2026-2027学年湖北云学联盟高三上学期8月阶段训练数学试卷（含答案）

/数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.0 C.1 D.22.已知等差数列满足，则（）A.0 B.1 C.2 D.33.已知，，则（）A. B. C. D.4.已知函数，则的解集为（）A. B.C. D.5.已知点是曲线上的点，若该曲线有两条斜率为的切线，则这两条切线间的距离为（）A. B. C. D.6.已知锐角，满足，，则（）A. B. C. D.7.已知的三条边分别为，，，且，是方程的两个根，若，则（）A. B. C. D.8.已知集合，若函数满足对任意的均有且．在所有函数构成的集合中随机取出一个元素，定义随机变量，则的数学期望为（）A. B. C.0 D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．9.设等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（）A.若，则数列是等差数列B.若，则C.若，则数列是递减数列D.记的前项中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则10.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.函数定义域为B.若，，则在区间上单调递增C.若，，则的图象关于点对称D.若，且在区间上的所有零点之和为，则不同零点共有个11.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.任意，函数一定存在极大值和极小值B.当时，对任意，都有C.存在，使函数在区间上单调递减D.存在，使方程有三个不同的实数解三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，，若，则实数的取值范围是__________．13.若关于的不等式在上恒成立，则__________．14.边长为的正方形，为中点，将沿翻折得到，记为线段上一点，且满足，若在翻折过程中，记二面角为，，则点到直线的距离的范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数（，，）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求．16.已知的内角，，的对边分别为，，，，．（1）求；（2）若为线段的中点，的面积为，求线段的长．17.已知动点满足：点到直线的距离是点到点距离的2倍．（1）求点的轨迹方程；（2）若圆与曲线有且仅有四个交点，，，，求四边形面积的取值范围；（3）若点在曲线上运动，求关于，的表达式的范围．18.已知函数，．（1）若，讨论函数的单调性；（2）若，存在，使得，证明：；（3）当时，设，，证明：在数列中，必存在两个不同下标，（），使得．19.小明是篮球爱好者，据统计，小明在篮球赛中选择三分投篮的概率为，投篮命中率为；选择二分投篮的概率是，投篮命中率为．某一场篮球赛中，小明每次选择三分投篮或者二分投篮都相互独立，记其投篮总得分为的概率为．（1）若小明投篮失败就退出比赛．（i）在的条件下，求小明最后一次投篮成功为二分投篮的概率；（ii）写出的递推式及计算．（2）若小明持续参赛且投篮次数足够多，求的表达式．

数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.0 C.1 D.2答案：C解析：思路：根据集合元素的互异性和从属关系分类讨论即可.解答过程：由题意得，即，此时显然不成立，舍去，或，此时集合，满足互异性，所以.2.已知等差数列满足，则（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：A解析：思路：由等差数列的下标和性质求解.解答过程：由等差数列的性质，，由题知，则.3.已知，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由二倍角公式展开求解即可.解答过程：因为，所以，又因为，即，即，解得.4.已知函数，则的解集为（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：因为，，即，所以，，解得，.5.已知点是曲线上的点，若该曲线有两条斜率为的切线，则这两条切线间的距离为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：将点的坐标代入曲线方程，求出的值，令，求出两切点的坐标，利用导数求出两切线方程，再利用平行线间的距离公式求解即可.解答过程：因为点是曲线上的点，所以，故曲线对应的函数解析式为，对函数求导得，令，解得，当时，，记点，曲线在点处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即，故这两条切线间的距离为.6.