九年级数学上册《一元二次方程数学活动》课件

数学活动第二十五章一元二次方程R·九年级数学上册学习目标1.理解并推导含公共系数的三个一元二次方程恰有一个公共解的条件，掌握公共解的通用求解方法.2.能利用一元二次方程解决线段分割的代数+几何综合问题，掌握对应尺规作图的规范步骤.3.提升一元二次方程的综合应用能力，体会方程思想、数形结合思想在代数与几何问题中的应用．活动1探究方程有公共解的条件探索新知已知abc≠0，方程ax2+bx+c=0，①bx2+cx+a=0，②cx2+ax+b=0.③恰有一个公共解.给出a，b，c满足的条件，并求出方程①②③的解.am2+bm+c=0，①bm2+cm+a=0，②cm2+am+b=0.③解：设三个方程的公共解为m，根据方程解的定义，将m代入三个方程，等式均成立：由①+②+③，合并同类项可得：(a+b+c)m2+(a+b+c)m+(a+b+c)=0.提取公因式(a+b+c)，化简得：(a+b+c)(m2+m+1)=0.(a+b+c)(m2+m+1)=0对于二次式m2+m+1，其根的判别式Δ=12–4×1×1=–3<0，因此m2+m+1>0.要使等式成立，只能满足a+b+c=0，这就是a，b，c

需要满足的核心条件.ax2+bx+c=0，①bx2+cx+a=0，②cx2+ax+b=0.③由a+b+c=0，得c=–(a+b)，代入①，②，③得ax2+bx–(a+b)=0，①bx2–(a+b)x+a=0，②–(a+b)x2+ax+b=0.③(x–1)[ax+(a+b)]=0，①(x–1)(bx–a)=0，②(x–1)[(a+b)x+b]=0.③因式分解(x–1)[ax+(a+b)]=0，①(x–1)(bx–a)=0，②(x–1)[(a+b)x+b]=0.③

因此，三个方程的公共解为x=1.知识要点公共解问题通用方法：设公共解，代入所有方程联立，通过加减消元、因式分解简化推导.活动2神奇的线段分割问题1：王芳：你能把任意一条线段分成两两不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗?解：设线段全长为l，分成的三条线段为a，b，c，且a>b>c>0，两两不等.

这条线段如图所示.abc

解：设线段全长为l，分成的三条线段为a，b，c，且a>b>c>0，两两不等.

所以bc+ac=ab，(a+b)c=ab.①(a+b)c=ab.①因为a=b+c，代入①，得(b+c+b)c=(b+c)b，移项，合并同类项得b2–bc–c2=0.②将②看作关于b

的一元二次方程，c

为常数，用求根公式求解：

黄金分割数请你用直尺和圆规作出这条线段中的两个分点.1.作中点（找到第一个分点）：

②过交点作AB的垂线，这条垂线与AB的交点即为中点M.③此时AM=BM=a.作图步骤：2.在MB上找第二个分点：①用上述同样的方法作出MB的中点P；②过点B作MB的垂线，在垂线上截取点C，使BC=PB，连接MC.③以点C为圆心，CB长为半径画弧，交线段MC于点D.④以点M为圆心，MD长为半径画弧，交线段MB于点N.⑤此时MN=b，NB=c.生活中的黄金分割ABCDENM正五角星

生活中的黄金分割鹦鹉螺外壳的截面生活中的黄金分割优选法华罗庚先生推广的优选法，也称0.618法，认为在测试区间使用黄金分割位进行试验，筛选效率最佳，并从理论上进行了严格的证明.一、选择题(共12题，每题3分，共36分)1.下列方程是一元二次方程的是(

C

)B.

