北师大版数学八年级下册 第一次学情自测·培优卷（范围：第1章~第3章） 试卷 含答案

八年级数学下学期第一次学情自测·培优卷【新教材北师大版】时间：120分钟满分：120分测试范围：第1章三角形的证明及其应用~第3章图形的平移与旋转姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（25-26九年级上·河南信阳·期中）灵宝剪纸是河南省灵宝市传统美术，国家级非物质文化遗产之一．下列剪纸属于中心对称图形的是（

）A． B．C． D．2．（25-26八年级上·浙江舟山·月考）若x<y，则下列式子中错误的是（）A．x−2<y−2 B．x+2<y+2 C．−2x<−2y D．x3．将点Pm+2,2m+1向左平移1个单位长度得到点P'，且点P'在y轴上，那么点P'的坐标是（

A．0,−1 B．0,−2 C．0,−3 D．1,14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB=AC，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD=20°，则∠ABE的度数为（

）A．20° B．35° C．40° D．70°5．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值是（

）A．25 B．5 C．5或7 D．5或76．（25-26八年级上·福建三明·期中）在下列各组线段中，能构成直角三角形的是（

）A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，7，87．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若关于x，y的二元一次方程组x+2y=3k2x+y=3k−6的解满足x+y>0，则k的取值范围为（

A．k<−1 B．k>−1 C．k<1 D．k>18．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=18cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（

A．5cm B．6cm C．7cm9．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>95”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么x的取值范围是（

）A．23<x<47 B．11<x≤23 C．23<x≤47 D．11<x<2310．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·月考）△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为（）A．4.5 B．5 C．6 D．7.5二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）在“−3，−2，0，1，2”这五个数中，是不等式2x+3>0的解的数共有________个．12．（24-25八年级上·吉林·月考）如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠BAC=145°，则∠EAC=______度．13．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在3×4的正方形网格中，∠2=__________14．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在等边三角形ABC中，AB=9，D是BC边上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为_________．15．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）关于x的不等式组x−2>ax+2<b的解集为−3<x<2，则a+b202616．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，P，Q分别为边BD，BC上一点，且BP=CQ，当AB的长为4时，则AP+AQ的最小值为____．三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17．（6分）（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组）(1)9x−2≤7x+4；(2)2x−118．（6分）（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，△ABC的顶点坐标分别为A−3,−1，B−4,−4，(1)将△ABC向右平移5个单位长度，画出平移后的△A(2)画出△ABC关于x轴对称的△A(3)将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A(4)在△A1B1C19．（8分）（25-26八年级上·四川·期中）据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线AB的方向以20kmh的速度移动，已知距台风中心250km的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：BC=400km，(1)海港C会不会受到台风的影响？(2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？20．（8分）（2025·辽宁抚顺·一模）如图在△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=60°，以点C为旋转中心，将△ABC逆时针方向旋转得到△DEC，CD交AB于点F．(1)如图1，当DE经过点B时，求证：BA⊥CD；(2)如图2，当DE∥AC，DE交AB于点G，CB交ED于点H，求证：AC=AG．21．（10分）（25-26九年级上·广西玉林·期末）据相关报道，2026年广西品牌大集于近期在南宁举办，组委会计划搭建A，B两类特色展位，展示广西优质品牌与助农产品．(1)若搭建2个A类展位和3个B类展位，共需搭建费用1800元；搭建4个A类展位和1个B类展位，共需搭建费用1600元．求A类展位和B类展位的搭建费用单价各是多少？(2)组委会计划搭建A，B两类展位共80个，其中A类展位的数量不少于B类展位数量的2倍．若总搭建预算资金不超过30000元，求组委会至少要搭建多少个A类展位？22．（10分）（25-26八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．(1)应用一：最短路径问题如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为3πcm，那么最短的路线长是(2)应用二：解决实际问题如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推2m至C处时，即水平距离CD=2m，踏板离地的垂直高度CF=1.523．（12分）（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组M有解且解集为a<x<ba<b，则称b−a为M的“绝对距离”，若M的绝对距离是不等式组N的解，则称不等式组N对于不等式组M(1)已知关于x的不等式组A:2x−4<01+x>0以及不等式组B:−3<x≤3，判断不等式组B是否对于不等式组(2)已知关于x的不等式组C:x>nx<m和关于x的不等式组D:x+n<82x+n>m，若不等式组D对于不等式组C绝对包含，当(3)已知关于x的不等式组E:x+5>02x−1<4m+5以及不等式组F:x+2>m2x−m<2m+20，且不等式组F对于不等式组24．（12分）（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）已知：等边△ABC中，点E为线段AB上一动点，点E与A、B不重合，点D在CB延长线上，且ED=EC，确定AE与BD大小关系．

