九年级数学上册《圆数学活动》课件

第二十九章圆R·九年级数学上册数学活动学习目标1.掌握用尺规作图法四等分、八等分及十六等分圆周.2.探究能过四边形的四个顶点作圆的条件.情境导入有两千多年历史的中国铜镜以“装饰繁缛、制作精美”著称于世，圆形铜镜是它最重要的一种样式.东汉连弧纹铜镜西汉草叶纹铜镜探索新知活动1四等分圆周问题1：怎样把一个圆进行四等分？OABCD①任意作⊙O的直径AB；②过点O作AB的垂线，与⊙O相交于C，D两点，则点A，B，C，D将⊙O四等分.问题2：你能说明其中的道理吗？OABCD

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.等分弧等分圆心角试一试：将一个圆进行八等分.我们只需要在四等分的基础上，再平分圆心角就可以得到所需的八等分．随着后续的学习，你将会学到更多利用尺规等分圆周的方法！生活中的圆之美“天圆地方”的哲学观生活中的圆之美“团圆”、“和谐”的美好愿望活动2探究四点共圆的条件问题1：经过平面内一点能作几个圆？两个点呢？三个点呢？条件结论经过一点无数个圆圆心分布无限制A条件结论经过一点无数个圆圆心分布无限制经过两点无数个圆圆心在AB的垂直平分线上AB条件结论经过一点无数个圆圆心分布无限制经过两点无数个圆圆心在AB的垂直平分线上经过三点lABCOABCl1l2不共线共线只能作1个圆不能作圆问题2：过平面内四个点能确定一个圆吗？条件结论经过四点四点共线三点共线任意三点不共线不能作圆构成四边形试一试：图中给出了一些四边形，能否过它们的四个顶点作一个圆？试一试！ADBCABCDABCDABCD结论：不是所有四边形的四个顶点共圆，只有一部分四边形的四个顶点共圆.具有什么特点的四边形的四个顶点共圆呢？ADBCABCDABCD做一做：分别测量下面各四边形的内角，看看有什么共同特征？∠A+∠C=180°∠A+∠C=180°∠A+∠C=180°猜想：对角互补的四边形的四个顶点共圆.猜想：对角互补的四边形的四个顶点共圆.已知：在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.求证：过点A，B，C，D可作一个圆.分析：假设过A、B、C、D四点不能作一个圆，过A、B、D三点作圆，则点C要么在圆内，要么在圆外.ABCDOABCDOABCDO已知：在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.求证：过点A，B，C，D可作一个圆.证明：假设过点A,B,C,D四点不能作一个圆.过A,B,D三点作圆，若点C在圆内.E延长BC与圆交于点E，连接DE，则∠A+∠E=180°.∵∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD=∠E.∵∠BCD=∠CDE+∠E，这与∠BCD=∠E矛盾，故假设不成立.因此点C不在过点A,B,D三点的圆内.已知：在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.求证：过点A，B，C，D可作一个圆.证明：假设过点A,B,C,D四点不能作一个圆.过A,B,D三点作圆，若点C在圆外.ABCDO设BC与圆交于点E，连接DE，则∠A+∠BED=180°.E∵∠A+∠C=180°，∴∠BED=∠C.∵∠BED=∠EDC+∠C，这与∠BED=∠C矛盾，故假设不成立.因此点C不在过点A,B,D三点的圆外.已知：在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.求证：过点A，B，C，D可作一个圆.ABCDOE综上所述，点C不在过点A,B,D三点的圆外，也不在过点A,B,D三点的圆内.ABCDOE所以点C在过点A,B,D三点的圆上，即过点A,B,C,D可作一个圆.ABCDO结论：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆.ACDOB对角互补的四边形的四个顶点共圆.随堂练习1.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=26°，则∠ABD的度数为______.ABCD64°2.如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC.求证：B、E、F、C四点共圆.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°，∴∠AED+AFD=180°.∴A、E、D、F四点共圆.∴∠DEF=∠DAF.又AD⊥DC，∴∠DAF+∠C=90°.∴∠DEF+∠C=90°.∴∠BEF+∠C=∠BED+∠DEF+∠C=180°.∴B、E、F、C四点共圆.一、选择题(共12题，每题3分，共36分)1.如图，

