四川资阳市2026-2027学年高三上学期第一次诊断性考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页四川资阳市2026-2027学年高三上学期第一次诊断性考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=R，M=xx−2x+1<0，则A.−1,2 B.−2,1

C.−∞,−2∪1,+∞ 2.在等差数列an中，若a2+a16A.2 B.3 C.4 D.83.在一次课外活动中，某班组织男生开展了引体向上测试．现抽取了8名男生的引体向上成绩(单位：个)，依次为9，11，8，10，13，14，16，22，则该组数据的第75百分位数为(

)A.14 B.15 C.16 D.194.已知向量a=x,4，b=1,x，则“x=2”是“aA.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.充要条件5.已知直线y=2x+3与曲线y=ex−a+x相切，则实数a=A.−2 B.1 C.2 D.46.已知sinα−π4+A.−78 B.−18 C.7.已知x，y∈R，a>1，b>1，若ax=by=8，且ab=16，则A.12 B.32 C.2 8.在(x+y+z+1)n+3n∈N∗的展开式中，含xyz的项的系数为an，记数列1an的前n项和为SA.16 B.19 C.112二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z满足z1−i=3+4i，则(

)A.z的虚部为72i B.z+12是纯虚数 C.10.已知函数fx=3A.fx在区间π3,5π6上单调递减

B.fx的最大值为32

C.fx的图象可由y=sin2x的图象向左平移11.已知函数fx的定义域为R，y=fx+1−2是奇函数，y=f2x+3是偶函数，且fA.fx+fx+4=4 B.4是fx的一个周期

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若fx=fx+2,x<1log13.一个口袋里装有4个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．现从中任意取出3个小球，设变量X为取出的3个小球中红球的个数，则X的数学期望EX=

．14.以平衡位置为原点，忽略阻力时，弹簧振子做简谐振动，位移随时间变化可表示为余弦型函数．记弹簧振子在时刻t的位移为ft(位移单位：cm，时间t单位：s)，称ft=0的时刻为过零时刻，对应弹簧振子经过平衡位置．若在时段a,b内(端点不计入)恰有k个过零时刻，就称a,b为k次过零时段k∈N.已知某弹簧振子的位移满足ft=cosωt−π3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数fx=x(1)若直线y=b与曲线y=fx有三个不同的交点，求实数b(2)求fx在区间−1,3上的最大值与最小值．16.(本小题15分)已知数列an的前n项和为Sn，a1(1)证明：数列Sn+1是等比数列，并求(2)设bn=n−12an，求数列17.(本小题15分)在▵ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知向量m=b−2a,c，n=(1)求C；(2)记▵ABC外接圆的圆心为O，边BC的中点为D，若AD=7，a=2，求cos18.(本小题17分)为探究环境温度对某型号纯电动汽车实际续航里程的影响，某新能源汽车企业随机抽取一辆该型号试验车，在车速、路况、载重等变量保持一致的前提下，分别在5种不同环境温度下开展满电续航测试．测得环境温度x(单位：℃)与实测续航里程y(单位：km)的对应数据如下表：环境温度x(℃)−5051020实测续航里程y(km)260265280305330与此同时，为研究冬季启动电池预热功能对车辆实际续航的影响，该企业随机抽取200名该型号车主开展问卷调查．规定：冬季实际续航里程不低于280 km(即标称续航350 km的80%)为“续航达标”.调查结果如下列联表所示：电池预热功能续航合计达标未达标冬季启用7525100冬季未启用5545100合计13070200(1)求实测续航里程y关于环境温度x的线性回归方程y=bx+(2)依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析冬季启用电池预热功能与续航达标是否有关联；(3)根据列联表数据，用样本分布的频率估计总体分布的概率．从该型号纯电动汽车中随机抽取10辆(假设该型号汽车的总体数量远大于10)，记X为这10辆电动汽车中“冬季续航未达标”的辆数，令Pk=PX=kk=0,1,2,…,10，求参考公式或数据：线性回归方程y=bx+a中，系数b，a由下式确定：参考数据：i=15独立性检验统计量：χ2=n(ad−bcα0.10.050.010.001χ2.7063.8416.63510.82819.(本小题17分)已知函数fx(1)当a=2时，求fx(2)当x>1时，fx<0，求(3)设n∈N∗，求证：k=1n1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】BC

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】1

13.【答案】2

14.【答案】0,515.【答案】解：(1)f′x=3x2−3a，因f则f′x=3x则fx在−∞,−1,1,+∞则fx在x=−1时取极大值，在x=1因直线y=b与曲线y=fx有三个不同的交点，则b从而f1(2)由(1)可得fx在−1,1上单调递减，在1,3又f−1则fx

16.【答案】解：(1)由题意得：Sn+1+1=3S所以数列Sn+1是以首项为3，公比为所以Sn+1=3×3当n≥2时，an当n=1时，2×3所以an(2)由题意得：bn所以Tn3T由①−②有：−2T所以Tn

17.【答案】解：(1)∵m⊥n，∴由正弦定理得sinB−2化简得sinB+C=2sinAcos即sinA=2sinAcosC∴cosC=12，又(2)∵D是边BC的中点，∴CD=1，在▵ADC中，由余弦定理得AD即b2−b−6=0，解得b=3或b=−2(舍在▵ABC中，由余弦定理得AB即c2=7，解得c=7或再由余弦定理得cosA=∵O是▵ABC外接圆的圆心，∴▵ABC外接圆的半径满足2R=csinC又D是边BC的中点，∴OD⊥BC，又∵圆心角是对应圆周角的2倍，即∠BOC=2A，∴∠DOC=A，OD=OCcos在▵OAD中，OA=R=213，AD=由余弦定理得cos∠OAD=∴cos∠OAD的值为

18.【答案】解：(1)由题中5组环境温度数据，得x=−5+0+5+10+205则i=15所以b^=所以回归方程y=3x+270当环境温度为25℃时，y=3×25+270=345，即预测续航里程为345 km(2)提出零假设H0由χ2因此拒绝零假设H0，依据小概率值α=0.01的独立性检验，认为冬季启用电池预热功能与续航达标有关联，该推断犯错误的概率不超过0.01(3)由列联表数据，样本中冬季续航未达标的频率为70200=720，用频率估计总体概率，即从该型号汽车中随机抽取由于该型号汽车总体数量远大于10，抽取10辆的试验可视为独立重复试验，因此随机变量X服从二项分布X∼B10,其概率为PX=k=CPX=k由PX=kPX=k−1>1，即当k=1,2,3时，PX=k>PX=k−1，概率P由PX=kPX=k−1≤1，即当k≥4时，概率Pk随k所以当k=3时，Pk

19.【答案】解：(1)当a=2时，fx=lnx−x−1∵f′x∴fx的单调递减区间为0,+∞(2)f′x令gx=4①当a≥2时，∵x>1，∴0<2x∴gx在1,+∞上单调递减，∴gx<g∴fx在1,+∞上单调递减，∴f②当a≤0时，gx>0恒成立，即∴fx在1,+∞上单调递增，∴f③当0<a<2时，令g′x=0，