2026-2027学年湖南宁远一中崇德学校高三上学期9月模拟测试数学试卷（含答案）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知为虚数单位，若复数满足：，则的虚部为（）A.1 B. C. D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.某市高三年级共有男生20000人，已知他们的身高（单位：）近似服从正态分布，则身高落在区间内的男生人数约为（）（参考数据：若，则）A.3413 B.5120 C.6827 D.103284.在平行四边形中，为的中点，若，则（）A. B.C. D.5.已知，则关于的展开式中各项系数之和的最小值为（）A.2 B.4 C.8 D.166.《算法统宗》是一部中国古代数学名著，全称为《新编直指算法统宗》，由明代数学家程大位所著．该书在万历二十一年（即公元1593年）首次刊行，全书共有17卷．其主要内容涵盖了数学名词、大数与小数的解释、度量衡单位以及珠算盘式图和各种算法的口诀等基础知识．同时，书中还按照“九章”的次序列举了多种应用题及其解法，并附有图式说明．此外，《算法统宗》还包括了难题解法的汇编和不能归入前面各类别的杂法算法等内容．其中有一首诗，讲述了“竹筒容米”问题．诗云：‘家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明’（【注释】三升九：3.9升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学数学知识求该九节竹一共盛米多少升?（）A.8.8升 B.9升 C.9.1升 D.9.2升7.已知，，则（）A.的最大值是 B.的最小值是C. D.8.在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9.下列说法中正确的是（）A.数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5B.两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1C.已知关于的线性回归方程为，则样本点的残差绝对值为1.6D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时样本容量为9，平均数不变，方差变小10.已知等差数列的公差不为0，，，成等比数列，且，则下列说法正确的是（）A.数列的通项公式为B.数列的通项公式为C.D.11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P是C的右支上一点（不与右顶点重合），过点P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（）A.焦点到渐近线的距离等于B.内切圆的圆心在直线上C.为定值D.若直线与C交于另一点A，则的最小值为6三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则___________．13.若函数是偶函数，则__________．14.现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次（每个球被抽取的可能性相同），记录被抽取的球的序号分别为，，，则满足的情况有______种．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在锐角中，，，（1）求角A；（2）求的周长l的范围.16.如图，在正三棱柱中，是棱的中点，是线段上动点，且．（1）若是的中点，求证：平面平面；（2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求点到平面的距离．17.某中学高三年级各班人数相同．一次模拟考试后，（1）班有学生的数学成绩低于135分，（2）班有学生的数学成绩低于135分．（1）从（1）班、（2）班中随机抽取一人，已知该学生的数学成绩低于135分，求该学生为（1）班学生的概率．（2）在数学成绩高于145分的学生中，（1）班有3名，（2）班有5名，现从这8名学生中选3人在全年级学生大会上作学习经验报告，记3人中来自（2）班的人数为，求．18.抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为．（1）求抛物线的标准方程；（2）已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴．（i）证明：直线过定点；（ii）点为抛物线的准线与轴的交点，若的面积与的面积相等，求直线的方程．19.已知函数.（1）求的单调区间；（2）设，设对于每个正整数，方程的正数根为.①证明：②证明.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知为虚数单位，若复数满足：，则的虚部为（）A.1 B. C. D.答案：B解析：解答过程：设复数，其中，，为的虚部。∵，∴该复数的虚部为0，即，解得，即的虚部为。