B

，

C

是☉

O

上两点，且∠α＝96°，

A

是☉

O

上一个动点(不与

点

B

，

C

重合)，则∠

A

的度数为(

C

)A.48°B.132°C.48°或132°D.96°第1题图C1234567891011121314151617181920【解析】如图，在优弧

BC

上取一点A'，连接BA'，CA'，

∴∠A'＝48°.∵∠A'＋∠

A

＝180°，∴∠

A

＝132°.综上所述，∠

A

的度数为48°或132°.12345678910111213141516171819202.如图，在半径为5cm的☉

O

中，弦

AB

＝8cm，

OC

⊥

AB

于点

C

，则

OC

的长为(

A

)A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm第2题图A1234567891011121314151617181920【解析】如图，连接

OA

，则

OA

＝5cm.∵

OC

⊥

AB

，

在Rt△

OAC

中，

OA2＝

AC2＋

OC2，即52＝42＋

OC2，∴

OC

＝3cm(负值已舍去).12345678910111213141516171819203.如图，在☉

O

中，若∠

BOC

＝50°，则∠

BAC

的度数是(

C

)A.50°B.30°C.25°D.20°第3题图

C12345678910111213141516171819204.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过

A

，

B

，

C

三点，那么

这条圆弧所在圆的圆心是(

B

)A.点

P

B.点

Q

C.点

R

D.点

M

第4题图B1234567891011121314151617181920【解析】作线段

AB

的垂直平分线，作线段

BC

的垂直平分线，如图，它们都经过点

Q

，所以点

Q

是这条圆弧所在圆的圆心.12345678910111213141516171819205.如图，将一把透明三角尺放置在量角器上，使点

C

与圆心重合，若∠

ACB

＝90°，∠

A

＝30°.三角尺的直角边

BC

和量角器所在圆的半径相

等，

D

是斜边

AB

与量角器的交点，若点

B

对应的刻度为138°，则点

D

对应的刻度为(

C

)A.52°B.72°C.78°D.82°第5题图C1234567891011121314151617181920【解析】如图，连接

CD

.

∵∠

ACB

＝90°，∠

A

＝30°，∴∠

B

＝90°－30°＝60°.∵

CD

＝

BC

，∴△

BCD

是等边三角形.∴∠

BCD

＝60°.∵点

B

对应的刻度为138°，∴点

D

对应的刻度为138°－60°＝78°.12345678910111213141516171819206.当一个三角形的内心与外心重合时，这个三角形一定是(

D

)A.直角三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形D12345678910111213141516171819207.如图，在边长为2的等边三角形

ABC

中，

D

是

BC

边上的中点，以点

A

为圆心，

AD

长为半径作圆与

AB

，

AC

分别交于

E

，

F

两点，则图中

阴影部分的面积为(

C

)第7题图C1234567891011121314151617181920

12345678910111213141516171819208.底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，则这个圆锥的

高为(

D

)A.5cmB.3cmC.8cmD.4cmD1234567891011121314151617181920【解析】设圆锥的母线为

xcm，

∵圆锥的底面直径为6cm，∴圆锥的底面半径为6÷2＝3(cm).如图，圆锥的底面半径

OB

，母线

AB

，高

OA

构成一个直角三角形，则

AB

＝5cm，

OB

＝3cm.

故圆锥的高是4cm.12345678910111213141516171819209.如图，☉

O

是△

ABC

的内切圆，

D

，

E

分别为边

AB

，

AC

上的点，且

DE

为☉

O

的切线，若△

ABC

的周长为25，

BC

的长是9，则△

ADE

的周

长是(

A

)A.7B.8C.9D.16第9题图A1234567891011121314151617181920【解析】如图，∵

AB

，

AC

，

BC

，

DE

都和☉

O

相切，∴

BI

＝

BG

，

CI

＝

CH

，

DG

＝

DF

，

EF

＝

EH

.