(1)当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，并证明你的结论．(2)如图2，当E不是AB的中点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出BD与AE的数量关系；若成立，请给予证明．(3)在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，△ABC的边长为2，AE=4，请直接写出CD的长．

八年级数学下学期第一次学情自测·培优卷【新教材北师大版】参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（25-26九年级上·河南信阳·期中）灵宝剪纸是河南省灵宝市传统美术，国家级非物质文化遗产之一．下列剪纸属于中心对称图形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是根据中心对称图形的定义（绕某点旋转180°后与原图形重合）逐一判断选项．1．明确中心对称图形的定义；2．依次将每个选项的图形绕某点旋转180°，判断是否与原图形重合；3．确定符合条件的选项．【详解】解：中心对称图形的定义是“绕某点旋转180°后与原图形重合”，据此分析选项∶选项A（灯笼）：旋转180°后，顶部装饰与底部形状无法重合，不是中心对称图形；选项B（脸谱）：旋转180°后，图案细节（如纹路方向）会颠倒，无法与原图形重合，不是中心对称图形；选项C（双鱼）：绕图形中心旋转180°后，与原图形完全重合，是中心对称图形；选项D（花卉）：旋转180°后，花枝方向等细节无法重合，不是中心对称图形．故选C．2．（25-26八年级上·浙江舟山·月考）若x<y，则下列式子中错误的是（）A．x−2<y−2 B．x+2<y+2 C．−2x<−2y D．x【答案】C【分析】根据不等式的性质，逐一判断各选项的正误，找出错误选项即可．【详解】解：A选项：根据不等式性质1，两边同时减2，得x－B选项：根据不等式性质1，两边同时加2，得x+2<y+2，故本选项正确；C选项：根据不等式性质3，两边同时乘−2，不等号方向改变，得−2x>−2y，故本选项错误．D选项：根据不等式性质2，两边同时除以2，不等号方向不变，得x2综上，错误的是C选项．3．将点Pm+2,2m+1向左平移1个单位长度得到点P'，且点P'在y轴上，那么点P'的坐标是（

A．0,−1 B．0,−2 C．0,−3 D．1,1【答案】A【分析】本题考查了点的平移规律与y轴上点的坐标特征，掌握点向左平移时横坐标减1、y轴上点的横坐标为0是解题的关键．点向左平移，横坐标减1，纵坐标不变；点P′在y轴上，则其横坐标为0，由此求出m的值，再代入求坐标．【详解】解：∵点P(m+2，2m+1)向左平移1个单位得到点P'∴P'的坐标为(m+2−1，2m+1)，即(m+1，2m+1)∵P'在y∴m+1=0，∴m=−1，∴P'的坐标为(0，2×(−1)+1)，即(0，−1)故选：A．4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB=AC，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD=20°，则∠ABE的度数为（

）A．20° B．35° C．40° D．70°【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，掌握相关知识是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAC=2∠CAD=40°，∠ABC=∠C=70°，再利用角平分线定义即可得出∠ABE的度数．【详解】解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠BAC=2∠CAD=40°，∴∠ABC=∠C=1∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABE=1故选：B．5．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值是（

）A．25 B．5 C．5或7 D．5或7【答案】C【分析】本题主要考查勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边长的平方．解题的关键是要注意分类讨论，有两种情况不要漏解．由于直角三角形的斜边不能确定，故应分为：x为斜边与4为斜边两种情况，再根据勾股定理求解．【详解】解：当x为斜边时，32解得x1=5，当4为斜边时，32解得x1=7综上所述，x的值是5或7．故选：C．6．（25-26八年级上·福建三明·期中）在下列各组线段中，能构成直角三角形的是（

）A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，7，8【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．【详解】解：A、∵12∴不能构成直角三角形，该选项不合题意；B、∵22∴不能构成直角三角形，该选项不合题意；C、∵32∴能构成直角三角形，该选项符合题意；D、∵52∴不能构成直角三角形，该选项不合题意；故选：C．7．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若关于x，y的二元一次方程组x+2y=3k2x+y=3k−6的解满足x+y>0，则k的取值范围为（

A．k<−1 B．k>−1 C．k<1 D．k>1【答案】D【分析】本题考查二元一次方程组的解法及不等式的应用，将两个方程相加，得到x+y关于k的表达式，再根据x+y>0解不等式即可，熟练掌握运算方法是解此题的关键．【详解】解：x+2y=3k①由①+②可得：∴x+y=2k−2，∵x+y>0，∴2k−2>0，解得：k>1，故选：D．8．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=18cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（

