2026-2027学年湖北省襄阳市第四中学高一上学期8月素养测试数学试卷（含答案）

/数学一、单选题1.设集合，．若，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.2.已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.3.已知函数，则方程的实根个数为（）A.3 B.4 C.5 D.64.已知角的终边在第一象限，，，则（）A. B. C. D.5.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.6.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A.．B.在上单调递增C.D.7.若，，且，则的最小值为（）A. B. C. D.8.设，，，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.二、多选题9.定义在上的函数满足，都有，设函数，若，则下列正确的有（）A.单调递减 B.C.在上无零点 D.10.已知实数满足，则（

）A. B.C. D.11.已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（

）A.B.是的充分不必要条件C.D.任意，三、填空题12.已知幂函数在上单调递减，则实数______．13.已知非空集合，，若函数为偶函数，则A的元素个数最多可能值为______.14.已知，若存在实数t，使得与均不大于1.5，则实数m的取值范围为__________.四、解答题15.已知二次函数满足．（1）求的解析式；（2）若在上没有最大值，求实数m的取值范围．16.如图，有一块正方形铁皮，其边长为4米，阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米.（1）当时，求矩形的面积；（2）写出矩形的面积关于的函数表达式，并求出的最小值.17.已知函数．（1）若的值域为，求实数的取值范围．（2）已知当时，恒有意义．（Ⅰ）求在上的最小值；（Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．18.已知函数，（1）若，当时，求的最小值；（2）若，当时，（ⅰ）若函数的最小值为2，求的取值范围；（ⅱ）对于任意的，恒成立，求的取值范围．19.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型或余弦型函数，现有某种信号的波形的数学模型为，其中，是待定系数．经研究知这个函数的图象呈现的仍是周期性变化，即是一个周期函数．（1）当，，时，写出的一个周期并求出函数在上的零点；（2）当，时，令函数，，若的图象关于直线对称，且在区间上恰有三个零点，，，求的取值范围；（3）当时，对于任意的恒成立，求的最大值．

数学一、单选题1.设集合，．若，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：根据子集的定义：若，则对任意，都有，集合，,若，则存在，此时但，不满足；若，则对任意，均有，即，满足综上，实数的取值范围为.2.已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用每段函数递减，可得不等式组，求解不等式组可得答案.解答过程：因为是上的减函数，所以，解得.故选：A3.已知函数，则方程的实根个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：A解析：思路：根据函数的单调性，结合基本不等式分情况讨论计算即可.解答过程：解方程，得或.当时，，当且仅当时取等号，即，.当时，，此时在上单调递增，值域为.当，时，，解得，此时有1个根.当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根.当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根.综上，方程共有3个实根.4.已知角的终边在第一象限，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，得，又的终边在第一象限，，所以，所以．5.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据三角函数的图象变换可得，由在上没有零点，可得，根据周期公式解得，假设函数在上有零点，求出零点，由求得的取值范围，继而可得函数在上没有零点时的取值范围.解答过程：将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象，由题得，周期，因为在上没有零点，所以，得，即，得，假设函数在上有零点，令，得，解得,则，得，又，当时，得，当时，得，所以函数在上没有零点时，的取值范围是.故选：A.6.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A.．B.在上单调递增C.D.答案：D解析：思路：首先判断函数的周期，判断A，再结合函数的周期性，以及奇函数的性质，判断BCD.解答过程：A.由函数是奇函数，所以，且，即，即，故A错误；B.由A可知，，即是周期的函数，所以在区间的单调性和区间的单调性一致，设，，，，所以，在区间上单调递减，故B错误；C.因为函数是定义在上的奇函数，所以，由，，可知，，，所以，，故C错误；D.，故D正确.7.若，，且，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：结合基本不等式及“”的代换，两次利用基本不等式可得最值.解答过程：已知，，，则，又，当且仅当，即时，等号成立，所以，故，由，当且仅当，即时等号成立，则，当且仅当，，时等号成立，即的最小值为.8.设，，，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据和，得到和，从而得到，，所以得到，，再根据对数函数的单调性，得到答案.解答过程：由正弦函数、余弦函数的图像可知，当时，余弦函数的图像在正弦函数图像的上方，所以，，故当时，，因为，所以，所以，所以，又因为单调递减，所以，即，因为，所以，又因为单调递减，所以，即，所以.故选：B.二、多选题9.定义在上的函数满足，都有，设函数，若，则下列正确的有（）A.单调递减 B.C.在上无零点 D.答案：BC解析：思路：由函数单调性的定义可知函数单调递增，可判断A，C两项，由，得，利用单调性可判断B，D两项．解答过程：因为满足，满足，所以即，由函数单调性的定义可知函数单调递增，故A错误；令，易得，因为，则，故B正确；易得，且单调递增，所以在上无零点，故C正确；令，易得得，则，故D错误.故选：BC.10.已知实数满足，则（

