九年级数学上册《一元二次方程的概念》课件

25.1一元二次方程的概念第二十五章一元二次方程R·九年级数学上册学习目标1.会设未知数，列一元二次方程.2.了解一元二次方程及其根的概念.3.能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数．复习回顾1.下列哪些式子是方程？2+6=82x+35x+6=22x+3y=8x−5<18

×没有未知数×代数式√√×不等式√2.什么叫方程？我们学过哪些方程？含有未知数的等式叫作方程.我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.3.什么叫一元一次方程？只含一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫作一元一次方程.探索新知问题1：如图1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？图1图2解：设各角切去的正方形铁皮的边长为xcm，则盒底的长为（100−2x）cm，宽为（50−2x）cm.根据方盒的底面积为3600cm2，可列得方程图1图23600cm2100cm50cm(100−2x)(50−2x)=3600.整理并化简，得x2−75x+350=0.①问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.组织者应邀请多少支球队参赛？解：设应邀请x支球队参赛，根据题意可列得方程

整理并化简，得x2−x−56=0.②问题3：在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感.如果某人体雕像全身长为5m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ABC解：设雕像腰部以下的身长BC

为xm，根据题意可列得方程x2=5(5−x).整理并化简，得x2+5x−25=0.③观察与思考方程①②③都不是一元一次方程.那么这几个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？x2−75x+350=0①x2−x−56=0②x2+5x−25=0③特点：1.都是整式方程；2.只含一个未知数；3.未知数的最高次数是2.二次项二次项系数一次项一次项系数常数项知识要点一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）ax2abxbc想一想：为什么一般形式中ax2+bx+c=0要规定a≠0？b、c可以为0吗？当a=0时bx+c=0一元一次方程当a≠0，b=0时ax2+c=0一元二次方程当a≠0，c=0时ax2+bx=0一元二次方程当a≠0，b=c=0时ax2=0一元二次方程特殊形式总结：只要满足a≠0，b、c可以为任意实数.

提示：提示判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.②牛刀小试一元一次方程与一元二次方程的区别与联系一元一次方程一元二次方程一般式ax+b=0（a≠0）ax2+bx+c=0（a≠0）相同点整式方程，只含有一个未知数不同点未知数最高次数是1未知数最高次数是2例

将方程3x(x–1)=5(x+2)

化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.解：去括号，得3x2–3x=5x+10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2–8x–10=0.它的二次项系数为3，一次项系数为–8，常数项为–10.注意：系数和项均包含前面的符号.牛刀小试下列哪些数是一元二次方程x2–4x+3=0的解？为什么？–1，0，1，2，3.√√一元二次方程的解

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解（又叫作根）.点击图片播放视频随堂练习

2.一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（）A.3，5 B.3，0 C.3，–5 D.5，0BC3.关于x的方程(a–1)x2+4x–3=0是一元二次方程，则（）A.a>1 B.a=1 C.a≠1 D.a≥04.已知关于x的方程xk–1–2x+3=0是一元二次方程，则k=______.C35.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：【选自教材第3页练习第1题】（1）5x2–1=4x；

（2）4x2=81；解：一般形式：5x2–4x–1=0二次项系数：5一次项系数：–4常数项：–1解：一般形式：4x2–81=0

二次项系数：4

一次项系数：0

常数项：–81（3）4x(x+2)=25；（4）(3x–2)(x+1)=8x–3.解：一般形式：4x2+8x–25=0

二次项系数：4

一次项系数：8

常数项：–25解：一般形式：3x2–7x+1=0

二次项系数：3

一次项系数：–7

常数项：16.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：（1）4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；【选自教材第3页练习第2题】解：设正方形的边长为x，列得方程4x2=25，化为一般形式为4x2–25=0.（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；解：设矩形的长为x，列得方程x(x–2)=100，化为一般形式为x2–2x–100=0.（3）把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长.解：设较短木条的长为x，列得方程x·1=(1–x)2，化为一般形式为x2–3x+1=0.课堂小结一元二次方程概念一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）是整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数是2.a二次项系数b一次项系数c常数项一、选择题(共12题，每题3分，共36分)1.下列方程是一元二次方程的是(

C

)B.

