四川绵阳市2026-2027学年高三上学期第一次诊断性考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页四川绵阳市2026-2027学年高三上学期第一次诊断性考试数学试题一、选择题1.已知x>0，y>0，且x+y=2，则xy的最大值为(

)A.1 B.2 C.2 D.2.已知集合A=0,1,2,3，B={x∣lgx>0}，则A∩B=A.0,1,2,3 B.1,2,3 C.2,3 D.33.“tanx=1”是“x=π4”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知a>b>0，c>0，则下列不等式一定正确的是(

)A.b+c>a B.ca>cb C.5.在量子存储实验中，量子态的保真度F随存储时间t(单位：微秒)呈指数衰减，满足模型Ft=F0⋅2−tτ，其中F0为初始保真度(F0>0)，A.4 B.5 C.6 D.76.设fx是R上的奇函数，且满足fx+4+f2=fA.−4 B.−2 C.0 D.27.函数fx=sin2x+φ的部分图象如图所示，将fx的图象向右平移π12个单位后，得到函数gxA.0 B.12 C.228.已知a=log23，b=log47A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>a>b9.已知函数fx=ex+1A.fx是偶函数 B.fx在−∞,−1上单调递增

C.fx仅有两个零点 D.若10.已知函数fx=1+cosA.fx的图象关于π,0对称 B.fx的最小正周期为π

C.π3为fx的一个极大值点 11.已知正项等比数列an与等差数列bn的首项均为1，且a3+b5=13，a5+b3=21.将乘积aibji,j∈N∗第1行：a第2行：a1b第3行：a1b3

……第n行：a1bn

a2下列结论正确的有(

)A.an的公比为2 B.第j行所有数的和为2j−12j−1

C.∃n∈N∗，S二、填空题12.若sinθ=35，则cos(θ+13.记数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=a1an−1，a1≠014.已知函数fx=3x−1.若对∀x1∈−∞,0，关于x的方程f三、解答题15.近年，我国低空经济产业快速发展，无人机应用日益广泛.下表是某市2021—2025年无人机注册数量y(单位：千架)的统计数据，其中t为对应年份的代码．年份20212022202320242025t12345y810131618(1)根据以上数据，求y关于t的经验回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，预测该市2028年无人机注册数量．参考数据：5参考公式：回归直线y=bt+a中斜率和截距的最小二乘估计分别为b16.已知数列an是公差不为零的等差数列，且a3=a1+(1)证明：bn(2)记an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且S17.已知函数fx=4(1)求fx(2)若gx=fx+3π8，θ∈0,π18.已知函数fx=13x3−a+1(1)求实数b的值；(2)讨论函数fx(3)m为给定常数，且m>4.若gx=fx，且设gx在0,m上的最大值为ha19.已知函数fx=2(1)求函数gx=fx(2)对任意x∈0,1，试比较fx与(3)数列an满足a1=12，且an+1=f1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】AD

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】−313.【答案】2

；

；

；

；；214.【答案】0,+∞

15.【答案】解：(1)由已知得，t=1+2+3+4+555i=1故b^a=所以y关于t的线性回归方程为y=2.6t+5.2(2)2028年对应的t=8，当t=8时，y=2.6×8+5.2=26所以预计该市2028年无人机注册数量为26千架．

16.【答案】解：(1)设数列an的公差为d因为数列an是公差不为零的等差数列，所以a3+又a3=a1+a2故an又anbn又bn+1故bn(2)ST6所以S6整理得7d2−20d+13=0，即d−17d−13=0当d=1时，bn=n+3；当d=13故bn=n+3或

17.【答案】解：(1)由fx=4sin

得f=2由−π2+2kπ≤2x−π所以f(x)的单调递增区间为−π(2)g由gθ2=

得cos4θ=所以4θ=2kπ+θ,k∈Z，即3θ=2kπ，θ=2kπ或4θ=2kπ−θ,k∈Z，即5θ=2kπ，θ=2kπ又θ∈0,π，θ=2kπ3,k∈Z，仅当k=1时仅当k=1时θ=2π5、k=2时综上，θ的取值为2π5

18.【答案】解：(1)对函数fx求导得，f′x=f6=36−12a+b，则曲线y=fx在6,f该切线经过92,0，所以−36+12a−b=−36+12a，解得(2)函数fx=1若a∈−∞,1，即2a<2，当x∈−∞,2a∪2,+∞时，f′x故fx在区间−∞,2a和2,+∞上单调递增，在区间2a,2若a=1，即2a=2，则∀x∈R，f′x故fx在定义域R若a∈1,+∞，即2a>2，当x∈−∞,2∪2a,+∞时，f′x故fx在区间−∞,2和2a,+∞上单调递增，在区间2,2a(3)法1：当m>4时，g0=f0=0<4m3则ha≥g2，ha≥gg2=f则m2化简得，m2假设g2<4m3，故g2和gm不可能同时小于4m3法2：证明：由(1)知b=0，故f(x)=1因为m>4，所以定极值点x=2∈[0,m]，且右端点x=m∈[0,m]．由h(a)=max可知对任意实数a，必有：h(a)≥g(2)=f(2)且h(a)≥g(m)=f(m)令4a−43=①当a≥m+13时，4a−4②当a<m+13时，因为m>4，所以m(m−4)>0，从而于是f(m)=1此时h(a)≥g(m)=f(m)综合①②可知，对任意实数a，恒有h(a)≥4m

19.【答案】解：(1)gxg′x故gx在0,1上单调递增，故gx在0,1上的最小值为(2)fx令hx=fx−sin令φx=cosx−1+x令μx=−sinx+x，故μx在0,1上单调递增，则μ即φ′x>0恒成立，故φx故φx则cosx>1−x2故h′=x由x∈0,1，则x+故h′x<