已知锐角，满足，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用得，再利用，可计算，，从而得到，可求得或.解答过程：由得，则.由，得.所以.所以.因为，为锐角，所以.所以或.所以或.7.已知的三条边分别为，，，且，是方程的两个根，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据给定条件，利用韦达定理及三角形性质求出的范围，再结合零点存在性定理逐项判断即可.解答过程：由，是方程的两个根，得，解得，由，得，此时，对于B，，则，B错误；对于C，由是的三条边，得，即，因此，C正确；对于A，取，得，A错误；对于D，令，函数在上单调递增，，，因此存在，使得，D错误.8.已知集合，若函数满足对任意的均有且．在所有函数构成的集合中随机取出一个元素，定义随机变量，则的数学期望为（）A. B. C.0 D.答案：A解析：思路：根据已知判断满足的函数值，利用赋值法求出的所有可取值，再根据求出的分布列，最后求期望即可.解答过程：令，有，又因为，所以或.令，有又因为，所以或.令，有又因为，所以或.令，有.所以时，带入得，所以的可取值为，的可取值为，此时的所有可取值为：且每个结果被取到的可能性相等.时，带入得，所以的可取值为，的可取值为，此时的所有可取值为：，且每个结果被取到的可能性相等.综上所述：的所有可取值：分布列：期望.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．9.设等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（）A.若，则数列是等差数列B.若，则C.若，则数列是递减数列D.记的前项中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则答案：AD解析：思路：利用可得数列是等差数列；利用特殊数列可判断；利用，当时，即可；利用即可.解答过程：由已知可得，.对于选项A，因为，所以数列是公差为的等差数列，故A正确；对于选项B，当时，，则，但，故B错误；对于选项C，，当时，，所以数列是递增数列，故C错误；对于选项D，可得，，故D正确.10.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.函数定义域为B.若，，则在区间上单调递增C.若，，则的图象关于点对称D.若，且在区间上的所有零点之和为，则不同零点共有个答案：BCD解析：思路：求出函数的定义域，可判断A选项；利用正切型函数的单调性可判断B选项；利用正切型函数的对称性可判断C选项；令，求出前三个零点的和，可判断D选项.解答过程：对于A选项，由于，由得，故函数的定义域为，A错；对于B选项，若，，则，当时，，故函数在区间上单调递增，B对；对于C选项，若，，则，所以，故的图象关于点对称，C对；对于D选项，若，则，因为，当时，，令，则，因为，则，因为，所以函数在区间不同零点共有个，D对.11.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.任意，函数一定存在极大值和极小值B.当时，对任意，都有C.存在，使函数在区间上单调递减D.存在，使方程有三个不同的实数解答案：ABD解析：思路：先求函数的导数，根据导数的符号分析极值、单调性，再分别对四个选项逐一验证，结合函数最值、方程根的分布判断结论是否成立.解答过程：∵，定义域为，∴，分母恒成立，故的符号由分子决定.选项A：∵是开口向下的二次函数，判别式恒成立，∴恒有两个不同的零点（），∴当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；当时，，，单调递减.故是极小值点，是极大值点，任意，一定存在极大值和极小值，A正确.选项B：当时，，，，∵，，∴当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，∴在处取得最大值，等号仅在处取得.∵对任意，恒成立，∴，当时，左侧，右侧，不等式仍成立，故对任意，都有.选项C：若在上单调递减，则对任意恒成立，代入得，与矛盾，故不存在使在上单调递减，C错误.选项D：方程等价于，整理得.令，，故在处取最小值，即恒成立，则，令，.对求导得分母恒成立，令，则：，令，则.当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.∴，即恒成立，故在上单调递减.又∵，，∴存在唯一，使得.①当时，，故，在上单调递减；②当时，，故，在上单调递增；③当时，，，故，在上单调递减.∴在处取极小值，在处取极大值.当时，，故；当时，增长速度远快于幂函数，故.∴当时，直线与的图象有3个交点，分别位于、、上，即方程有三个不同实根，故存在满足条件的，D选项正确.方法提示：方法归纳：本题考查导数的综合应用，分析导数符号时优先分离恒正/恒负部分简化计算，对于含参的单调性、方程根的问题，可通过参数分离结合函数单调性与值域判断解的个数.