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

，

b

，

c

均为常数)C.(2

x

－1)(3

x

＋2)＝5D.(2

x

＋1)2＝4

x2－3C1234567891011121314151617181920

A.3B.－3C.±3D.无法确定【解析】由题意，得

m

－3≠0，

m2－7＝2，解得

m

＝－3.B12345678910111213141516171819203.若

m

，

n

分别是一元二次方程

x2－4

x

＋1＝0的两个根，则

m2－3

m

＋

n

的值为(

A

)A.3B.4C.5D.6【解析】∵

m

，

n

分别是一元二次方程

x2－4

x

＋1＝0的两个根，∴

m2－4

m

＋1＝0，

m

＋

n

＝4.∴

m2－4

m

＝－1.∴

m2－3

m

＋

n

＝

m2－4

m

＋

m

＋

n

＝－1＋4＝3.A12345678910111213141516171819204.方程

x2－4

x

＝7的根的情况是(

C

)A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.有一个实数根5.将

x2－6

x

－4＝0进行配方变形，下列正确的是(

C

)A.(

x

－6)2＝13B.(

x

－6)2＝9C.(

x

－3)2＝13D.(

x

－3)2＝9CC12345678910111213141516171819206.如果关于

x

的一元二次方程(

m

－3)

x2＋3

x

＋

m2－9＝0有一个解是0，

那么

m

的值是(

B

)A.3B.－3C.±3D.0或－3B12345678910111213141516171819207.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月

份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为

x

，则根据

题意可列方程(

D

)A.50(1＋

x

)2＝175B.50＋50(1＋

x

)2＝175C.50(1＋

x

)＋50(1＋

x

)2＝175D.50＋50(1＋

x

)＋50(1＋

x

)2＝175D12345678910111213141516171819208.已知

a

是一元二次方程

x2－

x

－1＝0较大的根，则下列对

a

的值估计

正确的是(

B

)A.2＜

a

＜3B.1.5＜

a

＜2C.1＜

a

＜1.5D.0＜

a

＜1B1234567891011121314151617181920

1234567891011121314151617181920

A.10B123456789101112131415161718192010.小刚在解关于

x

的方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0)时，只抄对了

a

＝2，

c

＝1，解出其中一个根是

x

＝1.他核对时发现所抄的

b

值比原方程的

b

值

小1，则原方程的根的情况是(

A

)A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根C.有另一个根是

x

＝－1D.有两个相等的实数根

A1234567891011121314151617181920

123456789101112131415161718192011.若关于

x

的一元二次方程

nx2－2

x

－1＝0无实数根，则一次函数

y

＝

(

n

＋1)

x

－

n

＋1的图象不经过(

C

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵关于

x

的一元二次方程

nx2－2

x

－1＝0无实数根，∴Δ＝4＋4

n

＜0，解得

n

＜－1，则－

n

＞1.此时

n

＋1＜0，－

n

＋1＞2，故一次函数

y

＝(

n

＋1)

x

－

n

＋1的图象不经过第三象限.C123456789101112131415161718192012.已知2是关于

x

的方程

x2－(5＋

m

)

x

＋5

m

＝0的一个根，并且这个方

程的两个根恰好是等腰三角形

ABC

的两条边长，则△

ABC

的周长为

(

B

)A.9B.12C.9或12D.6或12或15B1234567891011121314151617181920【解析】把

x

＝2代入方程

x2－(5＋

m

)

x

＋5

m

＝0，得4－2(5＋

m

)＋5

m

＝0，解得

m

＝2.方程可整理为

x2－7

x

＋10＝0，解得

x1＝2，

x2＝5.∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形

ABC

的两条边长，∴等腰三角形

ABC

的腰长为5，底边长为2.∴三角形

ABC

的周长为5＋5＋2＝12.1234567891011121314151617181920二、填空题(共4题，每题3分，共12分)13.一元二次方程3

x

(

x

－2)＝－4的一般形式是

⁠.14.若关于

x

的一元二次方程

kx2－

x

＋1＝0有实数根，则

k

可取的最大

整数值为

⁠.3

x2－6

x

＋4＝0

－1

123456789101112131415161718192015.为增强学生体质，培养学生正确的体育思想和团队意识，2024年初

某市开展了“篮球进园”活动.近日，该市篮球协会要组织初中学校的篮

球队进行一次联赛，要求每两队之间进行一场比赛，计划安排6天，每

天比赛6场，则参加比赛的球队数是

⁠.