∴

BG

＋

CH

＝

BI

＋

CI

＝

BC

＝9.∴

C△

ADE

＝

AD

＋

DE

＋

AE

＝

AD

＋

DF

＋

EF

＋

AE

＝

AD

＋

DG

＋

EH

＋

AE

＝

AG

＋

AH

＝

C△

ABC

－(

BG

＋

CH

＋

BC

)＝25－2×9＝7.123456789101112131415161718192010.对于“过直线

l

外一点

A

作这条直线的垂线”的几何作图，甲、乙均设

计了自己尺规作图的过程：甲：①在直线

l

上取一点

B

，连接

AB

，如图；②作线段

AB

的垂直平分线

EF

，交

AB

于点

O

；③以点

O

为圆心，

OB

长为半径作圆，交直线

l

于点

G

；④作直线

AG

，直线

AG

即为所求作的直线.1234567891011121314151617181920乙：①在直线

l

上取点

B

和点

D

，连接

AB

，

AD

，如图；②以点

B

为圆心，

BA

长为半径作圆；③以点

D

为圆心，

DA

长为半径作圆，两圆相交于点

A

和点

M

；④作直线

AM

，直线

AM

就是所求的直线.对于以上作图过程(

D

)A.甲对B.乙对C.甲、乙均不对D.甲、乙均对D1234567891011121314151617181920【解析】对于甲，由作图可知，

O

为

AB

的中点，∴

AB

为☉

O

的直径.∵

G

为☉

O

上一点，∴∠

AGB

＝90°.∴

AG

⊥

BG

，即

AG

⊥

l

.故甲作法正确；对于乙，如图，连接

BM

，

DM

.

由作图，可知

BA

＝

BM

，

DA

＝

DM

，∴

B

，

D

在

AM

的中垂线上.∴

BD

⊥

AM

，即

AM

⊥

l

.故乙作法正确.123456789101112131415161718192011.如图，等边三角形

ABC

的边长为4，☉

A

的半径为2，

D

是

BC

边上的

动点，

DE

与☉

A

相切于点

E

，

DE

的最小值是(

C

)A.2D.3第11题图C1234567891011121314151617181920【解析】如图，连接

AE

，

AD

，作

AH

⊥

BC

于点

H

.

∵

DE

与☉

A

相切于点

E

，∴

AE

⊥

DE

.

∵☉

A

的半径为2，

∴当

AD

取最小值时，

DE

有最小值，而当点

D

与点

H

重合时，

AD

最小.∵等边三角形

ABC

的边长为4，∴

BH

＝

CH

＝2.

1234567891011121314151617181920

第12题图

A.嘉嘉对，淇淇错B.淇淇对，嘉淇错C.嘉嘉错，嘉淇错D.淇淇错，嘉淇对A1234567891011121314151617181920

∴

PM

＝

OP

－

OM

＝5－3＝2.∴点

P

到

AB

的距离为2，故嘉嘉对；

1234567891011121314151617181920二、填空题(共4题，每题3分，共12分)13.如图，四边形

ABCD

内接于☉

O

，若四边形

ABCO

是平行四边形，

则∠

D

的度数为

⁠.第13题图60°

1234567891011121314151617181920

123456789101112131415161718192014.正

n

边形的中心角为72°，则

n

＝

；正

n

边形的每一个内角

为

⁠.

【方法点拨】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角之和

为360°是解答本题的关键.5

123456789101112131415161718192015.如图，△

ABC

内接于☉

O

，

AD

是☉

O

的直径，∠

ABC

＝30°，则∠

CAD

＝

⁠°.第15题图60

【解析】∵

AD

是☉

O

的直径，∴∠

ACD

＝90°.∵∠

CDA

＝∠

ABC

＝30°，∴∠

CAD

＝90°－∠

CDA

＝60°.123456789101112131415161718192016.[石家庄外国语学校开学考试]如图，已知△

ABC

为等腰直角三

角形，∠

BAC

＝90°，

AC

＝2，以点

C

为圆心，1为半径作圆，

P

为☉

C

上一动点，连接

AP

，并绕点

A

顺时针旋转90°得到AP'，连接CP'，则

CP'的取值范围是

⁠.

