清华大学2027丘成桐数学领军计划数学一学科能力测试一试真题及答案解析（含详解）

第1页（共1页）清华大学2027丘成桐领军计划（数学一）学科能力测试一(含答案和解析)说明：共10题；第3题A、B二选一；第6题C、D二选一；其余必答1.(20分)设f,g是ℝ2上的光滑实值函数，满足Δf=g。若g设R>0,BR(0)⊂ℝ2为以原点为中心、半径为R的开圆盘。设f∈C2(BR(0))满足Δf=f{2.(20分)设f:ℝ→ℂ为光滑函数，在若对任意非正整数n，均有ℝ​f(x)eℝ证明存在与f无关的常数C>0ℝ3.(10分,二选一)3A设函数f求f(x设实系数多项式g:ℝlim当g遍历所有满足上述条件的多项式时，判断infx→0a(x)3B对x>0a求an(设S判断S是否有上界。若有，求supS4.(20分)对称群Sn通过置换坐标作用在Cn上。对σ∈Sn及z=(z1,…,zn)∈ℂn，定义σ⋅z=(z求Sn记σi=(i,i+1),i=1,n-1,若σ∈Sn可以表示为这些相邻对换的乘积,且每个σi恰好出现一次,则称σ具有性质5.(20分)设Fq为含qV=F{的一列子空间为V的一个完全旗，记所有完全旗构成的集合为ℬ。求|ℬ对线性变换T:V→V,记ℬT为各个Vi都是T的不变子空间的完全旗构成的集合。记Jr为r阶幂零Jordan块,其主对角线全为0、上副对角线全为1。分别求T的矩阵为Jn6.(10分,二选一)设R,S为nR证明n为偶数。对任意实数a,b,求6D设E1,…,En为m阶实矩阵，满足Ei2=Ei(1≤i≤n)，且证明V=Im证明对任意1≤i<j≤7.(15分)(1)一多边形的周长为L,且位于以原点为圆心、半径为R的圆内。相互独立地选取p∼U[−R,R],θ∼U[0,π],得到随机直线ℓ:平面上一座城市是一个连通的多边形区域。给城市建造由有限条线段构成的围墙，使得从任意方向射向城市的激光均在进入城市前被围墙挡住。证明围墙的总长不小于城市凸包的周长。8.(15分)考虑三股辫群B3,其生成元a,b满足关系aba=bab。乘法表示将辫子从上到下依次连接,逆元表示将相应交叉的上下穿越关系反转,单位元在β中任意抽去一根线,证明在固定其余两根线的端点、且不让线相互穿过的条件下,可以将它们连续变形为两根竖直的线证明对任意正整数k，均有βk9.(10分)设f:ℝ→ℝ为连续函数，记Lt={x∈ℝ:f(x)=t},t∈ℝ。对每个正整数n，定义Pn+={x∈ℝ:0<f(x)<1n10.(10分)有n名记者报道一个面积为S的平面区域Ω。第i名记者的报道区域为圆盘Di，各圆盘的半径可以不同。记|E|为平面区域E的面积，且对每个i=1,…,n，均有证明可以从D1,…,Dn证明|A参考答案及解析第1题（20分）题目(1)设f,g是ℝ2上的光滑实值函数，满足Δf=g。若g=f3，证明不存在具有紧支集的非零函数f满足该方程。(2)设R>0，BR(0)⊂ℝ2为以原点为中心、半径为R的开圆盘。设f∈C2(BR(0))解答(1)反设f具有紧支集。将方程乘以f后在ℝ2上积分，利用紧支集消去分部积分的边界项，得ℝ2​f4dx=ℝ2​fΔfdx=−ℝ2​|∇f|2dx, ℝ2​(f4+|∇f|2)dx=第2题(20分)题目设f:ℝ→ℂ为光滑函数，在若任意非正整数n均满足ℝ​f(xℝ证明存在与f无关的常数C>0，使得ℝ解答把f|[−π,π]作2πc由假设，cn=0（f右端只有正频率，因此任意n≤0ℝ由连续性及支集条件，f(−π/2)=0。