A．5cm B．6cm C．7cm【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形、等边三角形的判定和性质和垂直平分线的性质，牢固掌握其性质是解题的关键，连接AM、AN，由垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AM=BM,AN=CN，再根据AB=AC,∠BAC=120°，证得△AMN是等边三角形，通过边角关系进行计算求解即可．【详解】解：连接AM、AN，∵AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，∴AM=BM,AN=CN，∴∠BAM=∠B,∠CAN=∠C，∵AB=AC,∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=MN=AN，∴BM=MN=CN，∵BC=18cm∴MN=1故选：B．9．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>95”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么x的取值范围是（

）A．23<x<47 B．11<x≤23 C．23<x≤47 D．11<x<23【答案】C【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据运算程序，第一次运算结果≤95，第二次运算结果>95列出不等式组，然后求解即可．读懂题目信息，理解运算程序并列出不等式组是解题的关键．【详解】解：由题意得，2x+1≤95①解不等式①得，x≤47，解不等式②得，x>23，所以，x的取值范围是23<x≤47．故选：C．10．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·月考）△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为（）A．4.5 B．5 C．6 D．7.5【答案】C【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，将MN转化为BM+CN，从而将△AMN的周长转化为AB+AC的长度和．【详解】解：延长AC至点E，使CE=BM，连接DE．∵△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，∠BDC=120°∴∠ABC=∠ACB=60°∴∠MBD=∠ABC+∴∠ECD=90°∴∠MBD=又∵BD=CD，BM=CE，∴△MBD≌△ECD(SAS∴MD=ED，∠MDB=∵∠BDC=120°，∠∴∠MDB+∴∠EDC+∠NDC=60°∴∠MDN=又∵MD=ED，DN=DN，∴△MDN≌△EDN(SAS∴MN=EN=CN+CE=CN+BM．∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+BM+CN=AB+AC．∵AB=AC=3，∴△AMN的周长为3+3=6．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）在“−3，−2，0，1，2”这五个数中，是不等式2x+3>0的解的数共有________个．【答案】3【分析】本题主要考查了解一元一次不等式以及一元一次不等式解的定义，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．先求出不等式2x+3>0的解集，然后在−3，−2，0，1，2这五个数中找出符合条件的解，即可得解．【详解】解：∵2x+3>0，解得x>−3在−3，−2，0，1，2这五个数中，是不等式解的有0，1，2，共3个．故答案为：3．12．（24-25八年级上·吉林·月考）如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠BAC=145°，则∠EAC=______度．【答案】35【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．如图，连接BD，延长CA与BD交于点F，利用等腰三角形的三线合一证明CF是BD的垂直平分线，从而得到AB=AD，再次利用等腰三角形的性质得到：∠DAF=∠BAF=∠EAC，从而可得答案．【详解】解：如图，连接BD，延长CA与BD交于点F，∵AC平分∠DCB，CB=CD，∴CF⊥BD，DF=BF，∴CF是BD的垂直平分线，∴AB=AD，∴∠DAF=∠BAF，∵∠BAC=145°∴∠DAF=∠BAF=∠EAC=35°，故答案为：35．13．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在3×4的正方形网格中，∠2=__________【答案】90【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理；根据网格的特点可得三角形是等腰直角三角形，即可求解．【详解】解：如图，∵AC=BC=12∴A∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠2=90°，故答案为：90．14．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在等边三角形ABC中，AB=9，D是BC边上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为_________．【答案】3【分析】本题考查了等边三角形的性质、图形旋转的性质等知识点，掌握旋转前后对应边相等的性质，以及等边三角形三边相等的特点是解题的关键．先利用等边三角形三边相等的性质求出BC的长度，再根据BC=3BD算出BD的长，最后通过旋转的全等性质得到BD=CE，进而求出CE的长度．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，且AB=9∴AB=BC=AC=9∵BC=3BD，且BC=9∴9=3BD∴BD=3∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE∴△ABD≌△ACE∴BD=CE∵BD=3∴CE=3故答案为：3．15．