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

，

b

，

c

均为常数)C.(2

x

－1)(3

x

＋2)＝5D.(2

x

＋1)2＝4

x2－3C1234567891011121314151617181920

A.3B.－3C.±3D.无法确定【解析】由题意，得

m

－3≠0，

m2－7＝2，解得

m

＝－3.B12345678910111213141516171819203.若

m

，

n

分别是一元二次方程

x2－4

x

＋1＝0的两个根，则

m2－3

m

＋

n

的值为(

A

)A.3B.4C.5D.6【解析】∵

m

，

n

分别是一元二次方程

x2－4

x

＋1＝0的两个根，∴

m2－4

m

＋1＝0，

m

＋

n

＝4.∴

m2－4

m

＝－1.∴

m2－3

m

＋

n

＝

m2－4

m

＋

m

＋

n

＝－1＋4＝3.A12345678910111213141516171819204.方程

x2－4

x

＝7的根的情况是(

C

)A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.有一个实数根5.将

x2－6

x

－4＝0进行配方变形，下列正确的是(

C

)A.(

x

－6)2＝13B.(

x

－6)2＝9C.(

x

－3)2＝13D.(

x

－3)2＝9CC12345678910111213141516171819206.如果关于

x

的一元二次方程(

m

－3)

x2＋3

x

＋

m2－9＝0有一个解是0，

那么

m

的值是(

B

)A.3B.－3C.±3D.0或－3B12345678910111213141516171819207.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月

份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为

x

，则根据

题意可列方程(

D

)A.50(1＋

x

)2＝175B.50＋50(1＋

x

)2＝175C.50(1＋

x

)＋50(1＋

x

)2＝175D.50＋50(1＋

x

)＋50(1＋

x

)2＝175D12345678910111213141516171819208.已知

a

是一元二次方程

x2－

x

－1＝0较大的根，则下列对

a

的值估计

正确的是(

B

)A.2＜

a

＜3B.1.5＜

a

＜2C.1＜

a

＜1.5D.0＜

a

＜1B1234567891011121314151617181920

1234567891011121314151617181920

A.10B123456789101112131415161718192010.小刚在解关于

x

的方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0)时，只抄对了

a

＝2，

c

＝1，解出其中一个根是

x

＝1.他核对时发现所抄的

b

值比原方程的

b

值

小1，则原方程的根的情况是(

A

)A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根C.有另一个根是

x

＝－1D.有两个相等的实数根

A1234567891011121314151617181920

123456789101112131415161718192011.若关于

x

的一元二次方程

nx2－2

x

－1＝0无实数根，则一次函数

y

＝

(

n

＋1)

x

－

n

＋1的图象不经过(

C

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵关于

x

的一元二次方程

nx2－2

x

－1＝0无实数根，∴Δ＝4＋4

n

＜0，解得

n

＜－1，则－

n

＞1.此时

n

＋1＜0，－

n

＋1＞2，故一次函数

y

＝(

n

＋1)

x

－

n

＋1的图象不经过第三象限.C123456789101112131415161718192012.已知2是关于

x

的方程

x2－(5＋

m

)

x

＋5

m

＝0的一个根，并且这个方

程的两个根恰好是等腰三角形

ABC

的两条边长，则△

ABC

的周长为

(

B

)A.9B.12C.9或12D.6或12或15B1234567891011121314151617181920【解析】把

x

＝2代入方程

x2－(5＋

m

)

x

＋5

m

＝0，得4－2(5＋

m

)＋5

m

＝0，解得

m

＝2.方程可整理为

x2－7

x

＋10＝0，解得

x1＝2，

x2＝5.∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形

ABC

的两条边长，∴等腰三角形

ABC

的腰长为5，底边长为2.∴三角形

ABC

的周长为5＋5＋2＝12.1234567891011121314151617181920二、填空题(共4题，每题3分，共12分)13.一元二次方程3

x

(

x

－2)＝－4的一般形式是

⁠.14.若关于

x

的一元二次方程

kx2－

x

＋1＝0有实数根，则

k

可取的最大

整数值为

⁠.3

x2－6

x

＋4＝0

－1

123456789101112131415161718192015.为增强学生体质，培养学生正确的体育思想和团队意识，2024年初

某市开展了“篮球进园”活动.近日，该市篮球协会要组织初中学校的篮

球队进行一次联赛，要求每两队之间进行一场比赛，计划安排6天，每

天比赛6场，则参加比赛的球队数是

⁠.