对|由于f的支集长度不超过π，∥故可取C=第3A题(10分，选作题)题目设函数f求f(x设实系数多项式g:Rlim当g遍历所有满足上述条件的多项式时，判断infx∈解答将被积函数分拆为t利用∫并代入积分下限0，得f这里x+x2+1>当x→+∞f因此，第一个极限条件强制g为二次多项式，何易阳高中数学且二次项系数为1/2。又因f(0)=0且fg配方得g这些下确界构成集合(−∞,0]sup该上确界在a=0，即g第3B题(10分,选作题)题目对x>0a求an(设S判断S是否有上界；若有，求supS解答由sin(2u)=2sinucosk另一方面，直接约去有限乘积中的因子，得k其中最后的极限来自固定n时(两部分有限乘积相乘并取极限，得到a对每个固定的x>0，当n充分大时，14若0<x<4，由右侧可求和的级数比较知原级数收敛；若x≥4S第4题(20分)题目对称群Sn通过置换坐标作用在ℂn上。对σ∈Snσ若对任意z∈Cn，由σ⋅z=z都能推出求Sn记σi=(i i+1),i=1,…,n−1。若σ∈Sn可以表示为这些相邻对换的乘积，且每个解答将σ分解为不交循环。条件σ⋅z=z等价于：同一个循环中的坐标取相同值，不同循环上的取值可以独立选择。所以σ为椭圆元素，当且仅当其循环分解只有一个循环，即σ为把循环中第一个元素固定为1，其余n−1(证明：任意具有性质P的元素都是n-循环。对n归纳。n=1显然；设结论对n−1成立。在给定乘积中，把唯一出现的σ其中u,v仅由σ1,…,σnvσ在vu中，σ1,…,σn−2各出现一次；何易阳高中数学由归纳假设，vu是{1,…,n−(这说明σ也是n-循环，归纳完成。而任意两个n-循环可通过对循环中的元素重新编号相互共轭，故所有具有性质P的元素两两共轭。第6C题(10分,选作题)题目设R,S为nR证明n为偶数。对任意实数a,b，求det(a解答由于R2=In，其最小多项式整除ℝ由RS=−SR，若vR故S(V+)⊆V−；同理S(V−)⊆dim取V+的一组基e1,…,em，并令fi=SeiR因此在基(e1,f1,…,em,fRS故对所有实数a,bdet(第6D题(10分,选作题)题目设E1,…,En为E记V=ℝm，ImEi证明V证明对任意1≤i<j≤解答由i​Ei=Imv故V每个Ei均为幂等矩阵，其最小多项式整除t(t−1)，因此可对角化，特征值只能为i子空间之和已等于V，且各维数之和恰为dimVV固定j，对任意v∈V令w=Ejvw另一方面，w∈ImEj，故它还有第j个分量为因此对任意v都有EiEE特别地，题目所要求的所有i<j的情形均成立。E第7题(15分)题目一多边形的周长为L，且位于以原点为圆心、半径为R的圆内。相互独立地选取p∼U[−R,R]，θ∼U[0,E平面上一座城市是一个连通的多边形区域。给城市建造由有限条线段构成的围墙，使得从任意方向射向城市的激光均在进入城市前被围墙挡住。证明围墙的总长不小于城市凸包的周长。解答设各边长度为li，与x轴夹角为φi。固定θ时，第i条边在法向量(cosθ,sinθ)上的投影长度为lPr(经过顶点或与边重合的直线构成零概率事件，可以略去。由期望的线性性，E记城市区域为Ω，其凸包为K，围墙总长为T。取一个半径为R的圆盘，包含城市及所有围墙，何易阳高中数学并按（1）选取随机直线。记NW为直线与各围墙线段的交点数之和，NK为其与∂E对每个方向，Ω的投影因连通性而为区间，其端点与K的投影端点相同。