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，，若，则实数的取值范围是__________．答案：解析：思路：将集合分为空集和非空集两种情况进行分类讨论，分别列出满足子集条件的不等式求出参数的范围，最后将结果取并集即可.解答过程：若集合为空集，则有，解得，若集合不是空集，则有，解得，因为，所以有，解得，结合，可得，综上可得，即的取值范围是.13.若关于的不等式在上恒成立，则__________．答案：解析：思路：不等式恒成立等价于且，分类讨论即可求出答案.解答过程：不等式在上恒成立等价于且，当时，解得，若，即，所以，当时，解得，若，即，所以，综上.14.边长为的正方形，为中点，将沿翻折得到，记为线段上一点，且满足，若在翻折过程中，记二面角为，，则点到直线的距离的范围是__________．答案：解析：思路：过作于，以为坐标原点，为轴，在平面内过作垂直于的直线为轴，垂直于平面的方向为轴，求出、、的坐标，可求得、的值，根据，可得为线段的中点，求出其坐标，由空间中点到线的距离公式求解即可.解答过程：由题意可得,过作于，则在翻折过程中，过作于，作交的其延长线于,过作交的延长线于，作于，在中，，，所以，所以，因为，，，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以，因为，，，故四边形为矩形，所以，以为坐标原点，为轴，在平面内过作垂直于的直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，因为，，所以二面角的平面角为，则、、，又因为，且，，所以，所以为线段的中点，所以，所以，取的一个方向向量，因此点到直线的距离.又因为，所以，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数（，，）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求．答案：（1）（2）解析：（1）由题图可知，，，，则．又，，，解得，，由，可得，．（2）将向左平移个单位，得到，再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，此时周期，则，，，，即．16.已知的内角，，的对边分别为，，，，．（1）求；（2）若为线段的中点，的面积为，求线段的长．答案：（1）（2）2解析：思路：（1）结合正弦定理化边为角后，可求得；（2）由余弦定理和正弦定理可得出关系，从而判断出是直角三角形，然后由三角形面积求得边长，再结合直角三角形的性质得结论.（1）因为，由正弦定理得．又，，则，．又，所以．（2）由（1）知，则由余弦定理，即．又，由正弦定理，则，所以．所以，即是直角三角形．则的面积，所以所以．17.已知动点满足：点到直线的距离是点到点距离的2倍．（1）求点的轨迹方程；（2）若圆与曲线有且仅有四个交点，，，，求四边形面积的取值范围；（3）若点在曲线上运动，求关于，的表达式的范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）直接用坐标表示出已知条件化简即得；（2）圆方程与椭圆方程联立，求得交点坐标的平方值，由四个交点的条件得出的范围，然后结合对称性求得四边形的面积，再结合基本不等式求得范围；（3）设定点，直线，且所在直线与定直线所成角为，点到直线的距离为，，所以．然后求出直线与椭圆相切时切点坐标，求出相应，结合图形可得范围.（1）由题意知，化简得．（2）联立圆与椭圆：，化简得．因为圆与椭圆有且仅有四个交点，所以．又由圆与椭圆对称性可知四个交点构成矩形，所以边长分别为，即当且仅当，即时等号成立，即四边形面积的取值范围为．（3）设定点，直线，且所在直线与定直线所成角为，则点到直线的距离为，，所以．设所在直线：，联立椭圆，得，由得，时，，时，，所以当且仅当时，直线与椭圆相切，切点分别为，，时，，时，，所以，所以关于，的表达式的范围是．18.已知函数，．（1）若，讨论函数的单调性；（2）若，存在，使得，证明：；（3）当时，设，，证明：在数列中，必存在两个不同下标，（），使得．答案：（1）单调递增区间是，单调递减区间是（2）若，结论成立．若，有，要证，只需证，即证，即证对任意，恒成立．令，，则，令，，当时，，即在上单调递增，，在上单调递增，，即任意，恒成立，即.（3）反证法：令，由前面可知，，在上单调递增，即，即对每一个，都有，将这个式子累加有，①另一方面，因为，，，所以，即与①矛盾，故假设不成立，必存在两个不同下标，使．解析：思路：（1）常规含参函数讨论单调性；（2）由分离参数，将两个变量转化为一个变量，从而得到需要证明，通过构造函数，利用导数研究函数最值，即可得证；（3）由（1）的结论得到函数的单调性，通过叠加构造证明矛盾即可.（1）因为，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，即的单调递增区间是，的单调递减区间是；（2）略（3）略19.小明是篮球爱好者，据统计，小明在篮球赛中选择三