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）关于x的不等式组x−2>ax+2<b的解集为−3<x<2，则a+b2026【答案】1【分析】本题考查了不等式组的含参问题，先分别求解两个不等式，再根据该不等式组的解集得出a+2=−3,b−2=2，求出a和b的值，即可解答．【详解】解：x−2>a①由①得：x>a+2，由②得：x<b−2，∵不等式组解集为−3<x<2，∴a+2=−3,b−2=2，解得：a=−5,b=4，∴a+b202616．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，P，Q分别为边BD，BC上一点，且BP=CQ，当AB的长为4时，则AP+AQ的最小值为____．【答案】4【分析】作CE∥BD，使得CE=AB，连接EQ，则∠CBD=∠ECQ，结合角平分线的性质可证△ABP≌△ECQ，得到AP=QE，则AP+AQ=QE+AQ，当A、Q、E三点共线时，AP+AQ有最小值等于AE的长，最后判定△ACE是等边三角形即可求解．【详解】解：如图，作CE∥BD，使得CE=AB，连接EQ，则∠CBD=∠ECQ，∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠ABC=∠ACB=∵BD平分∠ABC，∴∠ABP=∠CBD=1∴∠ABP=∠ECQ=20°．在△ABP和△ECQ中，AB=CE∠ABP=∠ECQ∴△ABP≌△ECQSAS∴AP=QE，∴AP+AQ=QE+AQ，∴当A、Q、E三点共线时，AP+AQ有最小值等于AE的长，又∵∠ACE=∠ACB+∠ECQ=40°+20°=60°，CE=AB，AB=AC，∴AC=CE，∴△ACE是等边三角形，∴AE=AC=4，即AP+AQ的最小值为4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短和等边三角形的判定，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定．三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17．（6分）（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组）(1)9x−2≤7x+4；(2)2x−1【答案】(1)x≤3(2)−7<x<−2【分析】此题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是关键．（1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可；（2）求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可．【详解】（1）解：9x−2≤7x+49x−7x≤4+22x≤6x≤3（2）解：2解不等式①得：x<−2解不等式②得：x>−7则不等式组的解集为：−7<x<−218．（6分）（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，△ABC的顶点坐标分别为A−3,−1，B−4,−4，(1)将△ABC向右平移5个单位长度，画出平移后的△A(2)画出△ABC关于x轴对称的△A(3)将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A(4)在△A1B1C【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)图见解析(4)△A2B2C2，△【分析】本题考查平移作图，轴对称作图，旋转作图，轴对称图形和中心对称图形的辨认，掌握好相应的作图技巧是关键．（1）描出平移后的点A1、B1、（2）关于x轴对称的点。横坐标相等，纵坐标互为相反数，描出点A2、B2、（3）绕原点旋转180°的点，横纵坐标都互为相反数，描出点A3、B3、（4）结合图形进行判断即可．【详解】（1）解：△A（2）解：△A（3）解：△A（4）解：由图可知，△A2B2C2与△A故答案为：△A2B2C2，△A19．（8分）（25-26八年级上·四川·期中）据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线AB的方向以20kmh的速度移动，已知距台风中心250km的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：BC=400km，(1)海港C会不会受到台风的影响？(2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？【答案】(1)受台风影响，理由见解析(2)受台风影响的时间为7【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间．（1）通过勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，利用面积法求出C到AB的距离CD，比较CD与250km（2）以C为圆心、250km为半径作圆，交AB于E、F，利用勾股定理求出ED的长度，得到EF【详解】（1）解：海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D，因为AC=300km，BC=400km，AB=500km所以△ABC是直角三角形．∠ACB=90°,由三角形面积相等可得：12即300×400=500×CD，所以CD=300×400因为以台风中心为圆心周围250km以内(包括250km)为受影响区域，所以海港（2）如图，设台风中心移动到点E，F处时刚好影响海港C，连接CE，CF，则EC=FC=250km所以ED=EC2所以EF=2ED=140km因为台风中心移动的速度为20km140÷20=7h所以受台风影响的时间为7h20．（8分）（2025·辽宁抚顺·一模）如图在△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=60°，以点C为旋转中心，将△ABC逆时针方向旋转得到△DEC，CD交AB于点F．(1)如图1，当DE经过点B时，求证：BA⊥CD；(2)如图2，当DE∥AC，DE交AB于点G，CB交ED于点H，求证：AC=AG．