故除切线等零概率情形外，直线穿过K当且仅当它穿过城市，此时NK沿该直线从两个相反方向射入的激光，都须在首次进入城市之前遇到围墙。这两个阻挡点分处城市交集的两侧，彼此不同，所以NW≥2=NK。对其余直线仍有NT第8题(15分)题目考虑三股辫群B3，其生成元a,b如下图所示，满足关系aba=bab在β中任意抽去一根线，证明在固定其余两根线的端点且不让线相互穿过的条件下，可以将它们连续变形成两根竖直的线。证明对任意正整数k，均有βk提示：令A=1101，B解答按顶端顺序给三根线编号1,2,3。沿ab−交叉次序底端编号又回到(1,2,3)，何易阳高中数学即每根线均回到自身对应的端点。任意删去一根线后，剩余两根线之间恰有两次交叉，符号相反；它们在两股辫中对应ss−1或直接计算ABA=BAB=01−10，故生成元的赋值MM有特征值λ=(3+5)/2>1，所以β第9题(10分)题目设f:ℝ→ℝ为连续函数，记Lt={P并记Λ其中横线表示在R中取闭包，函数的支集定义为suppf=证明L0证明Λ+∪Λ−=∂L0，其中∂L0解答记U+={P对n取交即得Λ+反之，若x∈L0∩U+，则可取xj∈U+使xj→x。由连续性，f(xj)→f(x)=0，且各f(xj)>0。何易阳高中数学对任意固定的Λ将（1）应用于-f，记U−={Λ有限并的闭包等于闭包的并，而U+∪Λ由连续性，L0=∂因此Λ第10题(10分)题目有n名记者报道一个面积为S的平面区域Ω。第i名记者的报道区域为圆盘Di，各圆盘的半径可以不同。记|E|为平面区域E的面积，且对每个D令A证明可以从D1,…,Dn证明|A解答采用贪心选取：每次从尚未处理的圆盘中选一个半径最大的圆盘，保留它，并删除其余所有与它相交的圆盘；重复操作，直到没有剩余圆盘。所得圆盘记为Di1任取一个原圆盘D，设其圆心为c、半径为r。若它被选中，则显然被自己的三倍圆盘覆盖；若它被删除，设当时选中的是圆心为cj、半径为rj的Dr所以对任意x∈x故D⊆3A由于所选圆盘两两不相交，且每个圆盘至少有一半面积位于Ω内，j再由（1）的覆盖性质、面积的次可加性，以及半径三倍使面积成为九倍，得到|131.(10分)解答下列概率问题.每个家庭有两个孩子，两个孩子的性别相互独立，每个孩子是男孩或女孩的概率均为12已知某个家庭至少有一个女孩，求该家庭两个孩子都是女孩的条件概率.有五个关闭的窗口,一部手机等概率地放在其中一个窗口后.参赛者先选定一个窗口,知道手机位置的主持人随后从其余窗口中打开一个没有手机的窗口.参赛者可以保持原来的选择,也可以从其余三个未打开的窗口中等概率随机改选一个.比较这两种策略获得手机的概率,说明应当换还是不换.142.(15分)某种疾病在人群中的患病率为1%求此人的检验结果呈阳性的概率.已知此人的检验结果呈阳性，求其实际患病的概率.153.(15分)设X1,…,Xn独立同分布于均匀分布U[0(6分)求EX1，并据此构造θ(9分)求θ的极大似然估计，并求该估计量的分布函数.164.(10分)假设每个人对某公司的服务满意的概率均为p，不同人的满意与否相互独立。随机调查1000人，其中850人表示满意。求p的极大似然估计.公司声称满意率超过90%，根据上述调查结果，评价这一说法的可信程度.175.(20分)设函数f(x)=2x−证明:f(x)=0存在唯一实根x=α(ϵ,γ),α令ϕ(x)=γ+ϵcos(2x)2,x0∈x186.(15分)设A∈ℝn×n是对称矩阵,且对任意非零v∈ℝn,有vTAv证明：D的主对角元均为正数，且对任意实数ω,D考虑方程Ax=b，初值xD给出Bω的具体形式,x197.