2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：因为集合是分式不等式的解集，所以可将其转化为等价的整式不等式组来求解，注意分母不为0的条件，求出集合后，根据补集的定义求出.最后根据交集的定义，计算与集合的交集.解答过程：因为集合，则，所以.故选：B.3.某市高三年级共有男生20000人，已知他们的身高（单位：）近似服从正态分布，则身高落在区间内的男生人数约为（）（参考数据：若，则）A.3413 B.5120 C.6827 D.10328答案：C解析：解答过程：，则，，，因此身高落在区间内的男生人数为.4.在平行四边形中，为的中点，若，则（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：在平行四边形中，为中点，则，因为，所以，若，则，所以.5.已知，则关于的展开式中各项系数之和的最小值为（）A.2 B.4 C.8 D.16答案：D解析：思路：代入系数和公式，以及基本不等式求解.解答过程：令，则展开式中各项系数和为，因为，所以，当，即时等号成立，所以展开式的各项系数之和的最小值为16.6.《算法统宗》是一部中国古代数学名著，全称为《新编直指算法统宗》，由明代数学家程大位所著．该书在万历二十一年（即公元1593年）首次刊行，全书共有17卷．其主要内容涵盖了数学名词、大数与小数的解释、度量衡单位以及珠算盘式图和各种算法的口诀等基础知识．同时，书中还按照“九章”的次序列举了多种应用题及其解法，并附有图式说明．此外，《算法统宗》还包括了难题解法的汇编和不能归入前面各类别的杂法算法等内容．其中有一首诗，讲述了“竹筒容米”问题．诗云：‘家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明’（【注释】三升九：3.9升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学数学知识求该九节竹一共盛米多少升?（）A.8.8升 B.9升 C.9.1升 D.9.2升答案：B解析：思路：设第节竹筒盛米升，则数列为等差数列，根据等差数列的通项公式求出首项与公差，再根据等差数列前项和公式即可得解.解答过程：设第节竹筒盛米升，则数列为等差数列，，设公差为，则有，解得，所以，则该九节竹一共盛米升.故选：B.7.已知，，则（）A.的最大值是 B.的最小值是C. D.答案：C解析：思路：根据二次函数求最值判断A，利用基本不等式等号成立的条件判断B，由时判断C，利用极限思想判断D.解答过程：对于，因为，，所以，则，当时取等号，故A错误；对于B，，当且仅当，即时等号成立，与已知矛盾，故等号不成立，故B错误；对于C，因为，所以，则，故C正确；对于D，，取接近，则接近，此时接近，不满足大于，故D错误故选：C8.在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：取的中点为，则，，因为，所以，故点在以为球心，为半径的球面上，所以点的轨迹在正方体的每个面上均是半径为的圆，则6个圆的总周长为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9.下列说法中正确的是（）A.数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5B.两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1C.已知关于的线性回归方程为，则样本点的残差绝对值为1.6D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时样本容量为9，平均数不变，方差变小答案：ABD解析：思路：由第百分位数的概念计算判断A；由相关系数的概念判断B；由残差的定义计算判断C；由平均数、方差的定义计算判断D.解答过程：对于A，因为，所以数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5，故A正确；对于B，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1，故B正确；对于C，样本点的残差绝对值为，故C错误；对于D，新样本数据的平均数为，方差为，故D正确.10.已知等差数列的公差不为0，，，成等比数列，且，则下列说法正确的是（）A.数列的通项公式为B.数列的通项公式为C.D.答案：BC解析：思路：结合等比中项，根据等差数列通项公式基本量的运算求得，即可求出等差数列通项公式判断AB，根据等差数列求和公式求解和判断CD.解答过程：由题意，设等差数列的公差为，，由得，即，①由，，成等比数列，得，即即，②由①②可得，，因此的通项公式为，故选项A错误，选项B正确；，故选项C正确，选项D错误.故选：BC11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P是C的右支上一点（不与右顶点重合），过点P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（）A.焦点到渐近线的距离等于B.