）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：利用已知条件结合基本不等式计算判断选项A；利用有解，由判别式构造不等式，解不等式，判断选项B；由已知条件得出，进而求解判断选项C；由求出，结合已知条件计算求解．解答过程：已知，由基本不等式，当时，，解得，当且仅当时取等号，当时，，解得，当且仅当时等号成立，，故A正确；因为关于的方程有解，所以因此，故B错误；由，即由上可得，所以，，所以，故C正确；因为，由选项A知，由，得，故D正确．11.已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（

）A.B.是的充分不必要条件C.D.任意，答案：ACD解析：思路：令可判断A；设，利用，结合单调性定义得的单调性，再利用单调性解得可判断B；令得，代入已知得，根据求出的范围可判断C；结合选项C，分别求出与可判断D.解答过程：对于A，令，得，因为时，有，所以，所以，故A正确；对于B，设，则，所以，，因为，且，所以，所以，所以在上是单调递增函数，由，得，解得，因为是的真子集，则是的必要不充分条件，故B错误；对于C，令，得，所以，代入得，可得，即，因为，所以，则，，即，故C正确；对于D，任意，，，而，因，所以，所以，故D正确.三、填空题12.已知幂函数在上单调递减，则实数______．答案：解析：思路：根据幂函数的定义和性质即可求解.解答过程：已知是幂函数，则，解得或，又因为在上单调递减，所以，即，所以．13.已知非空集合，，若函数为偶函数，则A的元素个数最多可能值为______.答案：3解析：思路：利用偶函数定义，对与是否属于集合进行分类讨论，从而确定中元素应满足的条件，并求元素个数的最大值.解答过程：因为为偶函数，所以对任意，有.当时，.（i）若，则.由得.故可以属于.（ii）若，则.由得，解得.因此，的元素只可能是.经验证，当时，为偶函数，此时的元素个数为，且无法再添加其他元素.故的元素个数最多可能值为.14.已知，若存在实数t，使得与均不大于1.5，则实数m的取值范围为__________.答案：解析：思路：利用二次函数的最值即可求得答案.解答过程：因为函数,与均不大于1.5，得到,先考虑，整理得,设，因为，所以判别式，即,解得：，若要满足存在实数t使两个不等式成立，考虑极端情况当与有交点时，即，即，将代入中，得到，整理得，得到或，结合，得到或；再考虑，整理得，设，若要满足存在实数t使两个不等式成立，考虑极端情况当与有交点时，即，即，将代入中，得到，整理得，得到，综上可知：，故方法提示：关键点点睛：根据题干列出不等式，再根据不等式的求解设出函数，利用极端情况满足存在实数t使两个不等式成立，两个函数得需有交点.四、解答题15.已知二次函数满足．（1）求的解析式；（2）若在上没有最大值，求实数m的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）设二次函数，结合题干条件，利用待定系数法即可求解；（2）结合二次函数的性质，对称轴以及单调性，分析即可求解.（1）不妨设二次函数，由，可得，所以；由，可得，即，即，解得，故.（2）函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为，易知，当时，在上单调递减，有最大值，不符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，又，所以在上有最大值，不符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，又，所以在上没有最大值，符合题意；综上所述，实数m的取值范围为．