广西壮族自治区2026学年九年级上学期期中作业设计质量测试数学试题附答案

九年级上学期期中作业设计质量测试数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．）1．下列函数中，是二次函数的是（）A． B．C． D．2．下列四组图形中，不是相似图形的是（）A． B．C． D．3．抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．4．下列四条线段能成比例线段的是（）A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，2，3，3 D．2，3，4，55．已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（）A． B． C． D．6．我们手中拿着的试卷是一张纸，将它对折后得到一张的纸．你知道吗？纸和纸是相似的矩形，动手试一试，由此你能得出一张纸的宽与长的比应该是（）A． B． C． D．7．若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（）A． B．C． D．8．关于的图象，下列叙述正确的是（）A．函数有最大值为B．对称轴为直线C．当时，随增大而增大D．当时，随增大而减小9．如图，点是线段的黄金分割点，，则的长为（）A． B． C． D．10．如图，是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形的面积为8，则反比例函数的表达式是（）A． B． C． D．11．如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（）A． B．或C．或 D．或12．二次函数（）的部分图象如图，图象过点下列结论：①；②；③，④若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）13．抛物线与的形状相同，开口方向相反，则．14．如果，那么．15．已知点D，E分别在的边上，请添加一个条件，使得．（写出一个即可）16．如图，点是反比例函数（）的图像上的一动点，过点分别作轴、轴的平行线，与反比例函数（，）的图像交于点、点，连接，．若四边形的面积为6，则．三、解答题：（本大题共7题，满分72分）17．如图，，直线m，n分别与直线a，b，c交于点B，C，E和点A，D，F．已知，，，求线段的长．18．（1）若函数是关于的二次函数，求的值；（2）已知二次函数的图像与轴只有一个交点，求该交点的坐标．19．某学生推铅球，铅球出手点处的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线弧如图运行，当运行到最高时，水平距离是．（1）试求铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式；（2）求这位学生推铅球的成绩是多少米？20．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为．（1）求反比例函数的解析式；（2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标．21．如图，在中，的平分线交于点D，，交于点E．（1）求证：；（2）若，求线段长．22．根据以下素材，解决生活问题：【素材背景】素材1：某茶叶公司经销六堡茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元；素材2：经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间满足函数的关系．【问题解决】问题1：确定函数模型：设该茶叶的日销售利润为元，求与之间的函数表达式；问题2：探究函数最值：若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元？问题3：若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价的取值范围．23．如图，抛物线的图像交轴于，两点，交轴于点，直线经过，两点．（1）求抛物线的解析式．（2）点为抛物线第一象限上的一动点，连接，，求面积的最大值，并求出此时点的坐标．（3）在第一象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴，交轴于点，使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案1．【答案】A【解析】【解答】二次函数需满足最高次项为且系数不为零，选项，，含项，其中，符合题意，选项正确；选项，为分式函数，不是二次函数，不符合题意，选项错误；选项，为一次函数，无项，不符合题意，选项错误；选项，，未明确，不一定是二次函数，不符合题意，选项错误．故选：．【分析】本题围绕二次函数的定义展开判断，核心是抓住二次函数的形式特征：自变量最高次数为2，且二次项系数不为0的整式函数。A选项是整式函数，最高次项为且系数8≠0，完全符合二次函数定义；B选项分母含自变量，属于分式函数，不是整式函数，因此不是二次函数；C选项自变量最高次数为1，是一次函数，不存在二次项；D选项没有注明，当时函数退化为一次函数或常数函数，无法确定是二次函数。2．【答案】D【解析】【解答】A、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意；B、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意；C、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意；D、形状不相同，不符合相似图形的定义，符合题意．故选：D．【分析】本题围绕相似图形的定义展开考查，相似图形的核心特征是形状完全相同，与图形的大小、摆放位置无关。解题时依次观察每组图形的轮廓与形状特点，对比各组是否满足形状一致的要求，从中找出形状不相符的一组即可。3．【答案】B【解析】【解答】解：∵，∴抛物线顶点坐标为，故选：B．

【分析】根据二次函数顶点式的性质，进而即可直接得到其顶点坐标。4．【答案】C【解析】【解答】A.因为1：12：3，所以A中的四条线段不是成比例线段；B.因为1：23：4，所以B中的四条线段不是成比例线段；C.因为2：2=3：3，所以C中的四条线段是成比例线段；D.因为2：34：5，所以D中的四条线段不是成比例线段.故答案为：C.