内切圆的圆心在直线上C.为定值D.若直线与C交于另一点A，则的最小值为6答案：ABC解析：思路：根据题目条件可以求出焦点坐标与渐近线方程，对于A选项运用点到直线的距离公式求出结果；对于B选项运用双曲线的定义与切线长定理，求出内切圆与的坐标点，再运用内切圆的圆心在角平分线上求出结果；对于C选项，设点P的坐标，求出的长度，运用点P在双曲线上求出结果；对于D选项，取右顶点讨论.解答过程：对于A选项，由题意可知，则渐近线方程为，焦点到渐近线的距离等于，同理到渐近线的距离为；对于B选项，设的内切圆与三边分别切于点，根据切线长定理得则，又因为，解得，故G点坐标为，因为三角形的内切圆的圆心与切点G的连线垂直于x轴上，故横坐标与G点相同，故B选项正确；对于C选项，设点，则，即，点P到的距离，同理点P到的距离，则，故C选项正确；对于D选项，当点P与右顶点重合时，，故当点P越接近右顶点时，的值就越接近2该值小于6，故D选项错误.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则___________．答案：解析：思路：求导，根据点斜式求解切线方程，即可根据圆的弦长公式求解.解答过程：由得，故，进而可得曲线在处的切线方程为：，即，圆心到直线的距离为，故.其中为圆的半径.13.若函数是偶函数，则__________．答案：解析：思路：利用偶函数满足建立恒等式，求出参数，化简函数表达式后代入自变量求值.解答过程：因是偶函数，则，即，也即，整理得，因为，所以，又，所以，所以，则．14.现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次（每个球被抽取的可能性相同），记录被抽取的球的序号分别为，，，则满足的情况有______种．答案：72解析：思路：将转化为，通过设元，分类讨论求解.解答过程：由，得，即，设，则，设另一个数为，显然，，当时，三个数为，，，对应，，，有种可能；当时，三个数为，，，对应，，，有种可能；当时，三个数为，，，对应，，，有种可能；当时，三个数为，，，对应，，，有种可能，所以，一共有种.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在锐角中，，，（1）求角A；（2）求的周长l的范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据正弦定理把边转化为角，结合诱导公式，即可求出，即可求解;（2）利用正弦定理把边转化为角，结合角的范围，即可求解.（1）∵，，所以，所以，因为，所以，，所以.（2），所以,所以，，所以,因为是锐角三角形，且，所以，解得，所以，所以，所以.16.如图，在正三棱柱中，是棱的中点，是线段上动点，且．（1）若是的中点，求证：平面平面；（2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求点到平面的距离．答案：（1）证明：由题意以为坐标原点，分别为轴，过点平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在正三棱柱中，由，是的中点，则，设平面的一个法向量为，由，则，令，则，所以，设平面的一个法向量为，由，则，令，则，所以，因为，所以，所以平面平面.（2）解析：思路：（1）建立空间直角坐标系，写出相应的点坐标，求出两个平面法向量，利用向量法证明即可；（2）设点的坐标，利用向量法表示出平面与平面所成夹角公式，求出点的坐标，然后利用向量法求点到面的距离即可.（1）略（2）设，则，设此时平面的一个法向量为，则，令，则，所以，设平面的一个法向量为，由，则，令，则，所以，设平面与平面所成夹角为，且即，即，解得：或（舍去），所以平面的一个法向量为，又点，则，所以点到平面的距离.17.某中学高三年级各班人数相同．一次模拟考试后，（1）班有学生的数学成绩低于135分，（2）班有学生的数学成绩低于135分．（1）从（1）班、（2）班中随机抽取一人，已知该学生的数学成绩低于135分，求该学生为（1）班学生的概率．（2）在数学成绩高于145分的学生中，（1）班有3名，（2）班有5名，现从这8名学生中选3人在全年级学生大会上作学习经验报告，记3人中来自（2）班的人数为，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由互斥事件的和事件概率公式及条件概率计算公式即可求解；（2）确定的可能取值，求得相应概率即可求解.（1）在（1）班、（2）班中随机抽取一人，设事件“该学生来自（1）班”，事件“该学生的数学成绩低于135分”，则由题意得．，该学生为（1）班学生的概率．（2）由题意，的所有可能取值为，则，，．18.抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为．（1）求抛物线的标准方程；（2）已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴．（i）证明：直线过定点；（ii）点为抛物线的准线与轴的交点，若的面积与的面积相等，求直线的方程．答案：（1）（2）（i）证明：由题可设，，