2026-2027学年贵州省安顺市三联高级中学（衡秀高级中学）高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年贵州省安顺市三联高级中学（衡秀高级中学）高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U={x|2≤x<6,x∈N}，A={2,3}，则∁UA=(

)A.{4,5} B.{2,3,4,5} C.{2} D.{2,4,5}2.已知复数z满足z=−32+12iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.“幂函数y=xa在(0,+∞)单调递增”是“指数函数y=ax在RA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点(12,3A.1 B.32 C.125.设椭圆C：y29+x24=1的上、下焦点分别为F1，F2，A.1 B.3 C.4 D.56.在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，将△ABC绕AB旋转一圈，所得几何体的表面积为(

)A.9π B.16π C.24π D.36π7.已知直线l过点P(2,4)，且与圆O：x2+y2=4相切，则直线A.x=2或3x−4y+10=0 B.x=2或x+2y−10=0

C.y=4或3x−4y+10=0 D.y=4或x+2y−10=08.一组数据如下：1，4，4，x，7，8(其中x≠7)，若该组数据的平均数是众数的32倍，则该组数据的第60百分位数是(

)A.4 B.7 C.8 D.12二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若b>a>1，则(

)A.(12)b>(12)a10.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，记“第一次摸到红球”为事件A，“第二次摸到红球”为事件B，则(

)A.P(A)=25 B.P(B)=25 C.A与B互斥 D.11.已知直线4x+3y−12=0与x轴、y轴交于A，B两点，点P为圆C：(x−3)2+(y−4)A.直线AB与圆C

相切

B.若点P到直线AB的距离为1，这样的点P有2个

C.当∠PBA

最小时，|PB|=5

D.PA三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量m=(3,1)，n=(6,k)，且m//(m−n)13.若方程x26−m+y2m−3=1表示焦点在x轴上的椭圆，则14.在体积为2π的圆柱内放入一个球，则该球表面积的最大值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=23sinxcosx−cos2x．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m=(sinA,−1),n=(1,3cosA)，且m⊥n．

(1)求A；

(2)若a=2，且17.(本小题15分)

江苏农科所在同一块试验田种植了A，B两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量(g)，按[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55]分为6组(每份重量(g)均在[25,55]内)，两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立．

(1)求a的值及B品种小麦千粒重的中位数；

(2)用频率估计概率，从A，B两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量至少有一个不低于45g的概率．18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E、F分别为线段PB、CD的中点，G为线段PC的中点．

(1)证明EC//平面PAF；

(2)求直线AG与平面PCD所成角的正弦值；

(3)求平面PCD与平面AEG所成角的余弦值．19.(本小题17分)

已知动点M与两个定点A(−1,1)，B(−1,4)的距离的比为12，记动点M的轨迹为曲线Γ．

(1)求曲线Γ的方程，并说明其形状；

(2)已知D(−1,0)，过直线x=5上的动点P(5,p)分别作曲线Γ的两条切线PQ，PR(Q,R为切点)，连接PD交QR于点N．

①求证：直线QR经过一个定点T；

②是否存在点P，使△ADN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】BCD

10.【答案】AB

11.【答案】BCD

12.【答案】2

13.【答案】(3,914.【答案】4π

15.【答案】解：(1)由题意得f(x)=3sin2x−cos2x

=2(sin2xcosπ6−cos2xsinπ6)=2sin(2x−π6)，

所以f(x)的最小正周期T=2π2=π；

(2)由(1)知16.【答案】A=π3

17.【答案】解：(1)根据题意可得(0.01+a+0.05+0.06+0.04+0.01)×5=1，解得a=0.03；

因为B品种小麦的前几组频率依次为0.05，0.15，0.4，

所以B品种小麦的中位数在(40,45)内，且为40+0.5−0.05−0.150.08=43.75g；

(2)设事件M，N分别表示从A，B两个品种中取出的小麦的千粒重不低于45g，

则P(M)=(0.04+0.01)×5=0.25，P(N)=(0.06+0.02)×5=0.4，

事件C表示两个样本小麦的千粒重至少有一个不低于45g，

所以18.【答案】解：(1)取PA的中点为M，连接EM，MF，

∵E为PB的中点，

∴EM/​/AB，EM=12AB，又∵F为CD的中点，在正方形ABCD中，FC/​/AB，FC=12AB．

∴EM=FC，EM//FC，四边形EMFC是平行四边形，EC//MF，

∵MF⊂平面PAF，EC⊄平面PAF，

∴EC/​/平面PAF．

(2)以A为原点、AB为x轴、AD为y轴、AP为z轴建立直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，G(1,1,1)，

∴AG=(1,1,1)，PC=(2,2,−2)，PD=(0,2,−2)，

设平面PCD的法向量n1=(a,b,c)，

n1⋅PC=2a+2b−2c=0n1⋅PD=2b−2c=0，取a=0b=1c=1，则n1=(0,1,1)，

设AG与平面PCD所成角为θ，

则sinθ=|AG⋅n1||AG|⋅|n119.【答案】(1)解：动点M与两个定点A(−1,1)，B(−1,4)的距离的比为12，设M(x,y)，则|MA|2|MB|2=14，

即(x+1)2+(y−1)2(x+1)2+(y−4)2=14，

所以3(x+1)2+4(y−1)2=(y−4)2，

整理得(x+1)2+y2=4，即为以(−1,0)为圆心，半径为2的圆．

(2)解：①