）过坐标原点的直线与相交于点，（异于），直线，分别与相交于，，①证明：；②记，的面积分别是，，求的最小值及此时直线的方程．答案：（1）（2）①若直线的斜率不存在，则，，，所以，即；若直线的