【分析】先将四条线段从小到大排列，若第一条与第二条的比值与第三条与第四条的比值相等，则称这四条线段是成比例线段。据此一一判断即可。5．【答案】A【解析】【解答】点在上，点在上，，，，．故选：．【分析】本题考查反比例函数的函数值计算与大小比较，可直接将点的横坐标代入函数解析式求出对应纵坐标，再比较数值大小。将和分别代入，算出和的具体数值，结合，函数图象在第一象限内函数值均为正，即可得到两者的大小关系。6．【答案】A【解析】【解答】解：设纸的长为，宽为，则长宽比为，对折后，纸的长为，宽为，纸与纸相似，长宽比相等，即，化简得：，交叉相乘可得：，，纸的宽长比为，纸的宽长比也为．故选：A．【分析】本题考查相似多边形的性质应用，相似矩形的对应边成比例，即长宽比相等。设原纸张长为、宽为，对折后新矩形的长变为原矩形的宽，宽变为原长的一半，根据相似矩形长宽比相等建立等式，化简后即可求出宽与长的比值。7．【答案】B【解析】【解答】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，∴其顶点也向右平移2个单位，再向上平移3个单位.根据根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加.∴平移后，新图象的顶点坐标是.∴所得抛物线的表达式为.故答案为：B.

【分析】先求出函数y=x2的图象的顶点坐标为，再根据点的坐标平移规律找出平移后新图象的顶点坐标，由于二次函数的平移不改变二次项系数，所以平移后的二次函数二次项系数a=1，将它们代入顶点式解析式即可。8．【答案】C【解析】【解答】函数解析式为，顶点坐标为，对称轴为直线，二次项系数，抛物线开口向上，函数有最小值，无最大值，选项，函数有最小值，不是最大值，选项错误；选项，对称轴为，不是，选项错误；选项，当时，在对称轴右侧，随增大而增大，选项正确；选项，当时，随增大而增大，不是减小，选项错误．故选：．【分析】本题考查二次函数顶点式的图象与性质，需要结合二次项系数的符号判断开口方向，结合顶点式确定对称轴、最值和增减性。由解析式得二次项系数，抛物线开口向上，函数有最小值；顶点式中，因此对称轴为直线；开口向上时，对称轴右侧（）随的增大而增大，据此逐一判断选项。9．【答案】B【解析】【解答】解：点是线段的黄金分割点，，，故答案为：B．【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可得到答案．10．【答案】D【解析】【解答】解：∵矩形的面积为8，∴，∴∵点是反比例函数的第二象限上的一点，∴，∴反比例函数的表达式为．故选：D．

【分析】根据反比例函数k的几何意义结合题意即可求解。11．【答案】B【解析】【解答】解：观察图象得：当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，∴当时，的取值范围是或．故选：B【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象交点问题，利用数形结合思想，对应一次函数图象在反比例函数图象下方的的范围。结合两个交点的横坐标-1和2，以及反比例函数图象分为两支（和），分区间观察图象位置：时反比例函数在上方，时一次函数在上方，时反比例函数在上方，时一次函数在上方，据此汇总取值范围。12．【答案】D【解析】【解答】解：由图可见抛物线的对称轴在，且开口向上，∴，∴，故结论②成立．图象经过点，说明 是该二次函数的一个实根，再结合抛物线开口向上可知它至少有两个不同的实根，故判别式，∴，故结论①成立．由图象得，当时，，∴，即，故结论③成立．若顶点坐标为，则此抛物线的最小值是，故直线与抛物线（）无交点，即方程没有实数根，故结论④成立．综上，①②③④ 均正确，故选：D．【分析】本题综合考查二次函数的图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、对称轴公式以及函数与方程的联系。①由抛物线与x轴有两个交点，根据一元二次方程根的判别式可知，即；②由对称轴为直线，结合对称轴公式，代入推导可得出；③观察时的函数值，代入解析式可得，移项整理即得；④顶点纵坐标为函数的最小值，若最小值大于-5，则直线与抛物线无交点，对应方程无实数根。据此逐一验证四个结论。13．【答案】​​​​​​​【解析】【解答】解：抛物线与的形状相同，，又开口方向相反，．故答案为：．【分析】本题考查二次函数图象的形状、开口方向与二次项系数的关系。抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，两个抛物线二次项系数的绝对值相等则形状相同；开口方向由二次项系数的符号决定，符号相反则开口方向相反。因此的绝对值与相等，且符号与相反，即可求出的值。14．【答案】​​​​​​​【解析】【解答】由，得，，两边同时除以，得，．故答案为：．【分析】本题考查比例的基本性质，可利用等式的性质对已知等式变形，求出与的比值。将等式两边同时除以（），得到，再两边同时除以3，即可得到的值。15．【答案】（答案不唯一）【解析】【解答】解：∵点D，E分别在的边上，∴，∴当时，；故答案为：（答案不唯一）．【分析】本题考查相似三角形的判定定理，由图可知和有公共角，根据相似三角形的判定，有一组角对应相等的两个三角形，再添加一组角对应相等，或者夹公共角的两边对应成比例，即可判定相似。因此可添加（或，或等）。16．【答案】2【解析】【解答】解：延长分别交轴，轴于点，如下图，∵轴，轴，∴四边形为平行四边形，∵，∴四边形为矩形，∴，即为直角三角形，∵点A在反比例函数的图像上，点B、点C在反比例函数（，）上，∴，，∴四边形的面积，∴．故答案为：2．【分析】本题考查反比例函数的几何意义的综合应用，延长、分别与坐标轴相交，可得到大矩形，其面积等于（，为正）。和的面积均为，四边形的面积等于大矩形面积减去两个直角三角形的面积，据此建立关于的方程，结合图象在第一象限，求解即可。17．【答案】解：∵，∴，即，∴，∴．​​​​​【解析】【分析】根据可得，代入数值求出，进而即可求解．18．【答案】解：（1）根据题意得：，解得，又，，的值是；（2）根据题意得：，解得，当时，，此时交点坐标为，当时，，此时交点坐标为，综上所述，交点坐标是或．【解析】【分析】（1）本题考查二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0。因此令的指数，同时保证二次项系数，求解即可得到的值；