第16题图1234567891011121314151617181920【解析】如图，连接

CP

，BP'，由题意，得∠PAP'＝90°，又∵∠

BAC

＝90°，∴∠

CAP

＋∠CAP'＝∠BAP'＋∠CAP'＝90°.∴∠

CAP

＝∠BAP'.

∴△

APC

≌△AP'B(SAS).1234567891011121314151617181920∴

PC

＝P'B＝1.∴点P'在以点

B

为圆心，1为半径的圆上.在等腰直角三角形

ABC

中，∵

AC

＝2，

1234567891011121314151617181920三、解答题(共52分)17.(6分)如图，一量角器所在圆的直径为10cm，其外缘有

A

，

B

两点，

其读数分别为71°和47°.(1)劣弧

AB

所对的圆心角的度数为

°；【解析】劣弧

AB

所对圆心角的度数为71°－47°＝24°.24

1234567891011121314151617181920

123456789101112131415161718192018.(8分)如图，(1)请画出△

ABC

绕点

O

顺时针旋转90°后得到的△

A1

B1

C1；解：(1)如图，△

A1

B1

C1即为所作.1234567891011121314151617181920(2)求出(1)中点

C

旋转到点

C1所经过的路径长(结果保留π).

123456789101112131415161718192019.(8分)如图，

AC

，

BD

是☉

O

的切线，

C

，

D

为切点，连接

AB

.

(1)若

AB

与☉

O

相切于点

E

，求证：

AC

＋

BD

＝

AB

；证明：(1)∵

AB

与☉

O

相切于点

E

，且

AC

，

BD

是☉

O

的切线，

C

，

D

为切点，∴

AE

＝

AC

，

BE

＝

BD

.

∵

AB

＝

AE

＋

BE

，∴

AC

＋

BD

＝

AB

.

1234567891011121314151617181920(2)若

AC

＋

BD

＝

AB

，求证：

AB

与☉

O

相切.证明：(2)如答图，延长

AC

到点

F

，使得

CF

＝

BD

，连接

AO

，过点

O

作

OG

⊥

AB

，垂足为

G

，连

接

OB

，

OD

，

OC

，

OF

.

∵

CF

＝

BD

，

AC

＋

BD

＝

AB

，∴

AB

＝

AC

＋

CF

＝

AF

.

∵

AC

，

BD

是☉

O

的切线，

C

，

D

为切点，∴∠

BDO

＝∠

FCO

＝90°，

OC

＝

OD

.

1234567891011121314151617181920∴△

BDO

≌△

FCO

(SAS).∴

OB

＝

OF

.

又∵

AF

＝

AB

，

AO

＝

AO

，∴△

ABO

≌△

AFO

(SSS).∴∠

BAO

＝∠

FAO

，即

AO

平分∠

BAC

.

又∵

OG

⊥

AB

，

OC

⊥

AC

，∴

OG

＝

OC

.

∴

AB

与☉

O

相切.123456789101112131415161718192020.(8分)如图，

AB

为☉

O

的直径，弦

CD

⊥

AB

于点

F

，

OE

⊥

AC

于点

E

，若

OE

＝3，

OB

＝5，求

OF

的长.解：如图，连接

OC

.

∵

AB

⊥

CD

，

OE

⊥

AC

，∴

CF

＝

FD

，

AE

＝

EC

.

∵

OE

＝3，

OB

＝5，∴

OB

＝

OC

＝

OA

＝5.

∴

AE

＝

EC

＝4.1234567891011121314151617181920∴

AC

＝8.设

OF

＝

x

，则

AF

＝5＋

x

.在Rt△

CAF

中，

CF2＝

AC2－

AF2，在Rt△

OFC

中，

CF2＝

OC2－

OF2，∴

AC2－

AF2＝

OC2－