2025年期末测试卷：大学高等数学（下）矩阵论与线性方程组

2025年期末测试卷：大学高等数学（下）矩阵论与线性方程组考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设向量组α₁,α₂,α₃线性无关，向量β₁=α₁+α₂,β₂=α₂+α₃,β₃=α₃+α₁，则向量组β₁,β₂,β₃的秩为(A)1(B)2(C)3(D)不能确定2.设A是n阶矩阵，A的伴随矩阵A*的秩为1，则矩阵A的秩为(A)1(B)2(C)n-1(D)n3.设矩阵A=[aᵢⱼ]是3阶矩阵，|A|=-2，则|3A*|等于(A)-54(B)54(C)-18(D)184.设n阶矩阵A可逆，B是与A同阶的矩阵，则下列说法错误的是(A)AB可逆，且(AB)*=B*A*(B)A+B一定可逆(C)|AB|=|A||B|(D)(A⁻¹)ᵀ=(Aᵀ)⁻¹5.设线性方程组Ax=0的基础解系包含2个线性无关的解向量，则矩阵A的秩为(A)2(B)3(C)4(D)不能确定二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。6.设A是3阶矩阵，且|A|=3，则|A⁻¹|=_______.7.设向量α=[1,k,3]ᵀ与向量β=[2,-1,1]ᵀ线性相关，则实数k=_______.8.设A=[12;34],B=[10;01]，则矩阵A与B合同当且仅当实数t=_______.9.设矩阵A=[aᵢⱼ]中，aᵢⱼ=(-1)^(i+j)*(i+j)，则|A|=_______.10.设矩阵A=[10;11]与矩阵B相似，则B的特征值之和为_______.三、计算题：本大题共4小题，每小题10分，共40分。11.计算行列式|D|=|123;012;131|的值。12.设向量组α₁=[1,1,2]ᵀ,α₂=[1,3,0]ᵀ,α₃=[2,0,-1]ᵀ,α₄=[1,2,1]ᵀ。(1)判断向量组α₁,α₂,α₃的线性相关性；(2)将向量组α₁,α₂,α₃,α₄的秩表示出来，并求出该向量组的一个极大无关组。13.设矩阵A=[120;210;003]。(1)求矩阵A的特征值；(2)判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P⁻¹AP为对角矩阵。14.解线性方程组：x₁+2x₂+x₃=1,2x₁+x₂+x₃=2,x₁+x₂+2x₃=1。四、证明题：本大题共2小题，每小题10分，共20分。15.设A是n阶正定矩阵，B是n阶可逆矩阵。证明：矩阵BᵀAB也是正定矩阵。16.设A是n阶矩阵，且满足A²-3A+2I=0。证明：矩阵A可逆。---试卷答案一、选择题1.(B)2.(C)3.(A)4.(B)5.(A)二、填空题6.1/37.-28.29.410.2三、计算题11.解：按第一列展开，得|D|=1*|12;31|-0*|12;01|+1*|11;01|=1*(1*1-2*3)+1*(1*1-1*0)=1*(1-6)+1*(1-0)=-5+1=-4.12.解：(1)令矩阵C=[α₁α₂α₃]，对C进行行变换：[112;130;20-1]→[112;02-2;0-2-5]→[112;01-1;00-7]秩(r(C))=3.由于r(C)=3<3，向量组α₁,α₂,α₃线性相关。(2)对矩阵[α₁α₂α₃α₄]进行行变换：[1121;1302;20-11]→[1121;02-21;0-2-5-1]→[1121;01-11/2;00-7-3/2]秩(r)=3.向量组α₁,α₂,α₃,α₄的秩为3。由行变换过程知，α₁,α₂,-α₃与α₁,α₄,-α₃的像线性无关，原向量组的一个极大无关组为α₁,α₂,α₄（或α₁,α₃,α₄等）。13.解：(1)计算特征多项式f(λ)=|λI-A|：f(λ)=|λ-1-20|=(λ-1)|λ-1-2|=(λ-1)²(λ-3).令f(λ)=0，得特征值λ₁=λ₂=1,λ₃=3.(2)计算特征向量：对于λ₁=1，解(I-A)x=0：[0-20;-200;00-2]→[010;100;001]→[100;010;001]得x=t[1;0;0]ᵀ,t∈R.基础解系为ξ₁=[1;0;0]ᵀ.对于λ₃=3，解(3I-A)x=0：[2-20;-220;001]→[1-10;001;001/2]→[1-10;001;000]得x=s[1;1;0]ᵀ,s∈R.基础解系为ξ₃=[1;1;0]ᵀ.由于特征值1的重数（2）等于线性无关特征向量个数（2），矩阵A可对角化。令P=[ξ₁ξ₂ξ₃]=[[101];[001];[000]],则P⁻¹AP=[[100];[010];[003]].14.解：写出增广矩阵并化为行简化阶梯形：[A|b]=[121|1;211|2;112|1]→[121|1;0-3-1|0;0-11|0]→[121|1;011/3|0;002/3|0]→[121|1;011/3|0;001|0]→[120|1;010|0;001|0]→[100|1;010|0;001|0]得x₁=1,x₂=0,x₃=0.四、证明题15.证明：任取x≠0，由于B可逆，所以Bx≠0。考虑二次型f(x)=xᵀ(BᵀAB)x=(Bx)ᵀ(A(Bx))=(Bx)ᵀ(Ay)，其中y=Bx。因为A是正定矩阵，所以对于任意非零向量y，有yᵀAy>0。由于Bx≠0，令y=Bx，则y≠0。因此，f(x)=(Bx)ᵀAy>0.这表明f(x)是正定二次型，所以矩阵BᵀAB是正定矩阵。16.证明：由A²-3A+2I=0，得A²-3A=-2I。右乘A，得A(A²-3A)=-2A。即A³-3A²=-2A。将A²替换为3A-2I，得A³-3(3A-