16.如图，有一块正方形铁皮，其边长为4米，阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米.（1）当时，求矩形的面积；（2）写出矩形的面积关于的函数表达式，并求出的最小值.答案：（1）（2），；的最小值为.解析：思路：（1）过点作，垂足为，求得，利用矩形面积公式求解；（2）由题求出，，利用矩形面积公式求出，换元令，得到关于的二次函数，利用二次函数性质求出最小值.（1）如图，过点作，垂足为，当时，，，所以，，所以.（2）因为，，所以，，所以，，因为，令，则，即，因为，所以，故，即，所以，，所以当时，取得最小值.17.已知函数．（1）若的值域为，求实数的取值范围．（2）已知当时，恒有意义．（Ⅰ）求在上的最小值；（Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．答案：（1）（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）解析：思路：（1）对数函数的值域为即真数可以取遍所有的正实数，因为的真数结构比较复杂，换元后通过分析真数的取值范围可求解.（2）（Ⅰ）首先根据当时，恒有意义，结合基本不等式求出的取值范围，对二次函数对称轴的位置分类讨论可求得在上的最小值；（Ⅱ）首先根据恒（能）成立问题得到，再求出在上的最小值，根据（Ⅰ）中结果解不等式即可得解.（1）因为函数的值域为，所以真数需取遍所有的正实数，令，则，构造函数，所以可将需取遍所有的正实数问题转化为在时取遍所有的正实数.对于，图象的开口向上，对称轴方程为，由在时取遍所有的正实数知在上的图象与x轴至少有一个交点，所以在上的最小值小于等于0，所以，且对称轴（否则在上单调递增，，无法取遍所有的正实数），由，解得，所以实数的取值范围是.（2）同（1）中的函数，当时，，恒有意义，即在时恒成立，当时，恒成立；当时，将分离参数得，由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立，所以．（Ⅰ）当对称轴，即时，在上单调递增，所以，因为函数是增函数，由复合函数的性质可知当真数取最小值时，取得最小值，所以在上的最小值为（在时取得）；当对称轴，即时，在上的最小值在顶点处取得，所以，所以在上的最小值为（在时取得）.综上，.（Ⅱ）对于任意，存在，使得不等式成立，即在对应区间上.因为，当时，，所以，所以在上的最小值为，所以.由（Ⅰ）知，当时，在上，，满足题意；当时，在上，，由，解得.综上，实数的取值范围是．18.已知函数，（1）若，当时，求的最小值；（2）若，当时，（ⅰ）若函数的最小值为2，求的取值范围；（ⅱ）对于任意的，恒成立，求的取值范围．答案：（1）2（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）利用基本不等式进行求解即可；（2）（ⅰ）根据基本不等式、公式法解绝对值不等式，结合基本不等式取等条件分类讨论进行求解即可；（ⅱ）根据任意性的定义，结合复合函数的单调性的性质分类讨论进行求解即可.（1）当时，，当时，，当且仅当时取等，故当时，最小值为2．（2）（ⅰ）由，或，即，，当且仅当时取等号，即当时，函数的最小值为2，所以当时，方程有解，即方程，或有解，即或有解，当有解时，，当有解，，所以；（ⅱ）由题意得当时，，，①当时，在上单调递增，，即，化简，得，去分母，得，解得，；②当时，在上单调递减，单调递增．，设表示中最大的数，，且，即，解得，；③当时，在上单调递增，，即，化简，得，去分母，得，；④当时，，符合题意；⑤当时，在上单调递增，，即，化简，得，去分母，得，解得，．综上所述：．19.在