解得

x1＝9，

x2＝－8(不符合题意，舍去).则参加比赛的球队数是9.9

1234567891011121314151617181920

x

＝－1

x1＝1，

x2＝－3

1234567891011121314151617181920三、解答题(共52分)17.(每题3分，共12分)解方程：(1)(2

x

＋3)2－25＝0；解：(1)(2

x

＋3)2－25＝0.移项，得(2

x

＋3)2＝25.∴2

x

＋3＝5或2

x

＋3＝－5.解得

x1＝1，

x2＝－4.1234567891011121314151617181920(2)2

x2－7

x

－2＝0；

1234567891011121314151617181920(3)(

x

＋2)2＝3(

x

＋2)；

解：(3)(

x

＋2)2＝3(

x

＋2).移项，得(

x

＋2)2－3(

x

＋2)＝0.因式分解，得(

x

＋2)(

x

＋2－3)＝0.∴

x

＋2＝0或

x

＋2－3＝0.解得

x1＝－2，

x2＝1.1234567891011121314151617181920(4)

x2－2

x

－3＝0.解：(4)

x2－2

x

－3＝0.移项，得

x2－2

x

＝3.配方，得

x2－2

x

＋1＝3＋1，即(

x

－1)2＝4.∴

x

－1＝2或

x

－1＝－2.解得

x1＝3，

x2＝－1.123456789101112131415161718192018.(6分)下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的

任务.解：2

x2＋4

x

－8＝0.二次项系数化为1，得

x2＋2

x

－4＝0.…第一步移项，得

x2＋2

x

＝4.…第二步配方，得

x2＋2

x

＋4＝4＋4，即(

x

＋2)2＝8.…第三步

(1)小明解题过程中，从第

⁠步开始出现错误；三

1234567891011121314151617181920(2)请给出正确的解题过程.

123456789101112131415161718192019.(8分)已知关于

x

的一元二次方程

x2＋2

x

－(

m

－2)＝0有实数根.(1)求

m

的取值范围；解：(1)∵关于

x

的一元二次方程

x2＋2

x

－(

m

－2)＝0有实数根，∴Δ＝

b2－4

ac

＝22－4×1×[－(

m

－2)]＝4

m

－4≥0，解得

m

≥1.(2)若方程有一个根为

x

＝1，求

m

的值及另一个根.解：(2)将

x

＝1代入原方程，得1＋2－(

m

－2)＝0，解得

m

＝5.∴原方程为

x2＋2

x

－3＝(

x

－1)(

x

＋3)＝0，解得

x1＝1，

x2＝－3，∴

m

的值为5，方程的另一个根为

x

＝－3.123456789101112131415161718192020.(8分)如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝21cm，

BC

＝8cm，动点

E

从

点

A

出发，以3cm/s的速度沿

AB

向点

B

运动，动点

F

从点

C

出发，以2

cm/s的速度沿着

CD

向点

D

运动，当点

E

到达点

B

时，点

E

，

F

同时停

止.则

EF

的长为10cm时点

E

的运动时间是多少秒？1234567891011121314151617181920解：如图所示，过点

E

作

EM

⊥

CD

于点

M

，由题意知，当运动时间为

t

秒时，

AE

＝3

t

，

CF

＝2

t

，

EM

＝

BC

＝8，∴

MF

＝

AB

－

AE

－

CF

＝21－5

t

.根据勾股定理，得

MF2＋

ME2＝

EF2，即(21－5

t

)2＋82＝102，整理，得5

t2－42

t

＋81＝0.

123456789101112131415161718192021.(8分)课本再现人教版初中数学教科书九年级上册第23页数学活动对三角点阵中前

n

行

的点数计算进行了探究.如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多

行，其中第1行有一个点，第2行有两个点……第

n

行有

n

个点……小明同学发现，前2行的点数和是1＋2＝3，前3行的点数和是1＋2＋3＝

6，前4行的点数和是1＋2＋3＋4＝10……前

n

行的点数和是1＋2＋3＋4

＋5＋…＋

n

，他有点疑惑，能不能用含

n

的式子把1＋2＋3＋4＋5＋…

＋

n

表示出来.2122小明同学通过阅读课本知道了答案，但他仍在问自己这个结果是怎么来

的.经过思考后，他发现：设

S

＝1＋2＋3＋4＋…＋