华北电力大学(保定)《流体力学》课件-第4章运动微分方程和伯努利方程

第四章运动微分方程和伯努利方程华北电力大学(保定)《流体力学》在某瞬时t：形心M(x,y,z)处的流动速度为ux，uy，uz

，又设流体密度为ρ，流体所受的单位质量力为，它在各轴上的分力为X、Y、Z。由于理想流体没有粘滞性，不存在切应力，故表面力只有动压强

p，（与静压强不同，运动流体中的压强称为动压强），动压强的方向总是沿着作用面的内法线方向，其大小是位置坐标和时间的函数，即4.1理想流体的运动微分方程以x方向为例分析受力：1.质量力2.表面力切向应力＝0（理想流体）法向应力＝压强整理上式，得x方向上单位质量流体的运动方程，同理，可推得在y、z方向的运动方程：（4.2）理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）根据牛顿第二运动定律，得x轴方向的运动微分方程写为向量形式：式中，▽为哈密尔顿算子，

为单位质量力向量。

若ux=uy=uz=0，则欧拉运动微分方程变为流体静力学中欧拉平衡微分方程式（4.3）。

一般地，欧拉运动微分方程中有p，ux，uy，uz

四个未知量，还必须联立连续性方程才能求解。伯努利积分条件4.2.1沿流线的伯努利积分和在重力场中的伯努利方程（1）恒定流动（2）沿流线积分（3）质量力有势（4）不可压缩流体①②③4.2理想流体恒定元流的伯努利方程1.恒定流动2.沿流线积分①②③分别乘以流线微分方程⑤④⑥④⑤⑥式相加得3.质量力有势

4.不可压缩流体积分理想流体中，沿流线伯努利积分式中C为积分常数。上式表明，在有势力场的作用下，常密度理想恒定流中，同一条流线上的值保持不变。一般情况下，积分常数C的值随流线而变。重力场中理想流体的伯努利方程：若作用于流体上的质量力只有重力，重力是有势力，则积分代入（4.5）对同一条流线上的任意两点，有4.2.2由动量定理推导理想液体恒定元流的伯努利方程动量定律：任一运动物体在某一时段内动量的增量，等于该时段内作用与该物体上所有力所作的功之和。设一恒定元流，取过流断面1-1，2-2为控制断面。因为是恒定流，所以微元流管的位置和形状不随时间变化。设经过dt时段后，所取得元流段流到断面的位置，断面1-1和2-2分别移动了距离和，元流的动能会发生变化。或：计算各作用力所作的功：质量力和表面力质量力所作的功：重力微元流管重力所作的功相当于在dt时段里段流体移到处，该微元段流体重力所作的功，即：式中z1，z2

分别为dA1，dA2

的形心高度。根据动能定律：对于单位重力流体，上式各项除以γdQdt，移项后得：表面力（压力）所作的功：4.3.1元流伯努利方程的物理意义单位重力流体伯努利方程：位能z总势能

总机械能

C压能

动能

4.3元流伯努利方程的意义和应用元流各过流断面上单位重力流体所具有的总机械能沿程不变。且在不同过流断面上位能、压能、动能之间可以相互转化。位置水头z

总水头

H压强水头

测压管水头速度水头

4.3.2元流伯努利方程的几何意义单位重力流体伯努利方程：元流各过流断面上总水头沿程保持不变（守恒），且在不同过流断面上位置水头、压强水头、速度水头之间可以相互转化。测压管水头线可升可降。弯管前端封闭，侧面孔置于测点A，水面上升高度h1，则A点处水流总能量同一弯管侧面不开孔，前端开孔，置于A点，受弯管水流阻挡，流速变零，动能全部转化为压能，故H=h2，则可得4.3.3毕托管原理M0

和M点的伯努利方程：又，所以c称为毕托管校正系数，一般在1.0~1.04之间。在要求精度不是很高的情况下，可取c=1.0。但实际上，由于流体具有粘滞性，能量转换时会有损失，故【例4.1】流体绕流，上游无穷远处流速为压强。水流受到迎面物体的阻挡，在物体的表面上的顶冲点S处的流速减至零，压强升高，称S点为滞流点或驻点。求滞流点S处的压强。【解】设滞流点S处的压强为pS

，忽略粘滞性。通过S点流线上的伯努利方程将代入上式，整理得：故滞流点S处的压强pS为0.073m(H2O)【例4.2】设用毕托管测量管内A点流速。已知压差计左右两支水银柱液面高差h=0.02m，毕托管校正系数c=1.0，试求水流中A点的流速。【解】设在毕托管放入前A点处的压强为pA，放入后驻点压强为pS。由压强分布：4.4恒定平面势流的流速势函数和流函数

如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度在任意时刻处处为零，即满足的流动为无旋流动，无旋流动也称为有势流动。所以，只有在理想流体中才可能存在有势流动，具有粘性的实际流体都不会是有势流动。但在某些场合，当粘滞性对流动的影响很微小而可以忽略时，可以将这种实际流体的流动按理想流体来处理，以简化分析。这种处理方法对于势流情况也是适用的。实际上，在分析某些堰（闸）泄流、波浪运动、边界层外流动以及地下渗流等复杂流动时，都是将它们看作有势流动，用势流理论来简化处理。4.4.1流速势函数