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：（1）根据旋转，得到△ECD≌△BCA，得到CE=CB，推出△EBC是等边三角形，得到∠EBC=60°，平角求出∠DBF=60°，三角形的内角和定理推出∠DFB=90°，即可得证；（2）过点C作CI⊥BA，垂足为I，旋转得到△ECD≌△BCA，等积法求出CH=CI，进而得到GC是∠AGE的角平分线，平行加上角平分线的定义，推出∠AGC=∠ACG，即可得证．【详解】（1）证明：∵△ECD是△BCA旋转得到的图形，∴△ECD≌△BCA∴CE=CB，∠E=∠ABC=60°，∠D=∠A∴△EBC是等边三角形．∴∠EBC=60°．∵∠DBF=180°−∠EBC−∠ABC=60°，∵∠D=∠A=90°−∠ABC=30°，∴∠D+∠DBF=90°．∴∠DFB=180°−90°=90°，∴BA⊥CD．（2）证明：过点C作CI⊥BA，垂足为I．∵ED∥AC，∴∠CHE=∠BCA=90°，∴CH⊥ED．∵△ECD是△BCA旋转得到的图形，∴△ECD≌△BCA，ED=BA．∴S∴DE⋅CH∴CH=CI．∴GC是∠AGE的角平分线，∴∠EGC=∠AGC．∵ED∥AC，∴∠EGC=∠ACG∴∠AGC=∠ACG∴△ACG是等腰三角形，∴AC=AG．21．（10分）（25-26九年级上·广西玉林·期末）据相关报道，2026年广西品牌大集于近期在南宁举办，组委会计划搭建A，B两类特色展位，展示广西优质品牌与助农产品．(1)若搭建2个A类展位和3个B类展位，共需搭建费用1800元；搭建4个A类展位和1个B类展位，共需搭建费用1600元．求A类展位和B类展位的搭建费用单价各是多少？(2)组委会计划搭建A，B两类展位共80个，其中A类展位的数量不少于B类展位数量的2倍．若总搭建预算资金不超过30000元，求组委会至少要搭建多少个A类展位？【答案】(1)A、B两类展位搭建费用的单价分别为300元，400元；(2)组委会至少要搭建54个A类展位【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的数量关系列出方程组和不等式组．（1）根据题意列出二元一次方程组即可求解；（2）根据题意列出一元一次不等式组即可求解．【详解】（1）解：设A、B两类展位搭建费用的单价分别为x元，y元，根据题意得：2x+3y=18004x+y=1600解得x=300y=400答：A、B两类展位搭建费用的单价分别为300元，400元．（2）解：设搭建A类展位m个，则搭建B类展位80−m个，依题意得，m≥280−m解得m≥531∵m为展位数量，需取正整数，∴m的最小值为54．答：组委会至少要搭建54个A类展位．22．（10分）（25-26八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．(1)应用一：最短路径问题如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为3πcm，那么最短的路线长是(2)应用二：解决实际问题如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推2m至C处时，即水平距离CD=2m，踏板离地的垂直高度CF=1.5【答案】(1)5(2)5【分析】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键．（1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案；（2）由题意可得AC=AB，DE=CF=1.5m，CD=EF=2m，BE=0.5m，设AC=xm，得到【详解】（1）解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示：∵一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为3∴AC=12×2在Rt△ABC中，AB=即最短的路线长是5cm，故答案为：5；（2）解：由题意可得AC=AB，DE=CF=1.5m，CD=EF=2m，∴BD=DE−BE=1.5−0.5=1m设AC=xm则AD=AB−DB=x−1在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=x−1m，AC=x则由勾股定理可得AD即x−12解得x=5故绳索AC的长为5223．（12分）（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组M有解且解集为a<x<ba<b，则称b−a为M的“绝对距离”，若M的绝对距离是不等式组N的解，则称不等式组N对于不等式组M(1)已知关于x的不等式组A:2x−4<01+x>0以及不等式组B:−3<x≤3，判断不等式组B是否对于不等式组(2)已知关于x的不等式组C:x>nx<m和关于x的不等式组D:x+n<82x+n>m，若不等式组D对于不等式组C绝对包含，当(3)已知关于x的不等式组E:x+5>02x−1<4m+5以及不等式组F:x+2>m2x−m<2m+20，且不等式组F对于不等式组【答案】(1)不等式组B对于不等式组A绝对包含，理由见解析；(2)25；(3)−4<m<4【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组的解集及解的判断问题．（1）先求解不等式组A的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组B的解集即可；（2）先确定不等式组C的绝对距离，求解不等式组D的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于m和n的不等式，结合n的取值范围确定整数m的取值，最后求和；（3）分别求解不等式组E和F的解集，计算E的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于m的不等式组，结合不等式组有解的条件确定m的取值范围．【详解】（1）解：解不等式组A：2x−4<01+x>0，得−1<x<2其绝对距离为2−(−1)=3；∵不等式组B的解集为−3<x≤3，且−3<3≤3，即3是不等式组B的解，∴不等式组B对于不等式组A绝对包含；（2）解：∵不等式组C：x>nx<m∴m>n，其绝对距离为m−n；解不等式组D:x+n<82x+n>m，得∵不等式组D对于不等式组C绝对包含，∴m−n是D的解，即m−n2由不等式①得m−n2解得：m−n>0，∵m>n，∴m−n>0，此条件与不等式组C有解的条件一致，由不等式②得m<8；又∵m>n，且−3≤n