解得

x1＝9，

x2＝－8(不符合题意，舍去).则参加比赛的球队数是9.9

1234567891011121314151617181920

x

＝－1

x1＝1，

x2＝－3

1234567891011121314151617181920三、解答题(共52分)17.(每题3分，共12分)解方程：(1)(2

x

＋3)2－25＝0；解：(1)(2

x

＋3)2－25＝0.移项，得(2

x

＋3)2＝25.∴2

x

＋3＝5或2

x

＋3＝－5.解得

x1＝1，

x2＝－4.1234567891011121314151617181920(2)2

x2－7

x

－2＝0；

1234567891011121314151617181920(3)(

x

＋2)2＝3(

x

＋2)；

解：(3)(

x

＋2)2＝3(

x

＋2).移项，得(

x

＋2)2－3(

x

＋2)＝0.因式分解，得(

x

＋2)(

x

＋2－3)＝0.∴

x

＋2＝0或

x

＋2－3＝0.解得

x1＝－2，

x2＝1.1234567891011121314151617181920(4)

x2－2

x

－3＝0.解：(4)

x2－2

x

－3＝0.移项，得

x2－2

x

＝3.配方，得

x2－2

x

＋1＝3＋1，即(

x

－1)2＝4.∴

x

－1＝2或

x

－1＝－2.解得

x1＝3，

x2＝－1.123456789101112131415161718192018.(6分)下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的

任务.解：2

x2＋4

x

－8＝0.二次项系数化为1，得

x2＋2

x

－4＝0.…第一步移项，得

x2＋2

x

＝4.…第二步配方，得

x2＋2

x

＋4＝4＋4，即(

x

＋2)2＝8.…第三步

(1)小明解题过程中，从第

⁠步开始出现错误；三

1234567891011121314151617181920(2)请给出正确的解题过程.

123456789101112131415161718192019.(8分)已知关于

x

的一元二次方程

x2＋2

x

－(

m

－2)＝0有实数根.(1)求

m

的取值范围；解：(1)∵关于

x

的一元二次方程

x2＋2

x

－(

m

－2)＝0有实数根，∴Δ＝

b2－4

ac

＝22－4×1×[－(

m

－2)]＝4

m

－4≥0，解得

m

≥1.(2)若方程有一个根为

x

＝1，求

m

的值及另一个根.解：(2)将

x

＝1代入原方程，得1＋2－(

m

－2)＝0，解得

m

＝5.∴原方程为

x2＋2

x

－3＝(

x

－1)(

x

＋3)＝0，解得

x1＝1，

x2＝－3，∴

m

的值为5，方程的另一个根为

x

＝－3.123456789101112131415161718192020.(8分)如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝21cm，

BC

＝8cm，动点

E

从

点

A

出发，以3cm/s的速度沿

AB

向点

B

运动，动点

F

从点

C

出发，以2

cm/s的速度沿着

CD

向点

D

运动，当点

E

到达点

B

时，点

E

，

F

同时停

止.则

EF

的长为10cm时点

E

的运动时间是多少秒？1234567891011121314151617181920解：如图所示，过点

E

作

EM

⊥

CD

于点

M

，由题意知，当运动时间为

t

秒时，

AE

＝3

t

，

CF

＝2

t

，

EM

＝

BC

＝8，∴

MF

＝

AB

－

AE

－

CF

＝21－5

t

.根据勾股定理，得

MF2＋

ME2＝

EF2，即(21－5

t

)2＋82＝102，整理，得5

t2－42

t

＋81＝0.

123456789101112131415161718192021.(8分)课本再现人教版初中数学教科书九年级上册第23页数学活动对三角点阵中前

n

行

的点数计算进行了探究.如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多

行，其中第1行有一个点，第2行有两个点……第

n

行有

n

个点……小明同学发现，前2行的点数和是1＋2＝3，前3行的点数和是1＋2＋3＝

6，前4行的点数和是1＋2＋3＋4＝10……前

n

行的点数和是1＋2＋3＋4

＋5＋…＋

n

，他有点疑惑，能不能用含

n

的式子把1＋2＋3＋4＋5＋…

＋

n

表示出来.2122小明同学通过阅读课本知道了答案，但他仍在问自己这个结果是怎么来

的.经过思考后，他发现：设

S

＝1＋2＋3＋4＋…＋(

n

－1)＋

n

，①则

S

＝

n

＋(

n

－1)＋…＋4＋3＋2＋1，②由①＋②，可得…(1)请将小明的发现过程补充完整，用含

n

的式子把1＋2＋3＋