(15分)设A∈ℝn×n为对称矩阵,bA与b满足什么条件时，极小值存在？进一步，什么时候解唯一？假设存在唯一极小值解x∗.从任意起点x0出发,应用梯度法和精确线搜索步长:xk计算精确线搜索步长αk的表达式，并证明存在q<x其中∥x∥A=(xT物理11月7日上午2027领军计划一试物理试题考试时间：2026年11月7日08:00-10:00满分100分，共4题，每题25分1,4道大题分属：力学、热学+静电、电磁学（电路）、相对论。2:题1:经典力学（碰撞+弹簧+动能定理）动量守恒、恢复系数、碰撞动能损失、动量变化、动能定理、弹簧弹力做功、静摩擦临界条件（不反弹）题2：热学（玻尔兹曼分布）+静电场+万有引力玻尔兹曼分布、势能（重力势能+电势能）、等离子体电中性条件、高斯定理、天体表面引力加速度题3：电磁学（直流电阻网络）等势点法、对称化简、电流叠加原理（戴维南/叠加定理）、等效电阻计算、消去无电流支路题4:狭义相对论（时空几何）时空间隔分类（类时/类光/类空）、洛伦兹变换、同时的相对性、因果性、时空图几何意义命题设置,类似法式大题模式,层层设问,每一题4小问层层递进:从基础公式计算→推导证明→临界条件→拓展应用(第2问第4小问延伸到太阳等离子体,第4问从计算到证明+时空几何)。4，证明题（2(3)、4(2)、4(3))，要求规范写证明逻辑；否则扣分电路题不套现成公式，需要物理建模和给出推导6，相对论题侧重时空几何、不变量、同时相对性，不是单纯背洛伦兹变换公式，考察物理概念深挖理解，而不是相对论动力学。，考察你能不能快速自学前两题偏基础,题1碰撞+动能定理,属于保底题,但是第(4)问临界条件容易漏分析;题2玻尔兹曼分布是大学普物热学内容8，题3：3×3方格电阻网络，单纯串并联硬算难，对称法+叠加定理，题4：侧重时空间隔不变量、时序相对性难度高第1题（25分）质量为m的小球以速度u水平向右运动，与原先静止、质量为M的物块发生正碰。物块右侧连接一根劲度系数为k的轻弹簧，弹簧另一端固定在墙上，碰撞前弹簧处于原长。小球运动时不受摩擦力，物块与水平地面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力为μMg，重力加速度为g。小球与物块的恢复系数为e，碰撞时间极短，忽略碰撞过程中弹簧和地面摩擦力的冲量，且不考虑再次碰撞。(1)碰撞后瞬间小球与物块的速度取向右为正方向，设碰撞后小球、物块速度分别为v、V。动量守恒:mu恢复系数定义:恢复系数定义:V联立解得:vv<0代表小球向左反弹。(2)碰撞过程损失的动能及小球的动量变化损失动能:Δ代入v,V:Δ小球动量变化:Δ负号表示动量变化方向向左。(3)弹簧的最大压缩量A物块从碰撞后到弹簧压缩至最大，速度减为0，动能定理：1整理为一元二次方程kA2Aμ(4)物块在最大压缩处停住、不再反弹的条件弹簧弹力不超过最大静摩擦力：kA用最大压缩量表示:A将临界A=μMgM再代入V=(u等号对应临界；超过上限，物块会被弹簧推回。第2题（25分）由原子序数为Z、质量数为A的原子组成的气体完全电离后，离子和电子在同一温度T下达到热平衡。均匀重力场沿-z方向，重力加速度大小为g。质子和电子的质量分别为mp和me，离子质量近似取A子的数密度满足玻尔兹曼分布n(z)=n(0)exp−V(z)kBT，(1)仅考虑重力势能，离子和电子的数密度分布离子重力势能:Vi=Amnn沿+z施加大小为E的匀强电