（2）本题考查二次函数与轴的交点问题，二次函数图象与轴只有一个交点，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即根的判别式。代入系数求出的值，再分别将的值代入函数解析式，求出与轴交点的坐标。19．【答案】由题意知铅球运行的水平距离为4m时，达到最高，高度为3m，故抛物线的顶点坐标为；设抛物线的函数关系式，代入点，解得，故抛物线的函数关系式；令，即，解得，舍去．答：这名学生此次投掷成绩大约是10米．【解析】【分析】（1）本题考查二次函数的实际应用，已知抛物线的顶点坐标，选用顶点式设解析式更为简便。由最高点坐标得到抛物线顶点为，设函数关系式为，再将出手点代入解析式，求出待定系数的值，即可确定函数关系式；

（2）推铅球的成绩对应铅球落地时的水平距离，也就是时的正数值。令函数关系式中，解一元二次方程，舍去负根，得到的正根即为投掷成绩。20．【答案】（1）解：把代入得：，解得：，

∴，

把代入得：，

解得：，

∴反比例函数解析式为；（2）解：把代入，解得：，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，则或，

当时，，

当时，，

综上：或．【解析】【分析】（1）本题考查待定系数法求反比例函数解析式，点B同时在一次函数图象上，因此先将点B坐标代入一次函数解析式，求出的值，得到点B的完整坐标，再将点B坐标代入反比例函数，计算出的值，即可确定反比例函数解析式；

（2）本题考查反比例函数与三角形面积的综合应用，先求出直线与轴交点C的坐标，得到的长度，再计算出的面积，根据面积关系得到的面积。以为底，点P的纵坐标的绝对值为高，由此求出点P纵坐标的可能值，分别代入反比例函数解析式，即可求出对应点P的坐标。（1）解：把代入得：，解得：，∴，把代入得：，解得：，∴反比例函数解析式为；（2）解：把代入，解得：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，则或，当时，，当时，，综上：或．21．【答案】（1）证明：是的角平分线，，

∵，

∴，

，

∵，

，

，

，

，

；（2）解：如图所示，过点作于H，

在中，由勾股定理得，

是的角平分线，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，即，

∴．【解析】【分析】（1）本题考查相似三角形的判定，利用角的等量代换证明两组角对应相等即可。由BD是角平分线可得；由和，结合同角的余角相等，可推出，等量代换得到，再加上公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，即可证明；

（2）本题考查相似三角形的性质、勾股定理与角平分线的性质的综合应用。先在中由勾股定理求出的长度；过D作于H，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，得，利用的面积等于与的面积和，求出的长，进而得到的长度；再根据相似三角形对应边成比例，列出比例式，代入数值即可求出的长。（1）证明：是的角平分线，，∵，∴，，∵，，，，，；（2）解：如图所示，过点作于H，在中，由勾股定理得，是的角平分线，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴．22．【答案】解：问题1：根据题意得W与之间的函数表达式是；问题2：根据题意得，解得，对称轴为直线，且当时，取得最大值，答：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元；问题3：在中，当时，，解得，．，且，抛物线开口向下，当时，，答：若公司想获得不低于1000元的日利润，售价范围为．【解析】【分析】问题1：本题考查二次函数在销售利润问题中的应用，总利润=每千克利润×销售量。每千克利润为元，销售量为千克，两者相乘即可得到与的函数关系式，同时结合售价范围注明自变量的取值范围；

问题2：本题考查限定区间内二次函数的最值问题，先根据日销量不低于80千克列不等式，结合售价范围确定的取值区间；将利润函数配方为顶点式，结合二次项系数为负，抛物线开口向下，在对称轴左侧函数随增大而增大，判断取值区间与对称轴的位置关系，即可求出最大值及对应售价；

问题3：本题考查二次函数与不等式的结合，令利润，解对