考虑恒定平面（二维）势流，根据流体运动学可知，它与无旋流动是等价的。二维无旋流的条件：由数学分析可知，上式是使表达式成为某一标量函数全微分的充分必要条件，即：函数称为速度势函数。也可以说，存在速度势函数的流动为有势流动。因此，无旋流动又称为有势流动，简称势流。由此可得另一方面，考虑平面流场中的连续方程不可压缩流体无旋流动的连续性方程。将和代入上式，得：或：或：（4.16）为拉普拉斯算子，上式称为拉普拉斯方程。从上可见，在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。由于拉普拉斯方程是二阶线性齐次偏微分方程，其解服从叠加原理，因此可以用势流叠加方法来求解复杂的势流问题。

求解拉普拉斯方程有解析法，如复变函数法、分离变量法等。但工程中的势流问题，一般都极为复杂，解析法往往无法解决，所以多采用流网法（图解法）、差分法、有限元、边界元等数值计算方法来求解势流问题。4.4.2流函数

根据平面流动的流线方程和连续方程，可导出流函数。二元流动的流线方程：移项，得：不可压缩流体连续方程：由全微分理论，此条件是某位置函数ψ（x，y）存在的充要条件对上式积分可得式中ψ（x，y）称为流函数。不可压缩流体平面流动中必然存在流函数。ψ（x，y）的全微分为：比较式（4.19）和（4.20），可得：由上可知，在研究不可压缩流体平面流动时，如能求出流函数，即可求得任意一点的两个速度分量，就可简化分析过程。所以流函数是很重要、很有用的概念。流函数的主要性质：（1）流函数等值线就是流线将流线方程式（4.17）代入（4.19），得：即：由此可见，在同一条流线上各点的流函数为一常数，故等流函数线即为流线。（2）任意两条流线间通过的单宽流量等于该两流函数值之差如图，这里约定流体运动方向逆时针转90o的方向为ψ

值增加的方向。设在两条流线ψ和

ψ+Δψ只见有一固定流量dq，因为是平面问题，在z轴方向可以取一单位长度，所以dq称为单宽流量。取ab为两流线之间的单宽过流宽度，线段ab在坐标轴上的投影分别是ac=dx，bc=-dy，流速投影分别为ux，-uy，因此将（4.22）代入，得积分得：上述结论无论对理想流还是粘性流、无旋流还是有旋流都适用。（3）平面势流中流函数与流速势函数一样，满足拉普拉斯方程（只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程）平面有势流中将式（4.22）代入，即可得（4）流线族与等势线族正交斜率：斜率：等流线等势线利用（2）、（3）可作流网比较式（4.13）和（4.22），还可得：这是平面势流中联系流速势函数和流函数的一对极重要的关系式，在复变函数中，称为柯西-黎曼条件。满足这种关系的两个函数称为共轭函数，所以在恒定平面势流中，流函数的ψ’与流速势函数是共轭函数。【例4.3】绘图表示的流线、等势线、流动方向，并找出在（1，1）上的流速及方向。解：因所以求流速势函数：再求对y的偏导数得：与比较可知，，即c为常数，令其等于零，则得。故等势线也是等轴双曲线。若，在Ⅰ、Ⅲ象限内；，则在Ⅱ、Ⅳ象限内。流动方向：流线的切线方向为流体流速方向，要注意：当x、y都为正值时，流速分量ux

和uy

都为负值，反之为正值。在（1，1）点处的流速其斜率所以，流速向量与x轴成45o角，方向指向原点。【例4.4】不可压缩流体，ux=x2－y2，uy=－2xy，是否满足连续性方程？是否无旋流？有无速度势函数？是否是调和函数？并写出流函数。解：（1）

满足连续性方程（2）

是无旋流（3）无旋流存在势函数：取（x0，y0）为（0，0）（4）

满足拉普拉斯方程，是调和函数（5）流函数取（x0，y0）为（0，0）1.均匀平行流速度场（a,b为常数）速度势函数

等势线流函数

流线uxyoφ1ψ1φ2φ3ψ2ψ34.5几种简单的平面势流当流动方向平行于x轴当流动方向平行于y轴如用极坐标表示：φ1ψ1φ2ψ2φ1ψ1φ2ψ22.源流与汇流（用极坐标）（1）源流：φ1ψ1φ2ψ2oψ3ψ4ur源点o是奇点r→0

ur→∞速度场速度势函数等势线流函数流线直角坐标θ（2）汇流流量φ1ψ1φ2ψ2oψ3ψ4汇点o是奇点r→0

ur→∞（3）环流——势涡流（用极坐标）注意：环流是无旋流！速度势函数流函数速度场环流强度逆时针为正ψ1φ1ψ2φ2oφ3φ4uθθ也满足同理，对无旋流：——势流叠加原理4.6势流的叠加1.半无限物体的绕流（用极坐标）模型：水平匀速直线流与源流的叠加（河水流过桥墩）流函数：速度势函数：即视作水平流与源点o的源流叠加u0S几个常见的势流叠加的例子作流线步骤：找驻点S：将代入（舍去）将代入得驻点Ｓ的坐标：u0Sors（1）（2）由（2）由（1）将驻点坐标代入流函数，得则通过驻点的流线方程为给出各θ值，即可由上式画出通过驻点的流线流线以为渐进线外区——均匀来流区；内区——源的流区（“固化”、半体）2.等强源汇流（用极坐